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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1.2.4 组合（2）课堂导学三点剖析一、求解组合问题的等价转化方法【例 1】有 10 级台阶，一个人每步上一级、两级或三级，共7 步上完，则不同的走法共有多少种？解析：要首先确定每步一上级、两级或三级的步数，这可将问题等价转化为方程的解的问题.设每步上一级的步数为x，每步上两级的步数为y，每步上三级的步数为z，则.7,1032zyxzyx(x、y、z N).易知 0z1，可解得0,3,4zyx或.1,1,5zyx当 x=4,y=3,z=0时，它等价于将4 个相同的黑球、3 个相同的白球排成一列，共有47C=35种排法，则有35 种走法.
2、当 x=5,y=1,z=1时，同理可知有17C16C=42 种走法.由分类计数原理，共有35+42=77 种走法.二、注意排列组合应用题中的形同实异问题【例 2】（1）把 6 本不同的书平均分放在三只抽屉里，有多少种不同的放法？(2)把 6 本不同的书平均分放在甲、乙、丙三只抽屉里，有多少种不同的放法？解析：（1）和（2）的主要区别在于对三只抽屉有没有编号，(1)中对三只抽屉没有编号，所以说哪一只抽屉是第一只、第二只或第三只都是可以的.而（2）中对三只抽屉已经编了号.问题 1 有26C24C22C/33A=15 种放法；问题 2 有26C24C22C=90 种放法.温馨提示在排列组合应用题中，
3、有不少问题形同实异，在学习中容易发生混淆.对这样的题目，如果能经常注意对照、类比、辨析，对提高分析问题和解决问题的能力无疑是很有好处的.三、立体几何中的组合问题的解法【例 3】（2005 全国高考卷，11）不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的平面 共面()A.3 个 B.4个 C.6个 D.7个解析：事实上，平面 可以分为两类：一类是在平面 的两侧各有两个点；另一类是在平面 的两侧分别有一个点和三个点.不共面的四个定点可以构成三棱锥（如图），设 E、F、G、H、M分别是 AB、AC、AD、CD、BD的中点，过E、F、G三点的平面 满足题意，这样的平面有四个；又过E、F、H、M的平面 也
4、满足题意，这样的平面有三个.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学故适合题设的平面 共有七个，应选D.温馨提示在近几年的高考试题中出现了以立体几何的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题，这类问题情景新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强，能力要求高，解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时要注意避免重复和遗漏.本例中，根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，从而使问题得以解决.各个击破【类题演练1】8 个不加区别的小球放入四个不同的盒子中，每个盒子至少放一个，共有多少种放法？解析：将 8 个球摆成一列，设法分
5、成四部分，则每种分法对应一种放法.要想分成四部分，只需用 3 个隔板将它们隔开.8 个球共有 7 个空隙，选其中3个空隙插隔板，共有37C=35 种分法，故共有35 种放法.【变式提升1】圆周上有n(n4)个点，每两个点连一条弦，这些弦在圆内最多有多少个交点？解析：如图所示，P是圆上四点A、B、C、D 所引的弦在圆内的惟一交点，即圆内接四边形ABCD对角线的交点，易知，当没有三弦交于圆内一点（端点除外）时，弦在圆内的交点个数最多，且这时弦在圆内的交点与相应的圆内接四边形可以建立一一映射，所以这些弦在圆内最多有4nC个交点.【类题演练2】（1）把 7 个不同的玻璃球放在两个布袋中，有多少种不同的
6、放法？（2）把 7个玻璃球放在甲、乙两个布袋中，有多少种不同的放法？（必须两个布袋里都有玻璃球）解析：（1）共有17C+27C+37C=63（种）；（2）共有 2（17C+27C+37C）=126（种）.【变式提升2】十件奖品全部赠给九位先进工作者，每人至少得一件.如果十件奖品都相同，有多少种不同的赠送方法？解析：如果 10 件奖品都相同，那么得奖方法只有得2 件与 1 件的区别，赠2 件的方法有9种，也就是赠送的方法一共有19C种，即 9 种.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【类题演练3】（2005 江苏高考，12）四棱锥的8 条棱分别代表8 种不同的化工产品，有公共
7、点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库存放是危险的，没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库存放是安全的，现在编号的四个仓库存放这8 种化工产品，则安全存放的不同方法总数为()A.96 B.48 C.24 D.0 解析：如图分别用1 8 标号的棱表示8 种不同的化工产品，易知可以两两放入同一仓库的情况如下：（实质就是异面直线配对）故 8 种产品安全存放有“（1，5）、（2，6）、（3，7）、（4，8）”和“（1，8）、（2，5）、（3，6）、（4，7）”两种可能，故所求的方法种数为142A=48（种），故选 B.【变式提升3】在四棱锥PABCD 中,顶点为 P，从其他的顶点和各棱的中点中任取3 个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有_种.()A.40 B.48 C.56 D.62 解析：如图满足题设的取法可分为三类：在四棱锥的每个侧面上除P点外任取3 点，有 435C=40 种取法；在两个对角面上除点P外任取 3 点，共有 234C=8 种不同取法；过点 P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有412C=8种不同的取法.故不同的取法共有40+8+8=56种.答案：C