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1、第六讲第六讲 函数的单调性与最大函数的单调性与最大(小小)值值回归课本回归课本1.函数的单调性函数的单调性(1)单调函数的定义单调函数的定义增函数增函数减函数减函数定义定义一般地一般地,设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I.如果对于定义如果对于定义域域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x1,x2.当当x1x2时时,都有都有f(x1)f(x2),那么就说函数那么就说函数f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数当当x1f(x2),那么就那么就说函数说函数f(x)在区间在区间D上是减函数上是减函数图象图象描述描述自左向右看图象是自左向右看图象是上升的上升的自左向右看
2、图象自左向右看图象是是下降的下降的(2)单调性与单调区间单调性与单调区间如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间D上是增函数或减函数上是增函数或减函数,那么就说那么就说y=f(x)在这一区间上具有在这一区间上具有单调性单调性,区间区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.(3)若函数若函数y=f(x)在某个区间内可导在某个区间内可导,当当f(x)0时时,f(x)为增函数为增函数;当当f(x)0时时,f(x)为减函数为减函数.2.函数的最值函数的最值前提前提一般地一般地,设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,如果存如果存在实数在实数M满足满足条件条件对于任意对于任意xI,都有都有
3、f(x)M;对于任意对于任意xI,都有都有f(x)M;存在存在x0I,使得使得f(x0)=M.存在存在x0I,使使得得f(x0)=M.结论结论M为最大值为最大值M为最小值为最小值结论结论M为最大值为最大值M为最小值为最小值定义在闭区间上的单调函数必有定义在闭区间上的单调函数必有最大最大(小小)值值.设设f(x)是定义在是定义在m,n上的单调增函数上的单调增函数,则它的最大值是则它的最大值是f(n),最小值是最小值是f(m).考点陪练考点陪练1.(2010福建福建)下列函数下列函数f(x)中中,满足满足“对任意对任意x1,x2(0,+),当当x1f(x2)”的是的是()A.B.f(x)=(x-1
4、)2C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)答案答案:A答案答案:B答案答案:D答案答案:C5.设设x1,x2为为y=f(x)的定义域内的任意两个变量的定义域内的任意两个变量,有以下几个命有以下几个命题题:(x1-x2)f(x1)-f(x2)0;(x1-x2)f(x1)-f(x2)0;其中能推出函数其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为为增函数的命题为_.答案答案:类型一类型一函数单调性的判定与证明函数单调性的判定与证明解题准备解题准备:判断函数的单调性的常见方法有三种判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法定义法 直接直接法法 图象法图象法.1.用定义法证明函数单调性的步骤用定义
5、法证明函数单调性的步骤:(1)取值取值:设设x1,x2为该区间内任意的两个值为该区间内任意的两个值,且且x10;(2)作差变形作差变形:作差作差y=f(x2)-f(x1),并通过因式分解并通过因式分解 配方配方 有理有理化等方法化等方法,向有利于判断差值符号的方向变形向有利于判断差值符号的方向变形;(3)定号定号:确定差值确定差值y的符号的符号,当符号不确定时当符号不确定时,可考虑分类讨可考虑分类讨论论;(4)判断判断:根据定义作出结论根据定义作出结论.2.直接法直接法:运用已知的结论运用已知的结论,直接得到函数的单调性直接得到函数的单调性.如一次函如一次函数数 二次函数二次函数 反比例函数的
6、单调性均可直接说出反比例函数的单调性均可直接说出.了解以下结论了解以下结论,对直接判断函数的单调性有好处对直接判断函数的单调性有好处:(1)函数函数y=-f(x)与函数与函数y=f(x)的单调性相反的单调性相反;(2)当当f(x)恒为正或恒为负时恒为正或恒为负时,函数函数与与y=f(x)的的单调性相反单调性相反;(3)在公共区间内在公共区间内,增函数增函数+增函数增函数=增函数增函数,增函数增函数-减函数减函数=增增函数等函数等;(4)复合函数单调性判断复合函数单调性判断,要注意掌握要注意掌握“同增同增 异减异减”的原则的原则.3.图象法图象法:是根据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单是根
7、据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单调性的方法调性的方法.反思感悟反思感悟 利用函数单调性的定义证明利用函数单调性的定义证明f(x)的单调性时的单调性时,比较比较f(x1)与与f(x2)的大小常用作差法的大小常用作差法,有时可运用作商法有时可运用作商法 放缩法放缩法等等;讨论函数的单调性值域问题不可忽视函数的定义域讨论函数的单调性值域问题不可忽视函数的定义域.类型二类型二函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性解题准备解题准备:因为奇函数的图象关于原点对称因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可所以结合图象可得奇函数在得奇函数在(a,b)与与(-b,-a)上的单调性相同上的单调性相同.
8、因为偶函数的图因为偶函数的图象关于象关于y轴对称轴对称,所以偶函数在所以偶函数在(a,b)与与(-b,-a)上的单调性相上的单调性相反反.分析分析 利用利用f(-x)=-f(x)求求a,b的值的值.x21+10,x22+10,x2-x10,而而x1,x2 0,1时时,x1x2-10,当当x1,x2 0,1时时,f(x1)-f(x2)0,函数函数y=f(x)是减函数是减函数.又又f(x)是奇函数是奇函数,f(x)在在-1,0上是增函数上是增函数,在在(-,-1上是减函数上是减函数.又又x 0,1,u-1,0时时,恒有恒有f(x)f(u),等号只在等号只在x=u=0时取到时取到,故故f(x)在在-
9、1,1上是增函数上是增函数.(3)由由(2)知函数知函数f(x)在在(0,1)上递增上递增,在在1,+)上递减上递减,则则f(x)在在x=1处可取得最大值处可取得最大值.f(1)=，函数的最大值为函数的最大值为,无最小值无最小值.类型三类型三求函数的最值求函数的最值解题准备解题准备:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法常用配方法.(2)利用函数的单调性求最值利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单先判断函数在给定区间上的单调性调性,然后利用单调性求最值然后利用单调性求最值.(3)基本不等式法基本不等式法:当函数是分式形式且
10、分子分母不同次时常当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法用此法.(4)导数法导数法:当函数较复杂当函数较复杂(如指如指 对数函数与多项式结合对数函数与多项式结合)时时,一一般采用此法般采用此法.(5)数形结合法数形结合法:画出函数图象画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的找出坐标的范围或分析条件的几何意义几何意义,在图上找其变化范围在图上找其变化范围.分析分析 在解决该类型函数的最值时在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用均值不首先考虑到应用均值不等式求解等式求解,但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件.若若条件不具备条件不具备,应从函数单调性的角
11、度考虑应从函数单调性的角度考虑.类型四类型四抽象函数的单调性与最值抽象函数的单调性与最值解题准备解题准备:抽象函数是近几年高考的热点抽象函数是近几年高考的热点,研究这类函数性质研究这类函数性质的根本方法是的根本方法是“赋值赋值”,解题中要灵活应用题目条件赋值解题中要灵活应用题目条件赋值转化或配凑转化或配凑.【典例【典例4】函数函数f(x)对任意的对任意的a、b R,都有都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当并且当x0时时,f(x)1.(1)求证求证:f(x)是是R上的增函数上的增函数;(2)若若f(4)=5,解不等式解不等式f(3m2-m-2)3.分析分析 (1)是抽象函数单调性的证
12、明是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义所以要用单调性的定义.(2)将函数不等式中抽象的函数符号将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性运用单调性“去去掉掉”,为此需将右边常数为此需将右边常数3看成某个变量的函数值看成某个变量的函数值.解解 (1)设设x1,x2 R,且且x10,则则f(x2-x1)1.f(a+b)=f(a)+f(b)-1,f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)-1又又f(x2-x1)-10,因此因此f(x2)f(x1),故故f(x)在在R上是增函数上是增函数.(2)令令a=b=2,则则f(4)=2f(2)-1.又又f(4)=5,f(2)=3
13、.原不等式即为原不等式即为f(3m2-m-2)f(2).由由(1)知知f(x)在在R上是增函数上是增函数,3m2-m-22.反思感悟反思感悟 (1)若函数若函数f(x)是增函数是增函数,则则f(x1)f(x2)x1x2,函函数不等式数不等式(或方程或方程)的求解的求解,总是想方设法去掉抽象函数的符总是想方设法去掉抽象函数的符号号,化为一般不等式化为一般不等式(或方程或方程)求解求解,但无论如何都必须在定义但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行域内或给定的范围内进行.(2)在解答过程中易出现不能正确构造在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将的形式或不能将不等式右边不等
14、式右边3转化为转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解从而不能应用函数的单调性求解,导导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式如何利用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化进行转化.错源一错源一不注意分段函数的特点不注意分段函数的特点 剖析剖析 本题的错误在于没有注意分段函数的特点本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了只保证了函数在每一段上是单调递减的函数在每一段上是单调递减的,没有使函数没有使函数f(x)在在(-,1上上的最小值大于的最小值大于(1,+)上的最
15、大值上的最大值,从而得出错误结果从而得出错误结果.答案答案 C错源二错源二 判断复合函数的单调性时判断复合函数的单调性时,未弄清内未弄清内 外函数的单调性外函数的单调性而致错而致错技法一技法一复合法复合法 方法与技巧方法与技巧 复合函数求单调区间是一个难点复合函数求单调区间是一个难点,我们应明确我们应明确单调区间必须是定义域的子集单调区间必须是定义域的子集,当求单调区间时当求单调区间时,必须先求必须先求出原复合函数的定义域出原复合函数的定义域,再根据基本函数的单调性与再根据基本函数的单调性与“同为同为增增,异为减异为减”的原则判断复合函数的单调区间的原则判断复合函数的单调区间.技法二技法二定义
16、法定义法 方法与技巧方法与技巧利用函数单调性的定义求单调区间的关键有两利用函数单调性的定义求单调区间的关键有两点点:一是对一是对f(x1)-f(x2)要正确变形要正确变形,主要途径有主要途径有:因式分解因式分解 配配方方 通分通分 有理化等有理化等;二是利用二是利用x1=x2=x确定函数增减区间的确定函数增减区间的分界点分界点,划定区间划定区间.技法三技法三图象法图象法【典例【典例3】求函数】求函数f(x)=|1-x2|+x的单调区间的单调区间,并指出单调性并指出单调性.方法与技巧方法与技巧作函数图象时作函数图象时,首先是要确定函数的定义域首先是要确定函数的定义域,特特别是分段函数的每一段的自变量的取值范围别是分段函数的每一段的自变量的取值范围,一定要对号入一定要对号入座座.当函数的表达式较为复杂时当函数的表达式较为复杂时,要注意讨论函数的性质要注意讨论函数的性质,然然后根据性质正确作出函数的图象后根据性质正确作出函数的图象.