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1、4-1第八章第八章线性参数的最小二乘法处理线性参数的最小二乘法处理 教学目的和要求：教学目的和要求：通通过过本本章章内内容容的的教教学学，使使学学生生对对间间接接测测量量不不确确定定度度的的评评定定、合合成成标标准准不不确确定定度度的的分分配配和和最最佳佳测测量量方方案案的的设设计计有有一一个个系系统统和和全全面面的的了了解解。要要求求学学生生能能够够熟熟练练的的进进行行间间接接测测量量数数据据的的不不确确定定度度评评定定；掌掌握握合合成成标标准准不不确确定定度度分分配配的的基基本本原原则则；初初步步掌掌握最佳测量方案设计的方法握最佳测量方案设计的方法。主要内容：主要内容：1 1 间接测量不确
2、定度的评定：评定的基本公式、间接测量不确定度的评定：评定的基本公式、评定方法与步骤、实例。评定方法与步骤、实例。2 2 合成标准不确定度的分配：按等作用原则分配合成标准不确定度的分配：按等作用原则分配 合成标准不确定度、按可能性调整分配后的不合成标准不确定度、按可能性调整分配后的不 确定度、验算调整后的不确定度。确定度、验算调整后的不确定度。3.3.最最佳佳测测量量方方案案的的设设计计：最最佳佳测测量量函函数数公公式式的的选选择、灵敏系数最小选择。择、灵敏系数最小选择。第一节最小二乘法原理 最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。
3、找最可信赖值的问题。对某量进行测量，得到一组数据对某量进行测量，得到一组数据 ,不存不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布分布,其标准差为其标准差为 测得值落入的概率测得值落入的概率 测得值测得值 同时出现的概率为同时出现的概率为 最可信赖值满足最可信赖值满足 权因子权因子 虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。一种准则。第一节最小二乘法原理第一节最小二乘法原理线性参数的最小二乘法处理线性参数的最小二乘
4、法处理一般地，线性函数的数学模型为一般地，线性函数的数学模型为Yf（X，a）那么，线性函数的测量方程为那么，线性函数的测量方程为(8-1)其相应的估计量为8-2 相应的残余误差方程为 8-3第二节正规方程第二节正规方程组合测量基本概念组合测量基本概念如为精密测定如为精密测定1 1号、号、2 2号和号和3 3号电容器的电容量号电容器的电容量 测得值待解的数学模型 待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测
5、量的最佳估计值。测量的最佳估计值。一、等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规一、等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程方程 线性参数的残余误差方程为线性参数的残余误差方程为 正规方程组可写为正规方程组可写为 矩阵形式矩阵形式 例例81 在不同温度下测定铜棒的长度如下表，试估计在不同温度下测定铜棒的长度如下表，试估计0时的铜棒长度时的铜棒长度y0和铜的线膨胀系数和铜的线膨胀系数a。i123456ti102025304045li2000.362000.722000.802001.072001.482001.60解 测量铜棒长度的数学模型是yy0（1at）由此列出测量方程yiy0（1ati）（i
6、1，2，6）可得残余误差方程viliy0（1ati）（i1，2，6）其中 li在温度ti下铜棒长度的测量值；a铜的线膨胀系数。令y0a，a y0b为待估计的两个参数，则残余误差方程可写为vili（atib）（i1，2，6）为了方便计算，将数据列表如下ititi22limmti li（mm）11010020003620003.622040020007240014.432562520008050020.043090020010760032.1540160020014880059.2645202520016090072.0170565012006.03340201.3根据残余误差方程，按式（根据残余
7、误差方程，按式（8 82222）写出正规方程）写出正规方程将表中计算出的正规方程的系数和常数代入正规方程，则有解之解之a1999.97（mm）b0.03654（mm）即即 y01999.97（mm）若按矩阵形式计算，则有若按矩阵形式计算，则有CC1AT L于是可得于是可得 所以a1999.97（mm）b0.03654（mm）即 y01999.97（mm）因此，铜棒长度因此，铜棒长度y随温度随温度t的线性变化的规律为的线性变化的规律为y1999.97（10.0000183t）mm二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程不等精度测量时线性参数的残余误差方程与等精度相同，不同之处在于进行不等
8、精度测量线性参数最小二乘法处理时，要取加权残余误差平方和为最小，即 不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程 线性测量方程组线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为 测量残差方程组 含有随机误差矩阵形式最小二乘法原理式最小二乘法原理式 求导求导正规方程组正规方程组 正规方程组解正规方程组解 不等权不等权正规方程组 不等精度测量线性参数最小二乘法处理时，要取加权残余误差平方和为最小，即为简化表达式，不妨令 将加权残余误差的平方和分别对各x1，x2，xt求偏导数，并令其等于零，即上列各式的二阶偏导数恒正，即由此可知，加权残余误差的平方和的极小值存在。
9、而由一阶偏导数等于零所构成的线性方程组为（828）线性方程组（线性方程组（828）称为不等精度测量线性参数最小二）称为不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程。这是一个乘法处理的正规方程。这是一个t元线性方程组，在其系数元线性方程组，在其系数行列式不等于零时，有唯一确定的解。这一确定的解满足最行列式不等于零时，有唯一确定的解。这一确定的解满足最小二乘法原理式（小二乘法原理式（87）、是未知参数的最佳估计量。）、是未知参数的最佳估计量。线性方程组（线性方程组（828）在形式上有如下特征）在形式上有如下特征：1沿方程组主对角线上分布的项的系数（j1，2，t）都是正数；2以主对角线为轴对称分布的
10、项的系数相等，如 若不等精度测量数据若不等精度测量数据l1，l2，ln的权分别为的权分别为w1，w2，wn，将不等精度测量的正规方程式（，将不等精度测量的正规方程式（828）单位权化，单位权化，即令即令于是，不等精度测量的正规方程式（828）转化为（829）显然，正规方程式（829）在形式上与等精度测量的正规方程式（822）完全一样。把不等精度测量的正规方程（828）各式分别展开，整理后可得 与式（823）类似的结果三、非线性参数最小二乘法处理的正规方程 一一般般情情况况下下，若若测测量量方方程程 Yf（X1，X2，Xn）为为非非线性函数，则测量的残余误差方程线性函数，则测量的残余误差方程 可
11、以按线性参数的情形列出正规方程并解出可以按线性参数的情形列出正规方程并解出r（r1，2，t），），进而求得相应的估计量进而求得相应的估计量xr（r1，2，t）。）。四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系 最小二乘法原理与算术平均值原理是一致的，算术最小二乘法原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理可看成最小二乘法原理的特例平均值原理可看成最小二乘法原理的特例 第三节第三节 不确定度评定不确定度评定一、测量数据的不确定度评定一、测量数据的不确定度评定 （一）等精度测量数据的不确定度评定（一）等精度测量数据的不确定度评定 根据根据2分布的性质，有分布的性质，有（二）不等精度测量数据的不确定度评
12、定（二）不等精度测量数据的不确定度评定 测量数据的单位权方差的无偏估计为单位权实验方差测量数据的单位权方差的无偏估计为单位权实验方差二、最小二乘估计量的不确定度评定二、最小二乘估计量的不确定度评定 设有正规方程设有正规方程 1 2 对不等精度测量可参照此步骤进行对不等精度测量可参照此步骤进行第四节第四节 组合测量数据的最小二乘法处理组合测量数据的最小二乘法处理 组合测量是通过直接测量待测参数的估计量（一般采用等精组合测量是通过直接测量待测参数的估计量（一般采用等精度测量），然后对这些数据进行处理，从而求得待测参数的度测量），然后对这些数据进行处理，从而求得待测参数的估计量，并给出其不确定度。一
13、般地，组合测量数据用最小估计量，并给出其不确定度。一般地，组合测量数据用最小二乘法进行处理，这是最小二乘法在精密测量中的一种重要二乘法进行处理，这是最小二乘法在精密测量中的一种重要应用。应用。要求检定丝纹尺要求检定丝纹尺0 0，1 1，2 2，3 3刻线间的距离刻线间的距离。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求及其标准偏差。合量。试用最小二乘法求及其标准偏差。例题例题计算步骤计算步骤【解】【解】列出测量残差方程组列出测量残差方程组 解出即计算结果计算结果代入残差方程组可得 估计的标准差 估计的标准差估计的标准差 组合测量的
14、概念：组合测量的概念：组合测量是指直接测量各被测量的组合量，将组合量的测得组合测量是指直接测量各被测量的组合量，将组合量的测得值和对应的组合量一一列出方程，然后通过解测量方程组得值和对应的组合量一一列出方程，然后通过解测量方程组得到各被测量的量值，并给出其不确定度。到各被测量的量值，并给出其不确定度。组合测量数据用最小二乘法进行处理，这是最小二乘法在精组合测量数据用最小二乘法进行处理，这是最小二乘法在精密测量中的一种重要应用。密测量中的一种重要应用。组合测量既可提高测量的准确度，又可减少测量的工作量，组合测量既可提高测量的准确度，又可减少测量的工作量，常用于精密测试和计量检定之中常用于精密测试
15、和计量检定之中用组合测量检定三段刻线间距，求检定结果用组合测量检定三段刻线间距，求检定结果。如图如图81所示，要求检定所示，要求检定A、B、C、D间的距离间的距离x1、x2、x3。x3ABCDx1x2l3l1l2l6l4l5 图81 图82 直接测量刻线间距的各种组合量（见图82），得到如下测量数据：l11.015mml20.985mml31.020mml42.016mml51.981mml63.032mm列出残差方程则正规方程为iai1ai2ai3liai12ai1 ai2ai1 ai3ai1 liai22ai2 ai3ai2 liai32ai3 li11001.0151001.015000
16、0020100.9850000100.9850030011.020000000011.02041102.0161102.016102.0160050111.9810000111.98111.98161113.0321113.032113.03213.0323216.063428.01436.033将表中正规方程的系数与常数代入得将表中正规方程的系数与常数代入得解正规方程得解正规方程得这就是刻线间距这就是刻线间距AB、BC、CD的最佳估计量。的最佳估计量。计算残余误差于是于是直接测量数据实验标准差 设不定乘数设不定乘数不定乘数的方程组不定乘数的方程组解得解得d110.5，d220.5，d330.5。估计量估计量x1、x2、x3的标准不确定度的标准不确定度 ；。