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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1.2.1 排列 1 课堂导学三点剖析一、没有限制条件的排列问题【例 1】从甲、乙、丙3 名同学中选出2 名参加某天的一项活动，其中1 名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法?解析：从甲、乙、丙3 名同学中任选2 名分别参加上午、下午的活动，对应于从3 个元素中任取 2 个元素的一个排列，因此共有23A=3 2=6种不同的方法.温馨提示判断是否是排列问题，关键是看是否与顺序有关.此问题的活动分上午和下午.甲参加上午的活动，乙参加下午的活动与甲参加下午的活动，乙参加上午的活动是不同的选派方法，与顺序有关.因此，此
2、题是排列问题.二、有限制条件的排列问题【例 2】用 0，1，2，3，4，5，6 可以组成多少个没有重复数字的六位数?解 法 一：从 特 殊 元 素 入 手，0 只 能 放 在 除 十 万 位 外 的 其 他 五 个 数 位 上，故 共 组 成665615AAA=4 320 个没有重复数字的六位数.解法二：从特殊位置入手，十万位不能排0，可先从其他6 个数字中选出一个数字排到该位上，其他位置可随意排列，故共组成5616AA=4 320(个)没有重复数字的六位数.解法三：用排除法：先不考虑任何限制条件，共组成67A个六位数，但需去掉0 在十万位上的情形，有56A种，故共有67A-56A=4 320
3、(个)没有重复数字的六位数.温馨提示有限制条件的排列问题，往往先考虑有限制条件的特殊元素或特殊位置，这可叫“特殊元素(位置)优先法”.三、处理排列问题的典型问题和方法【例 3】三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法?(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法?解析：(1)(捆绑法)因为三个女生必须在一起，所以可以把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排共有66A种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A种不同的排
4、法，因此共有66A33A=4 320 种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间一个空，这样共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，使得每个位置至多有一个女生插入，就能保证任意两个女生都不相邻，因此共有55A36A=14 400 种不同的排法.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(3)(位置分析法)：因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5 个男生中的2 人，有25A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余6 位都有66A种排法，所以共有25A66A=14 400种不同的排法.(4)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了
5、男生，则末位就不再受条件限制了，这样可以有15A77A种不同的排法；如果首位是女生，有13A种排法，这时末位就只能排男生，共有13A15A66A种不同的排法，所以共有15A77A+13A15A66A=36 000种不同的排法.各个击破【类题演练1】5 本不同的书，从中选3 本送给 3 名同学，每人各1 本，共有多少种不同的选法?解析：不同选法的种数有35A=5 4 3=60(种).【变式提升1】某信号兵用红、黄、蓝3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂 1 面、2 面或 3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号?解析：用 1 面旗表示的信号有13A种，
6、用 2 面旗表示的信号有23A种，用 3 面旗表示的信号有33A种，根据分类计数原理，所求的信号数是13A+23A+33A=3+3 2+3 2 1=15(种).【类题演练2】某年级开设语文、政治、外语、体育、数学、物理、化学七门课程，依下列条件课程表有多少种不同排法.(1)一天开设七门不同课程，其中体育不排第一节也不排在第七节；(2)一天开设四门不同课程，其中体育不排第一节也不排在第四节.解析：(1)从元素考虑先满足体育后再安排其他课，从2-6 节中任取一节排体育有15A种排法，再从剩下的6 节课中排其它课程有66A种排法.依乘法原理有15A66A=3 600(种).【变式提升2】用 0，1，
7、2，9 十个数字可组成多少个没有重复数字的：(1)五位奇数?(2)大于 30 000 的五位偶数?解析：(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9 五个数字中取，有15A种取法.取定末位数字后，首位就有除这个数字和0 之外的八种不同取法.首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位，百位与千位三个数位选取，共有38A种不同的安排方法.因此由分步计数原理共有5838A=13 440 个没有重复数字的五位奇数.(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8 中选取，而要得比30 000 大的五位偶数，可分两类：末位数字从0，2 中选取，则首位可取3、4、5、6、7、8、9 中任一个，共7
8、种选取方法，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学其余三个数位就有除首末两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共38A种取法.所以共有 2738A种不同情况.末位数字从4、6、8 中选取，则首位应从3、4、5、6、7、8、9 中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有38A种选法，所以共有3 638A种不同情况.由分类计数原理，共有2738A+3 638A=10 752 个比 30 000 大的无重复数字的五位偶数.【类题演练3】从 6 名运动员中选出4 名参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法?解析：设全集 U=6 人中任取4 人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元集个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(A B)=24353546AAAA=252(种).【变式提升3】信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3 面红旗、2 面白旗，把这5 面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是()(用数字作答)解析：5 面旗全排列有55A种挂法，由于3 面红旗与2 面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故共有不同的信号种数是223355AAA=10(种).