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1、第第2讲用导数研究函数的单调性与极值讲用导数研究函数的单调性与极值考点梳理考点梳理函数函数f(x)在在(a，b)内可内可导导，f(x)在在(a，b)任意子区任意子区间间内都不恒内都不恒等于等于0.f(x)0f(x)为为_函数；函数；f(x)0f(x)为为_函数函数(1)判断判断f(x0)是极是极值值的方法的方法一般地，当函数一般地，当函数f(x)在点在点x0处连续时处连续时，如果在如果在x0附近的左附近的左侧侧f(x)0，右，右侧侧f(x)0，那么，那么f(x0)是是极大极大值值；1函数的单调性函数的单调性2函数的极值函数的极值增增减减如果在如果在x0附近的左附近的左侧侧_，右，右侧侧_，那么
2、，那么f(x0)是极小是极小值值(2)求可求可导导函数极函数极值值的步的步骤骤求求f(x)；求方程求方程f(x)0的根；的根；检查检查f(x)在方程在方程f(x)0的根左右的根左右值值的符号如果左正右的符号如果左正右负负，那么，那么f(x)在在这这个根个根处处取得取得_；如果左；如果左负负右正，右正，那么那么f(x)在在这这个根个根处处取得极小取得极小值值，如果左右两，如果左右两侧侧符号一符号一样样，那么那么这这个根不是极个根不是极值值点点f(x)0f(x)0极大极大值值一个考情解读一个考情解读本讲内容是高考的必考内容，主要以解答题的形式考查利本讲内容是高考的必考内容，主要以解答题的形式考查利
3、用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间，求函数的用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间，求函数的极值也有可能以解答题的形式考查导数与解析几何、不极值也有可能以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、三角函数等知识相结合的问题综合题一般作为压等式、三角函数等知识相结合的问题综合题一般作为压轴题出现，难度较大轴题出现，难度较大【助学助学微博微博】考点自测考点自测2函数函数y3x26lnx的的单调单调增区增区间为间为_，单调单调减减区区间为间为_ 答案答案(1，)(0,1)3若函数若函数f(x)ax33x2x恰有恰有3个个单调单调区区间间，则实则实数数a的的取取值值范范围围是是_ 答案答案(3,
4、0)(0，)解析解析f(x)3x2a，由，由f(x)在在1，)上是单调递增函数，上是单调递增函数，得得f(x)0在区间在区间1，)上恒成立，即上恒成立，即3x2a0，x1，)恒成立，故实数恒成立，故实数a3x2在在1，)上的最小值，即上的最小值，即a3.答案答案(，34已知已知a0，函数，函数f(x)x3ax在在1，)上是上是单调递单调递增函增函数，数，则则a的取的取值值范范围围是是_5(2012启东中学一模启东中学一模)若函数若函数f(x)x3x2ax4在区在区间间(1,1)内恰有一个极内恰有一个极值值点，点，则实则实数数a的取的取值值范范围围是是_ 答案答案1,5)考向一考向一利用导数解决
5、函数的单调性问题利用导数解决函数的单调性问题令令g(x)ax2x1a，x(0，)，当当a0时时，g(x)x1，x(0，)，所以，当所以，当x(0,1)时时，g(x)0，此，此时时f(x)0，函数，函数f(x)单调单调递递减；当减；当x(1，)时时，g(x)0，函数，函数f(x)单调递单调递增；增；当当a0时时，由，由f(x)0，x(0,1)时时，g(x)0，此，此时时f(x)0，函数，函数f(x)单调递单调递减；减；x(1，)时时，g(x)0，函数，函数f(x)单调递单调递增增方法总结方法总结讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况大多数情况下，这
6、类问题可以归结为一个含有参的情况大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论的判别式进行分类讨论(1)求求f(x)的的单调单调增区增区间间；(2)若若f(x)在定在定义义域域R内内单调递单调递增，求增，求a的取的取值值范范围围解解(1)f(x)exax1，f(x)exa.令令f(x
7、)0，得，得exa，当当a0时时，有，有f(x)0在在R上恒成立；上恒成立；当当a0时时，有，有xlna.综综上，当上，当a0时时，f(x)的的单调单调增区增区间为间为(，)；当当a0时时，f(x)的的单调单调增区增区间为间为lna，)【训练训练1】已知已知f(x)exax1.(2)f(x)exax1，f(x)exa.f(x)在在R上上单调递单调递增，增，f(x)exa0恒成立，恒成立，即即aex，xR恒成立恒成立xR时时，ex(0，)，a0.当当a0时时，f(x)ex，f(x)0在在R上恒成立上恒成立故当故当a0时时，f(x)在定在定义义域域R内内单调递单调递增增考向二考向二利用导数解决函数
8、的极值问题利用导数解决函数的极值问题x(0,1)(1，e)e(e，)f(x)0f(x)单调递单调递减减单调递单调递减减极小极小值值f(e)单调递单调递增增由表得函数由表得函数f(x)的的单调单调减区减区间为间为(0,1)及及(1，e)，单调单调增区增区间间为为(e，)所以存在极小所以存在极小值为值为f(e)e，无极大，无极大值值方法总结方法总结(1)求函数单调区间与函数极值时要养成列表的求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能(2)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点并不一定就是函数的极值
9、点，所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点点(2)若若f(x)为为R上的上的单调单调函数，函数，则则f(x)在在R上不上不变变号，号，结结合合与条件与条件a0，知，知ax22ax10在在R上恒成立，上恒成立，因此因此4a24a4a(a1)0(a0)，解得，解得0a1.所以所以a的取的取值值范范围为围为(0,1【例例3】(2011江苏江苏)已知已知a，b是是实实数，函数数，函数f(x)x3ax，g(x)x2bx，f(x)和和g(x)分分别别是是f(x)和和g(x)的的导导函数，函数，若若f(x)g(x)0在区在区间间I上恒
10、成立，上恒成立，则则称称f(x)和和g(x)在区在区间间I上上单调单调性一致性一致考向三考向三利用导数求参数的取值范围问题利用导数求参数的取值范围问题(1)设设a0.若若f(x)和和g(x)在区在区间间1，)上上单调单调性一致，求性一致，求b的取的取值值范范围围；(2)设设a0，故，故3x2a0，进进而而2xb0，即，即b2x在在1，)上恒成立，上恒成立，所以所以b2.因此因此b的取的取值值范范围围是是2，)方法总结方法总结若若f(x)在区间在区间D上单调增上单调增(减减)，则对任意的，则对任意的xD，恒有，恒有f(x)0(f(x)0)，由此可求出含参数的取值范围，由此可求出含参数的取值范围，
11、另外，还可由另外，还可由af(x)(af(x)恒成立恒成立af(x)min(af(x)max)，由由f(x)单调性求出单调性求出f(x)的最大的最大(小小)值，从而可确定参数值，从而可确定参数a的取的取值范围值范围由于函数的由于函数的单调单调性可以用来求最性可以用来求最值值、解不等式和求解、解不等式和求解恒成立恒成立问题问题，所以要灵活，所以要灵活应应用用单调单调性解性解题题要善于将有关要善于将有关问题转问题转化成化成单调单调性性问题问题求解，比如分离求解，比如分离参数，构造函数等参数，构造函数等规范解答规范解答4函数的单调性及其应用函数的单调性及其应用当当x(0,1)时时，g(x)0，故，故
12、(0,1)是是g(x)的的单调单调减区减区间间，当当x(1，)时时，g(x)0，故，故(1，)是是g(x)的的单调单调增增区区间间，因此，因此，x1是是g(x)的唯一极的唯一极值值点，且点，且为为极小极小值值点，从而是点，从而是最小最小值值点，所以最小点，所以最小值为值为g(1)1.(4分分)点评点评本题主要考查导数的应用，即如何利用导数求函本题主要考查导数的应用，即如何利用导数求函数的单调性和最值数的单调性和最值1(2012重庆卷改编重庆卷改编)设设函数函数f(x)在在R上可上可导导，其，其导导函数函数为为f(x)，且函数，且函数y(1x)f(x)的的图图象如象如图图所示所示则则f(x)的极
13、的极值值点分点分别为别为_高考经典题组训练高考经典题组训练解析解析当当x3，则，则f(x)0；当；当2x1时，时，01x3，则，则f(x)0，所以函数有极大值，所以函数有极大值f(2)当当1x2时，时，11x0，则，则f(x)2时，时，1x0，所以函数有极小值，所以函数有极小值f(2)答案答案2或或2又由又由f(x)ex1x知，当知，当x(，0)时，时，f(x)0，所以，所以f(x)在在(，0)上单调递上单调递减，在减，在(0，)上单调递增上单调递增(1)当当a1，b2时时，求曲，求曲线线yf(x)在点在点(2，f(2)处处的切的切线线方程；方程；(2)设设x1，x2是是f(x)的两个极的两个极值值点，点，x3是是f(x)的一个零点，且的一个零点，且x3x1，x3x2.证证明：存在明：存在实实数数x4，使得，使得x1，x2，x3，x4按某按某种种顺顺序排列后构成等差数列，并求序排列后构成等差数列，并求x4.解解(1)当当a1，b2时时，因，因为为f(x)(x1)(3x5)，故故f(2)1.又又f(2)0，所以曲所以曲线线yf(x)在点在点(2,0)处处的切的切线线方程方程为为yx2.3(2010浙江卷浙江卷)已知函数已知函数f(x)(xa)2(xb)(a，bR，ab)(1)求求a的的值值；(2)求函数求函数f(x)的极的极值值