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1、第第2讲函数的单调性与最值讲函数的单调性与最值不同寻常的一本书，不可不读哟！1.理解函数的单调性及其几何意义2.会运用函数图象理解和研究函数的性质3.会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义.2个必记结论1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值4种必会方法1.定义法：取值、作差、变形、定号、下结论2.复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数3.导数法：利用导数研究函数的单调性4.图象法：利用图象研究函数的单调性.课前自主导学1.函数的单调性(1)单调函数的定义上是_或_，
2、则称函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x10且a1)审题视点对于(1)可先将函数化为分段函数，画出函数的图象，然后结合图象求出单调区间；对于(2)应对a的取值进行讨论，然后根据复合函数单调性法则求解1带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合；二是画出这个
3、分段函数图象，结合函数的图象、性质进行直观的判断2求复合函数yfg(x)的单调区间的步骤：(1)确定定义域(2)将复合函数分解成基本初等函数：yf(u)，ug(x)(3)分别确定这两个函数的单调区间(4)若这两个函数同增或同减，则yfg(x)为增函数；若一增一减，则yfg(x)为减函数，即“同增异减”变式探究已知函数f(x)log2(x22x3)，则使f(x)为减函数的区间是()A.(3,6)B.(1,0)C.(1,2)D.(3，1)答案：D解析：由x22x30得x3，结合二次函数的对称轴x1，知在对称轴左边函数yx22x3是减函数，所以在区间(，1)上是减函数，由此可得D项符合.例32012
4、上海高考已知函数f(x)e|xa|(a为常数)，若f(x)在区间1，)上是增函数，则a的取值范围是_审题视点外层函数为增函数，内层函数的增区间a，)为f(x)的递增区间，由题意知1，)为a，)的子集解析令t|xa|，则t|xa|在区间a，)上单调递增，而yet为增函数，所以要使函数f(x)e|xa|在1，)上单调递增，则有a1，所以a的取值范围是(，1答案(，1应用函数的单调性可求解的问题(1)由x1，x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小；(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系；(3)求解析式中参数的值或取值范围；(4)求函数的最值；(5)得到图象的升、降
5、情况，画出函数图象的大致形状审题视点(1)研究函数的最值时，应首先确定函数的什么？(提示：首先确定函数的定义域)(2)函数解析式中含有根式，通常的处理办法是什么？(提示：对解析式进行平方)(3)平方后的解析式含有几个根式？被开方式是什么函数？可用什么方法求其最值？(提示：平方后只含一个根式，被开方式是二次函数，可通过配方求最值)答案C求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出
6、在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值，换元注意等价性答案：a3于是问题转化为求函数(x)(x22x)在1，)上的最大值问题(x)(x1)21在1，)上递减，x1时，(x)最大值为(1)3.a3.审题视点抽象函数单调性的判断要紧扣定义，结合题目作适当变形解(1)证明：设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)0，判断函数f(x)的单调性；(2)若abf(x)时x的取值范围规范解答(1)当a0
7、，b0时，任意x1，x2R，x1x2，则f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x13x2)2x10a(2x12x2)0，3x10b(3x13x2)0，f(x1)f(x2)0，函数f(x)在R上是增函数当a0，b0时，同理，函数f(x)在R上是减函数【备考角度说】No.1角度关键词：审题视角利用定义判断单调性的步骤是：设元取值；作差(商)变形；确定符号，得出结论No.2角度关键词：模板构建用定义法判断或证明函数f(x)在给定的区间D上的增减性的步骤：第一步：取值，即设x1、x2是该区间内任意两个值且x10，b0，下列说法正确的是()A.若2a2a2b3b，则abB.若2a2a2b3b，则abD.若2a2a2b3b，则ab.4.2012安徽高考若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.答案：6