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1、数学课件数学课件:赵识能赵识能3.4 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系第一课时第一课时BACDE九年级数学九年级数学(下下)第三章第三章 圆圆1.1.圆是轴对称图形圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴它有无数条对称轴.2.2.圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心.知识回顾知识回顾4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。的弦相等。5.定理：在同圆或等圆中，如果两个定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角圆心角
2、、两条、两条弧弧、两条、两条弦弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。等。3.顶点顶点在在圆心圆心的角叫做的角叫做圆心角圆心角.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。所对的两条弧。推论推论（1）平分弦（）平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦，并且平）的直径垂直于弦，并且平分弦所对分弦所对 的两条弧的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧两条弧（3 3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并平分一条弧的直径，垂直平分
3、弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧且平分弦所对的另一条弧垂径定理垂径定理.OAEBDC知识回顾知识回顾命题（命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧直于弦，并且平分弦所对的两条弧CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分ABCDAB，ADBD，ACBC命题（命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧的两条弧 AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB，CD是直径，是直径，ADBD，ACBC命题（命题（3 3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且）：平分一
4、条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧 CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD（ACBC）CD平分平分AB，ACBC（ADBD）CD AB.OAEBDC知识回顾知识回顾2015.01火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去目标要求 1 理解圆周角的概念.2 掌握圆周角定理及其推论.3 培养识图能力，通过观察发现图形的区 别与联系.当球员在当球员在B,D,E处射门时处射门时,他所处的位置对球门他所处的位置对球门AC分分别形成三个角别形成三个角ABC,ADC,AEC.这三个角的大
5、这三个角的大小有什么关系小有什么关系?.OBCA特征：特征：角的顶点在圆上角的顶点在圆上.角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.圆周角定义圆周角定义:顶点在圆上顶点在圆上,并且并且两边都和圆两边都和圆相交相交的角叫的角叫圆周角圆周角.练习练习：1.1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是不是不是是是不是不是不是不是图图图图图图图图图图OAB议一议议一议:改变改变AOB的度数，上的度数，上面的结论仍成立吗？面的结论仍成立吗？一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.如何证明圆周角定理？如何
6、证明圆周角定理？圆周角定理圆周角定理类比圆心角类比圆心角探知探知圆周角圆周角在在同圆同圆或或等圆等圆中中,相等的相等的弧弧所对的所对的圆心角圆心角相等相等.在在同圆同圆或或等圆等圆中中,相等的相等的弧弧所对的所对的圆周角圆周角有什么关系？有什么关系？n 为了解决这个问题为了解决这个问题,我们先探究一条弧所我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系对的圆周角和圆心角之间有的关系.请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。的圆心角与圆周角。A A A AC C C COO证明圆周角定理证明圆周角定理一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它
7、所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.OABC如图如图,观察观察弧弧AB所对的所对的圆周角圆周角ACB与与圆心角圆心角AOB,它们的大小有什么关系它们的大小有什么关系?说说你的想法说说你的想法,并与同伴交流并与同伴交流.OACBOACBOACB证明圆周角定理证明圆周角定理一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.1.首先考虑一种特殊情况：当首先考虑一种特殊情况：当圆心圆心(O)在在圆周角圆周角(ACB)的一的一边边(BC)上时上时,圆周角圆周角ACB与圆心角与圆心角AOB的大小关系的大小关系AOB是是ACO的外角，的外角，AOB=C+A.OA=
8、OC，OACBA=C.AOB=2C.即即 ACB=AOB.证明圆周角定理证明圆周角定理一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.2.当当圆心圆心(O)在在圆周角圆周角(ACB)的内部时的内部时,圆周角圆周角ACB与圆心与圆心角角AOB的大小关系会怎样的大小关系会怎样?n过点过点C C作直径作直径CD.CD.由由1 1可得可得:O ACB=AOB.ACB=AOB.ACBDnACD=AOD,BCD=BOD,ACD=AOD,BCD=BOD,nACD+BCD=(AOD+BOD)ACD+BCD=(AOD+BOD)证明圆周角定理证明圆周角定理一条弧所对的一条弧所
9、对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.n过点过点C C作直径作直径CD.CD.由由1 1可得可得:O ACB=AOB.ACB=AOB.DnACD=AOD,BCD=ACD=AOD,BCD=BOD,BOD,ACBnACD-BCD=(AOD-BOD),3.3.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ACB)(ACB)的外部时的外部时,圆周角圆周角ACBACB与圆心与圆心角角AOBAOB的大小关系会怎样的大小关系会怎样?证明圆周角定理证明圆周角定理一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.转转化化转转化化分类讨论、转化分类讨论、
10、转化方法小结方法小结OACBOACBDODACB在射门游戏中，当球员在在射门游戏中，当球员在B,D,E处射门时处射门时,他所处的位置对球他所处的位置对球门门AC分别形成三个角分别形成三个角ABC,ADC,AEC.这三个角的大这三个角的大小有什么关系小有什么关系?你能用圆周角定理去解决问题。你能用圆周角定理去解决问题。BACDEOBACBACBACBACBACBACDE想一想：想一想：同弧或等弧所对的圆周角相等。同弧或等弧所对的圆周角相等。如图所示，如图所示，ADB、ACB、AOB分别是什么角？它们分别是什么角？它们有何共同点？有何共同点？ADB与与ACB有什么关系？有什么关系？同弧同弧 所对的
11、圆周角相等所对的圆周角相等.(等弧等弧)都等于都等于这条弧所对的圆心角的一半这条弧所对的圆心角的一半.圆周角定理推论圆周角定理推论:BOADC相等相等的的圆周角圆周角所对的所对的弧弧相等相等.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,“同弧或等弧同弧或等弧”能否改为能否改为“同弦或等弦同弦或等弦”？“同圆或等圆同圆或等圆”这一条件能否省去？这一条件能否省去？不能不能不能不能同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。对的弧也相等。OBACDE如图如图,在在 O中中,B,D,E的大小有什么关系的大小有什么关系?为什么为什么?所
12、以所以A=A=O=2525BACO解：在解：在O中，中，BOC=50=50BDC=BAC,C CBD=CAD A ABD=ACD,ADADB=ACBOBACD65431278OABC12又又AOB=2 BOC解：解：ACB=2 BAC，理由，理由:即即ACB=2 BACCOBD A解：解：BCD=100优弧所对的圆心角优弧所对的圆心角BOD=2BCD=200劣弧所对的圆心角劣弧所对的圆心角BOD=360-200=1603.为什么电影院的座位排列呈弧形，说一说这设计的为什么电影院的座位排列呈弧形，说一说这设计的合理性。合理性。答：有些电影院的座位排列呈圆弧形，这样设答：有些电影院的座位排列呈圆弧
13、形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。数学理解数学理解4.船在航行过程中，船长通过船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，如图，A、B表示灯塔，暗礁分表示灯塔，暗礁分布在经过布在经过A、B两点的一个圆形两点的一个圆形区域内，优弧区域内，优弧AB上任一点上任一点C都都是有触礁危险的临界点，是有触礁危险的临界点，ACB就是就是“危险角危险角”，当船，当船位于安全区域时，位于安全区域时，与与“危险危险角角”有怎样的大小关系？有怎样的大小关系？解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即解：当船位于安全区域
14、时，即船位于暗礁区域外（即 O外）外），与两个灯塔的夹角，与两个灯塔的夹角小于小于“危险角危险角”。数学理解数学理解2015.01火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去达标测试达标测试 1 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，COD=50，CAD=_ 2.如图，AB是O的直径，AOD是圆心角，BCD是圆周角，若BCD=25，则AOD=_.13025这节课有何收获？！这节课有何收获？！你你课堂小结1.圆周角定义圆周角定义:顶点在圆上顶点在圆上,并且并且两边都和圆相交两边都和圆相交的角叫的角叫圆周角圆周角
15、.2.2.圆周角定理圆周角定理一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.同弧同弧 所对的圆周角相等所对的圆周角相等.(等弧等弧)3.3.圆周角定理推论圆周角定理推论:相等相等的的圆周角圆周角所对的所对的弧弧相等相等.4.4.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,相等相等的的弦弦所对的所对的弧弧不一定相等不一定相等.5.5.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,2015.01火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去布置作业：必做题：例2；选做题：例1 或 例2。例1.已知：AC=BD，ABCD求证：ABCD例2：如图，ABC的顶点A、B、C都在O上，C30，AB2，求O的半径。2015.01火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去证明：连接ADAC=BD，ADC=BADABCDABCD解:又OA=OB AOB是等边三角形 OA=OB=AB=2 即O半径为2。解:C=30 AOB=60 例1.例2：答案 再见