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1、例1已知随机相位正弦波已知随机相位正弦波 X(t)=a cos(t+)，其，其中中 a 0，为常数，为常数，为在（为在（0,2）内均匀分）内均匀分布的随机变量。布的随机变量。求随机过程求随机过程 X(t),t (0,)的的均值函数均值函数 mX(t)和相关函数和相关函数 RX(s,t)。2随机过程的基本概念随机过程的基本概念例2设设 X(t)为信号过程，为信号过程，Y(t)为噪声过程，为噪声过程，令令W(t)=X(t)+Y(t)，则则 W(t)的的均值函数为均值函数为其相关函数为其相关函数为 2随机过程的基本概念随机过程的基本概念例 求在求在0,1区间均匀分布的独立随机序列的均值区间均匀分布的
2、独立随机序列的均值向量、自相关阵和协方差阵，设向量、自相关阵和协方差阵，设N=3。解：解：Xi 的一维概率密度函数为：的一维概率密度函数为：Xi 的均值：的均值：Xi 的自相关函数：的自相关函数：均值向量均值向量自相关阵自相关阵协方差阵协方差阵 2随机过程的基本概念随机过程的基本概念例3n设复随机过程设复随机过程 ，其中，其中A1,A2,An 是相互独立且服从是相互独立且服从 N(0,)的的随机变量，随机变量，1,2,n 为常数，求为常数，求 Zt,t 0 的的均值函数均值函数 mZ(t)和相关函数和相关函数 RZ(s,t)。2随机过程的基本概念随机过程的基本概念例1设有随机相位过程设有随机相
3、位过程 X(t)=a sin(t+)，a,为常数，为常数，为为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程 X(t)的平稳性。的平稳性。解因此因此 X(t)是平稳随机过程。是平稳随机过程。3平稳过程平稳过程例2（白噪声序列）设设 Xn,n=0,1,2,是实是实的互不相关的互不相关随机变量随机变量序列序列，且，且 EXn=0，DXn=2，试讨论随机序列的，试讨论随机序列的平稳性平稳性。解因为因为:(1)EXn=0故故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与随机序列的均值为常数，相关函数仅与 有关，有关，因此它是平稳随机序列。因此它是平稳随机序列。3平稳过
4、程平稳过程例3设有随机相位过程设有随机相位过程 X(t)=a cos(t+)，a,为常数，为常数，为为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，试问上服从均匀分布的随机变量，试问 X(t)是是否为各态历经过程。否为各态历经过程。故故 X(t)是为各态历经过程。是为各态历经过程。3平稳过程平稳过程例4 设有两个随机过程设有两个随机过程X(t)=a cos(t+)和和Y(t)=b sin(t+)，其中，其中a,b,为常为常数，数，为为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，上服从均匀分布的随机变量，分析分析X(t)和和Y(t)是否联合平稳。是否联合平稳。解故故 X(t)和和 Y(t)均是平稳过程。均是平稳过
5、程。所以所以 X(t)和和 Y(t)是联合平稳的。是联合平稳的。3平稳过程平稳过程解例1 设有随机过程设有随机过程 X(t)=a cos(0t+)，其中其中 a,0 为常数，为常数，在下列情况下，求在下列情况下，求 X(t)的平均功率：的平均功率：(1)是在是在(0,2 )上服从均匀分布的随机变量；上服从均匀分布的随机变量；(2)是在是在(0,/2)上服从均匀分布的随机变量。上服从均匀分布的随机变量。(1)随机过程随机过程 X(t)是平稳过程，是平稳过程，相关函数：相关函数：平均功率：平均功率：(2)平均功率：平均功率：X(t)是非平稳过程是非平稳过程 4谱分析谱分析例2解已知平稳过程的相关函
6、数为已知平稳过程的相关函数为 ，其中，其中 a 0,0 为常数，求谱密度为常数，求谱密度 GX().4谱分析谱分析解例3 设随机序列设随机序列X(n)=W(n)+W(n-1)，其中，其中W(n)是高斯随是高斯随机序列，机序列，mW=0,RW(m)=2(m)，求，求X(n)的均值、自相关的均值、自相关函数和谱密度函数和谱密度 GX().4谱分析谱分析例4 如图所示如图所示X(t)是平稳过程，过程是平稳过程，过程Y(t)=X(t)+X(t T)也是平稳的，求也是平稳的，求Y(t)的功率谱。的功率谱。解 X(t)Y(t)延迟延迟T 4谱分析谱分析例1（h(t)的估计的估计）设线性系统输入一个白噪声过
7、程设线性系统输入一个白噪声过程 X(t)，其自相关函，其自相关函数为数为 RX()=N0 ()，则，则通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。假定假定过程过程 X(t)和和 Y(t)是各态历经的，是各态历经的，5随机信号通过线性系统的分析随机信号通过线性系统的分析例2 如图如图RC电路，若输入白噪声电压电路，若输入白噪声电压 X(t)，其相关函数为，其相关函数为 RX()=N0 ()，求输出电压，求输出电压 Y(t)的相关函数和平均功率。的相关函数和平均功率。解X(t)Y(t)RC 5随机信号通过线性系统的分析随机信号通过线性系统
8、的分析例3 如图有两个如图有两个LTI系统系统H1()和和H2()，若输入同一个均值为零的若输入同一个均值为零的平稳过程平稳过程 X(t)，它们的输出分别为，它们的输出分别为 Y1(t)和和Y2(t)。如何设计。如何设计H1()和和H2()才能使才能使Y1(t)和和Y2(t)互不相关？互不相关？解X(t)Y1(t)H1()H2()Y2(t)互不相关互不相关 协方差为零协方差为零当两个当两个LTI系统的系统的幅频特性幅频特性互不重叠时互不重叠时，则，则它们的输出它们的输出Y1(t)和和Y2(t)互不相关。互不相关。5随机信号通过线性系统的分析随机信号通过线性系统的分析例1 已知仪器在已知仪器在
9、0,t 内发生振动的次数内发生振动的次数 X(t)是具有参是具有参数数 的泊松过程。若仪器振动的泊松过程。若仪器振动k(k 1)次就会出现故障，次就会出现故障，求仪器在时刻求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。正常工作的概率。解故仪器故仪器在时刻在时刻 t0 正常工作的概率正常工作的概率为为:故障时刻就是仪器发生第故障时刻就是仪器发生第k振动的时刻振动的时刻Wk ，服从，服从 分布分布:6泊松过程泊松过程参数为参数为 n 和和 s/t 的二项分的二项分布布例2 设在设在 0,t 内事件内事件A已经发生已经发生 n 次，且次，且0 s t，对，对于于0 k n，求在，求在 0,s 内事件内事件A发
10、生发生 k 次的概率。次的概率。6泊松过程泊松过程例3 设在设在 0,t 内事件内事件A已经发生已经发生 n 次，求第次，求第k次次(k n)事件事件A发生的时间发生的时间Wk 的条件概率密度函数。的条件概率密度函数。Beta分布分布 6泊松过程泊松过程例4 某某电电话话交交换换台台在在 0,t 时时间间内内收收到到的的呼呼叫叫次次数数X(t)是是一一个个泊泊松松过过程程，平平均均每每分分钟钟2次次。(1)求求 3分分钟钟内内接接到到5次次呼呼叫叫概概率率；(2)若若3分分钟钟内内已已接接到到5次次，求求前前2分分钟钟收收到到4次次呼呼叫的概率，以及第叫的概率，以及第2次呼叫发生在第次呼叫发生
11、在第1分钟内的概率。分钟内的概率。6泊松过程泊松过程马尔可夫链的几个简单例子例1 二进制对称信道模型是是常常用用于于表表征征通通信信系系统统的的错错误误产产生生机机制制的的离离散散无无记记忆忆信信道道模模型型。假假设设某某级级信信道道输输入入0,1数数字字信信号号后后，其其输输出出正正确确的的概概率率为为p，产产生生错错误误的的概概率率为为q，则则该该级级信信道道输输入入状状态和输出状态构成一个两状态的齐次马尔可夫链。态和输出状态构成一个两状态的齐次马尔可夫链。0011ppqq一步转移概率矩阵：一步转移概率矩阵：二步转移概率矩阵：二步转移概率矩阵：7马尔可夫链马尔可夫链例2 具有吸收壁和反射壁
12、的随机游动设设质质点点在在线线段段1,4上上作作随随机机游游动动。假假设设它它只只能能在在时时刻刻 n T 发发生生移移动动，且且只只能能停停留留在在1,2,3,4点点上上。当当质质点点转转移移到到2,3点点时时，它它以以1/3的的概概率率向向左左或或向向右右移移动动一一格格，或或停停留留在在原原处处。当当质质点点移移动动到到点点1时时，它它以以概概率率1停停留留在在原原处处。当当质质点点移移动动到到点点4时时，它它以以概概率率1移移动动到到点点3。若若以以Xn 表表示示质质点点在在时时刻刻 n 所处的位置，则所处的位置，则 Xn,n T 是一个齐次马尔可夫链。是一个齐次马尔可夫链。7马尔可夫
13、链马尔可夫链例3 设设 Xn,n T 是是一一个个马马尔尔可可夫夫链链，其其状状态空间态空间 I=a,b,c，转移矩阵为，转移矩阵为求：求：7马尔可夫链马尔可夫链解：二步转移概率矩阵：二步转移概率矩阵：7马尔可夫链马尔可夫链例4 设马尔可夫链的状态空间设马尔可夫链的状态空间 I=0,1,2,，其转移概率为，其转移概率为分析各状态的类型。分析各状态的类型。解：解：先考查状态先考查状态0，可见状态可见状态0是非周期的，因而状态是非周期的，因而状态0也是遍历的。也是遍历的。由归纳法可知，由归纳法可知，(根据根据pij(n)来判断来判断)状态状态0 0为常返态为常返态 状态状态0 0为正常返态为正常返
14、态因为因为 其它其它i 0，故所有，故所有 i 也是遍历的。也是遍历的。7马尔可夫链马尔可夫链例5 设马氏链设马氏链 Xn 的状态空间的状态空间 I=1,2,3,4,5 ，转移矩阵为，转移矩阵为试分析其闭集及不可约性。试分析其闭集及不可约性。1/21/21/211/211 3,1,4,1,4,3,1,4,2,3 都是闭集；都是闭集；其中其中 3 和和 1,4 是不可约闭集；是不可约闭集；7马尔可夫链马尔可夫链例6 设设状态空间状态空间 I=1,2,6 ，转移矩阵为，转移矩阵为试分解此链，并指出各状态的常返性及周期性。试分解此链，并指出各状态的常返性及周期性。7马尔可夫链马尔可夫链例7（例例4.16）设马尔可夫链设马尔可夫链的转移概率矩阵为的转移概率矩阵为P，求马，求马氏链的平稳分布及各状态的平均返回时间。氏链的平稳分布及各状态的平均返回时间。解：因为该因为该马氏链是马氏链是不可约的非不可约的非周期周期有有限状态限状态，所以存在平稳分布。所以存在平稳分布。各状态的平均返回时间分别各状态的平均返回时间分别为：为：平稳分布为：平稳分布为：7马尔可夫链马尔可夫链