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1、第三讲 有限元的数学力学知识弹性力学中的几何方程弹性力学中的物理方程弹性力学中的平面问题泛函和变分几何方程 应变分量与位移分量之间关系的数学表达式 物理方程w也称本构方程。w用来描述岩土的应力与应变之间的关系，对于均质各向同性、处于弹性阶段的岩土体，应力与应变的关系由广义Hooke定理表达。平面问题w平面应力问题 平面应变问题 平面问题w地壳应力状态属平面应力问题模拟w边坡问题、围岩问题、地基问题、坝基问题、路基问题等属平面应变问题平面应变问题w几何方程w物理方程泛函与变分w大部分岩土工程问题是用微分方程的形式来表达的，只有在特定的条件下，这些微分方程才可以求得解析解，正如材料力学和弹性力学中
2、各种问题的解。然而在大量实际工程边界条件下，这些微分方程是无法求得解析解的。数值分析就是寻求这些方程的近似解的方法，变分法是我们求解微分方程近似解的数学基础。在微分方程的变分解中，有两个基本步骤：w1.使一个已知的微分方程成为变分式；w2.使用变分法，如Ritz法、Galerkin法或其他方法求其近似解。变分的发展史变分的发展史变分的发展史 以最速降线问题为例解释泛函w在任一铅垂平面中，指定O、M两点，如图所示。要求在两点间连接一条曲线，使得球在重力作用下自O点沿此曲线自由下滑时，所需的时间最短(忽略摩擦力)。以最速降线问题为例解释泛函泛函和变分的定义最线降速问题的变分解岩土工程中的变分问题w
3、如果实际问题以求泛函的极值提出，可以利用Euler方程获得与其解等价的微分方程，若微分方程可解，问题自然解决了。但这不是我们真正的目的，我们的意图正好相反，大家知道岩土工程中的大量问题是以微分方程的形式表达的，在实际边界条件下很难求解。因此试图找到一个微分方程的泛函，取泛函的变分为零，也就是得到其变分式，再用变分法求其近似解。但不是所有微分方程都存在这样一个泛函。因此首先我们将微分方程变为等效积分形式，再分析它与其相应泛函之间的关系。现以梁的弹性弯曲为例来说明。w清华大学王勖成，邵敏编著有限单元法基本原理和数值方法开篇讲微分方程的等效积分形式和加权余量法作业网上检索关于数学或力学来源于生活又应
4、用于生活的事例（故事）；列举出地质工程中用到的数学、力学原理。（如虎克定律，文克尔模型，布辛奈斯克解，高斯积分等），并说明它们的含意或用图。自然数的研究w毕达哥拉斯（公元前572-500）是古代著名的哲学家和数学家，毕达哥拉斯教团的创始人.w他们认为，大于1的奇数象征男性，偶数象征女性，5是第一个男性数与女性数之和，因此象征结婚与结合。w他们发现完全数，完全数就是等于它的真因数之和的数，如6的真因数是1、2、3，而6=1+2+3，数6就变为完美的象征。28也是完全数。目前只发现34个完全数，全是偶数，同时也只发现34个素数，其中最大的是21257786（21257786-1）。分形的出现w英国
5、一位叫里查逊（L.F.RICHARDSON）的科学家，为了研究海岸线查阅了西班牙、葡萄牙，比利时，荷兰的百科全书，之后，他惊奇的发现，各国各自测量的共同的国境河岸长度竟相差20%多，真是活见鬼了。w1968年蒙德尔布罗在一篇叫（英国海岸线有多长，统计自相似性与分数维）的文章中对海岸线长度的问题做了分析，他指出：事实上任何海岸线在某种意义上都是无穷地长，从另一种意义上说，答案取决于你所用的尺的长度，如果用1KM的尺子沿海岸测量，小于1公里的那些弯弯曲曲就会被忽略掉。若用1米的尺子，会得出较长的海岸线，因为它会捕捉到一些曲折的细部，若用一种在卫星上观察的方法，一定会得出较短的海岸线长度，如从蜗牛爬
6、过每一个石子来看，这海岸线必然长的吓人。分形的应用从古希腊到我们现在的高等数学，人们研究直线，圆，椭圆，双曲线等规则图形，这是欧氏几何，解析几何及微积分所研究的主要图形。30年前，蒙德尔布罗创立的一门新的几何学，分形几何，研究不规则图形。云彩不是球，山岳不是锥体，树皮不是光滑的，海岸线不是光滑曲线。分形在工程中可用于裂缝的预测，也可用于股票走趋的预测 用蒙特卡罗方法求w属于摩纳哥的蒙特卡罗是世界闻名的赌城 用蒙特卡罗方法求w相关系数w拓扑学？w麦比乌斯圈？w七桥问题（一笔画）？大数学家庞加莱说：w若想预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状w若想理解一个数学问题，正确的方法是研究它的历史