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1、第二节第二节 留留 数数一、留数的引入二、利用留数求积分三、在无穷远点的留数四、典型例题五、小结与思考火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去一、留数的引入一、留数的引入设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点;内的洛朗级数内的洛朗级数:在在.的某去心邻域的某去心邻域C:邻域内包含邻域内包含的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线2火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去0(高阶导数公式高阶导数公式)0(柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理)3火灾袭来时要迅速疏
2、散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去定义定义定义定义 记作记作的一个孤立奇点的一个孤立奇点,则沿则沿内包含内包含的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分的值除的值除后所得的数称为后所得的数称为以以如果如果火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去二、利用留数求积分二、利用留数求积分说明说明:留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求积分转化为求被积函数在被积函数在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.1.1.留数定理留数定理留数定理留数定理
3、在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤外处处解析外处处解析,C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线,那末那末立奇点立奇点函数函数5火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去证证证毕证毕两边同时除以两边同时除以 且且.如图如图6火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去2.2.留数的计算方法留数的计算方法留数的计算方法留数的计算方法(1)如果如果为为的可去奇点的可去奇点,如果如果 为为 的一级极点的一级极点,那末那末规则规则规
4、则规则1 1 1 1成洛朗级数求成洛朗级数求(2)如果如果为为的本性奇点的本性奇点,(3)如果如果为为的极点的极点,则有如下计算规则则有如下计算规则展开展开则需将则需将7火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去如果如果 为为 的的 级极点级极点,规则规则规则规则2 2 2 2证证那末那末8火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去+(含有含有 正幂的项正幂的项)两边求两边求阶导数阶导数,证毕证毕得得9火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，
5、披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去规则规则规则规则3 3 3 3 如果如果设设及及在在都解析，都解析，证证的一级零点的一级零点,为为的一级极点的一级极点.为为那末那末为为的一级极点的一级极点,且有且有10火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去解析且解析且在在因此因此其中其中 在在 解析且解析且为为 的一级极点的一级极点,11火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去四、典型例题四、典型例题例例1 求求在在的留数的留数.解解12火灾袭来时要迅速疏散逃
6、生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例2 求求在在的留数的留数.分析分析是是的三级零点的三级零点由规则由规则3得得计算较麻烦计算较麻烦.13火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去如果利用洛朗展开式求如果利用洛朗展开式求较方便较方便:解解14火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去说明说明:如如 为为 m 级极点，当级极点，当 m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求可直接展开洛
7、朗级数求来计算留数来计算留数.2.在应用规则在应用规则2时时,取得比实际的级数高取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便级数高反而使计算方便.1.在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般不要将为了计算方便一般不要将m但有时把但有时把m取得比实际的取得比实际的如上例取如上例取15火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例4 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:解解为一级极点为一级极点,为二级极点为二级极点,16火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服
8、或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去17火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去被积函数被积函数有四个一级极点有四个一级极点都都在圆周在圆周的内部的内部,所以所以由规则由规则3 18火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去19火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去五、小结与思考五、小结与思考 本节我们学习了留数的概念、计算以及留数本节我们学习了留数的概念、计算以及留数定理定理.应重点掌握计算留数的一般方法应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极尤其是极点处留数的求法点处留数的求法,并会应用留数定理计算闭路复并会应用留数定理计算闭路复积分积分.20火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去思考题思考题21火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.22