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1、1.事件的关系和运算事件的关系和运算总复习公式总复习公式第一章第一章 替换律替换律BABABA2.古典概率古典概率具有具有(1)等可能性等可能性;(2)样本空间有限性的概率试验样本空间有限性的概率试验对任意的事件对任意的事件A3.逆事件的概率逆事件的概率4.加法公式加法公式若事件若事件A1，A2，An两两互不相容，则两两互不相容，则 5.加法定理加法定理 特别地特别地 A,B互相独立互相独立6.减法公式减法公式 若若A，B是两个概率不为零的互斥的事件，是两个概率不为零的互斥的事件，则则P(A-B)=P(A)若若A，B为两个任意的事件，则为两个任意的事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)7.
2、条件概率公式条件概率公式 设设A、B是两个事件，是两个事件，且且 则称则称 8.乘法公式乘法公式 特别地特别地独立事件独立事件10.逆概率公式逆概率公式11.独立试验模型独立试验模型9.全概公式全概公式A1,A2,An是互斥完备事件组，是互斥完备事件组，B为任一事件，则为任一事件，则信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔9例例 1 已知已知求求(1)(2)(3)解解(1)因为因为且且与与是不是不相容的相容的,故有故有于是于是(2)(4)信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔10例例 1 已知已知求求(3 3)(4 4)解解(3 3)(4)(4)信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔11例例2信息管理学院信
3、息管理学院 徐晔徐晔12(2)由由逆概率公式得逆概率公式得同理可得同理可得信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔13例例3 对目标进行三次独立炮击对目标进行三次独立炮击,第一次命中率为第一次命中率为0.4,第二次命中率为第二次命中率为0.5,第三次命中率为第三次命中率为0.7.目标目标中一弹而击毁的概率为中一弹而击毁的概率为0.2,中两弹被击毁的概率中两弹被击毁的概率为为0.6,中三弹被击毁的概率为中三弹被击毁的概率为0.8.求求(1)炮击三次炮击三次击毁目标的概率击毁目标的概率;(2)己知目标被击毁己知目标被击毁,目标中二弹目标中二弹的概率是多少？的概率是多少？第二章第二章 1.随机变量及其概率
4、分布随机变量及其概率分布 (分布函数、分布律、密度函数分布函数、分布律、密度函数)15信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.用分布函数用分布函数F(x)表示的事件概率计算公式表示的事件概率计算公式 16信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔3.分布函数的性质分布函数的性质(1)(3)F(x)右连续，即右连续，即(2)17信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 如果一个函数具有上述性质，则一定是某如果一个函数具有上述性质，则一定是某个个r.v X 的分布函数的分布函数.也就是说，性质也就是说，性质(1)-(3)是是鉴别一个函数是否是某鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分的分布函数的充分必要条件
5、必要条件.18信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例4解解(1)(1)因为分布函数右连续因为分布函数右连续,且且信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔4.正态分布正态分布 20信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔正态分布的密度函数及其特点正态分布的密度函数及其特点 21信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为 22信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔标准正态分布具有如下特点标准正态分布具有如下特点 23信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔一般正态分布与标准正态分布的关系一般
6、正态分布与标准正态分布的关系 24信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例5 =0.7517=1-0.9591=0.0409=0.8925=2*0.975-1=0.95=0.9591-1+0.7517=0.7108=2*(1-0.9671)=0.0658第三章第三章 信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔3.2 二维离散型和连续型随机向量二维离散型和连续型随机向量一、二维离散型随机向量一、二维离散型随机向量二、二维连续型随机向量二、二维连续型随机向量信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔27定义定义 若随机变量若随机变量X和和Y的所有可能取值为有限个或的所有可能取值为有限个或可列个，则称可列个，则称(X
7、,Y)为二维离散型随机向量为二维离散型随机向量.设设X的所有可能取值为的所有可能取值为Y的所有可能取值为的所有可能取值为则称为二维随机向量为二维随机向量(X,Y)的的联合概率函数联合概率函数或或联合概率分布联合概率分布一、二维离散型随机向量一、二维离散型随机向量信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔28联合概率函数的表联合概率函数的表格形式，称为格形式，称为(X,Y)的的联合分布律联合分布律或或联联合分布列合分布列二维离散型随机向二维离散型随机向量的联合概率函数量的联合概率函数具有下列性质具有下列性质:二维离散型随机向量的联合分布函数为二维离散型随机向量的联合分布函数为信息管理学院信息管理学院 徐
8、晔徐晔29例例6一袋中装有一袋中装有2只白球只白球和和3只黑球只黑球,进行有放进行有放回取球回取球若进行不放回取球若进行不放回取球信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔30例例7 一袋中装有一袋中装有4只只球球,依次标有号码依次标有号码1,2,2,3,从袋中有放从袋中有放回取求两次回取求两次,X,Y分分别表示两次取得球别表示两次取得球上的号码上的号码,则则(X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布为思考思考将本例中有放回取球改为不放回取将本例中有放回取球改为不放回取球球,结果会如何结果会如何?信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔31二维离散型随机向量的边缘分布二维离散型随机向量的边缘分布信息管理学院信
9、息管理学院 徐晔徐晔32信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔33例例8在本节例在本节例1.中中若进行不放回取球若进行不放回取球若进行放回取球若进行放回取球信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔3.3 随机变量的独立性随机变量的独立性信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔35 在多维随机向量中，各分量之间有的相在多维随机向量中，各分量之间有的相互影响，有的毫无关系。譬如在研究父子身互影响，有的毫无关系。譬如在研究父子身高时，父亲的身高高时，父亲的身高Y往往会影响儿子的身高往往会影响儿子的身高X.假如让父子各掷一个骰子，出现的点数假如让父子各掷一个骰子，出现的点数Y1 1与与X1 1之间就看不出任何关系之间
10、就看不出任何关系.这种相互之间没这种相互之间没有任何影响的随机变量称为有任何影响的随机变量称为相互独立的随机相互独立的随机变量变量.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔361.定义定义一、随机一、随机变量变量的独立性的独立性信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔372.说明说明 (1)若离散型随机变量若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔38信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔39因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,解解所以所以求随机变量求随机变量(X,Y)的分布律的分布律.例例9 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 的分布律为
11、的分布律为信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔40(1)求随机向量求随机向量(X,Y)的联合分布律的联合分布律;(2)求求 ;(3)求随机变量求随机变量X与与Y的边缘分布律的边缘分布律,且判断随机变且判断随机变量量X与与Y是否相互独立是否相互独立.例例10 袋中有袋中有2只白球和只白球和3只黑球只黑球,进行不放回取球进行不放回取球,记记第四章第四章 P123信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望
12、四、数学期望的性质四、数学期望的性质信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔43一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔44二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 是否可以不先求是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X 的分布求的分布求得得E g(X)呢？呢？设已知随机变量设已知随机变量X 的分布的分布 一种方法是一种方法是:g(X)也是随机变量也是随机变量,它的分布可以由它的分布可以由已知的已知的X 的分布求出来的分布求出来.一旦知道了一旦知道了g(X)的分布的分布,就可就可以按照期望
13、定义把以按照期望定义把 Eg(X)计算出来计算出来.下面的定理指出答案是肯定的下面的定理指出答案是肯定的.如何计算如何计算X 的某个函数的某个函数 g(X)的期望的期望？三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔46 定理定理 设设X是一个随机变量是一个随机变量,Y=g(X)（g为连续函数）为连续函数）信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔47解解:例例11 设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔推广推广设随机变量设随机变量Z 是随机变量是随机变量X,Y 的连续函数的连续函数=g(X,Y)，则，则联合分布律联合分
14、布律 联合密度函数联合密度函数信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔49解解例例12 设设(X,Y)的分布律为的分布律为信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔50信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔51由于由于信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔52信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔531.设设 C 是常数是常数,则有则有2.设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有四、数学期望的性质四、数学期望的性质4.设设 X,Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,则有则有3.设设 X,Y 是两个随机变量是两个随机变量,则有则有信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔4.2 随机变量的方差随
15、机变量的方差一、方差的概念一、方差的概念二、方差的性质二、方差的性质三、矩三、矩信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔55一、方差的概念一、方差的概念 由于它与由于它与X具有相同的度量单位，在实具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用际问题中经常使用.方差的算术平方根方差的算术平方根 称为标准差称为标准差设设X是是一一个个随随机机变变量量，若若E(X-E(X)2存存在在，则称则称D(X)=EX-E(X)2为为X的方差的方差.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔56离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1)利用定义计算
16、利用定义计算 信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔57(2)利用公式计算利用公式计算信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔58(1)设设 C 是常数是常数,则有则有(2)设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有 二、方差的性质二、方差的性质(3)设设 X,Y 相互独立相互独立,D(X),D(Y)存在存在,则则 推广推广信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔59若若且它们相互独立，且它们相互独立，则它们的非零线性组合：则它们的非零线性组合：是不全为是不全为0的常数的常数)仍然服从正态分布，仍然服从正态分布，于是，于是，由数学期望和方差的性质知由数学期望和方差的性质知一个重要的结果
17、一个重要的结果信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔60故有故有例如例如，若若且且相互独立，相互独立，则则也服从正态分布，而也服从正态分布，而第五章第五章1.切比雪夫不等式切比雪夫不等式设随机变量设随机变量 的期望值的期望值 方差方差则对于任意给定的正数则对于任意给定的正数有有注注:切比雪夫不等式也可以写成切比雪夫不等式也可以写成2.莱维中心极限定理：莱维中心极限定理：3.棣莫佛拉普拉斯中心极限定理棣莫佛拉普拉斯中心极限定理P145练习练习5.2 1习题习题5 填空题填空题4、选择题、选择题1第六章第六章1.基本概念基本概念总体：被研究对象的全体称为总体或母体总体：被研究对象的全体称为总体或母体个
18、体：组成总体的每一个对象称个体个体：组成总体的每一个对象称个体总体用总体用X表示，个体用表示，个体用Xi表示表示样本：样本：从总体中随机地抽取从总体中随机地抽取n个个体个个体X1,X2,Xn组成一个组成一个n维随机向量维随机向量(X1,X2,Xn)称为一个样本称为一个样本2.数理统计中的常用分布数理统计中的常用分布(1)2 分布分布(2)t 分布分布设设 X N(0,1),Y 2(n),且且X,Y相互独立相互独立,服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布.记为记为 t t(n).称称随机变量(3)F 分布分布3.抽样分布定理抽样分布定理P163 习题习题6 选择题选择题第七章第七章信息管理学院
19、信息管理学院 徐晔徐晔7.1 参数的点估计参数的点估计一、矩估计法一、矩估计法二、最大似然估计法二、最大似然估计法 75信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔二、最大似然估计法二、最大似然估计法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.最大似然估计法的思想：最大似然估计法的思想：在已得到试验结果的情况下在已得到试验结果的情况下应寻找使这个结果出现的可能性最大的那个应寻找使这个结果出现的可能性最大的那个值作为值作为的估计的估计 76信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔即即 77信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔记记-(1)称称(1)式为式为 的的似然函数
20、似然函数 78信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔-(2)似然方程组似然方程组称称(2)式的解为式的解为 的的最大似然估计值最大似然估计值得得 的的似然方程组似然方程组 79信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔求解时求解时,若将若将(1)式两边取对数式两边取对数,则有则有-(3)对数似然函数对数似然函数因此似然方程组化为因此似然方程组化为-(4)其解为其解为 的的最大似然估计值最大似然估计值,80信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔-(5)-(6)例例13 设总体设总体X的概率密度为的概率密度为 其中其中 是未知参数是未知参数.已知取得一组样本观已知取得一组样本观测值测值 试求未试求未知参数知参数
21、的最大似然估计值的最大似然估计值.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔7.3 参数的区间估计参数的区间估计一、单个正态总体的区间估计一、单个正态总体的区间估计二、两个正态总体均值差和方差比二、两个正态总体均值差和方差比的区间估计的区间估计 83信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔置信区间的概念置信区间的概念 定义定义 设设为总体分布的未知参数，为总体分布的未知参数，取自总体取自总体的一个样本，的一个样本，对给定的数对给定的数若存在统计量若存在统计量使得使得 为为的的则称随机区间则称随机区间置信区间置信区间,称称为为置信度置信度，是是又分别称又分别称与与为为的的置信下置信下限限与与置信上限置信上限.
22、置信区间置信区间单个正态总体单个正态总体 85信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔则则 例例3 初生婴儿的体重初生婴儿的体重X近似服从正态分布近似服从正态分布 从某地区随机抽取从某地区随机抽取16名新生儿名新生儿,测得测得 克克,克克,求平均体重求平均体重 的置信度为的置信度为95%的置信区间的置信区间.解解查查 t-分布临界值表分布临界值表,得得第八章第八章两个正态总体方差比两个正态总体方差比 12/22 的的F 检验检验 原假设原假设H0的拒绝域的拒绝域设设X N(1 1 2),Y N(2 2 2)，两两样本样本 X,Y 相互独立相互独立,样本样本(X1,X2,Xm),(Y1,Y2,Yn)P220 例例8.3.5