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1、预备知识预备知识数轴数轴Ox上的点上的点M 直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点MxOyAOxxM(x,y)xy实数实数x实数对实数对(x，y)右手直角坐标系右手直角坐标系一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 Oxyz横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴 右手直角坐标系：右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中，让右手拇指指向让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向轴的正方向，食指指向 y 轴轴的正方向，如果中指指向的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系这个坐标系为右手直角坐标系空间的点空间的点有序数组有序数组空间中的点的坐标空间中的点的坐标x
2、叫做点叫做点M的的横横坐标坐标y叫做点叫做点M的的纵纵坐标坐标z叫做点叫做点M的的竖竖坐标坐标CDBACOAByzxxoy平面上的点竖坐标为平面上的点竖坐标为0yoz平面上的点横坐标为平面上的点横坐标为0 xoz平面上的点纵坐标为平面上的点纵坐标为0 x轴上的点纵坐标竖坐标为轴上的点纵坐标竖坐标为0z轴上的点横坐标纵坐标为轴上的点横坐标纵坐标为0y轴上的点横坐标竖坐标为轴上的点横坐标竖坐标为0一、坐标平面内的点一、坐标平面内的点二、坐标轴上的点二、坐标轴上的点CDBACOABzyx例例1：如图：如图与与 相交于点相交于点P写出点写出点P的坐标。的坐标。平面：平面：的中点的中点类比类比猜想猜想中
3、点坐标公式中点坐标公式空间：空间：的中点的中点CDBACOAByzx棱长为棱长为a，OB与与BD交于点交于点Q写出点写出点Q的坐标。的坐标。类比类比猜想猜想两点间距离公式两点间距离公式例例2 2 在空间中，已知点在空间中，已知点A(1,0,-1)A(1,0,-1)，B(4,3,-1)B(4,3,-1)，求，求A A、B B两点之间的距离两点之间的距离.例例3 3 已知两点已知两点 A(-4,1,7)A(-4,1,7)和和B(3,5,-2)B(3,5,-2)，点点P P在在z z轴上，若轴上，若|PA|=|PB|PA|=|PB|，求点，求点P P的坐标的坐标.平面向量平面向量空间向量空间向量具有
4、大小和方向的量具有大小和方向的量几何表示：有向线段几何表示：有向线段 字母表示字母表示:向量的大小向量的大小 模为模为0的向量，与任何向量共线的向量，与任何向量共线模为模为1的向量，没有规定方向的向量，没有规定方向长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量定义定义表示法表示法向量的模向量的模零向量零向量单位向量单位向量相反向量相反向量相等向量相等向量一、空间向量的基本概念一、空间向量的基本概念ababOABb空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，内，成为同一平面内的两个向量。内，成为同一平面内的
5、两个向量。O1.空间向量的运算就是平面向量运算的空间向量的运算就是平面向量运算的推广推广2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们平面向量中有关结论仍适用于它们。平面向量平面向量空间向量空间向量二、空间向量的加法与减法运算二、空间向量的加法与减法运算加法法则加法法则运算律运算律减法法则减法法则加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律OAB三角形法则三角形法则OABC平行四边形法则平行四边形法则OAB三角形法则三角形法则三、空间向量的数乘运算三、空间向量的数乘运算例如例如:空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数乘运算满足分配律
6、及结合律三、空间向量的数乘运算三、空间向量的数乘运算ABCDABCD例例1解：ABCDABCD设M是线段CC的中点，则解：ABCDABCDM设G是线段AC靠近点A的 三等分点，则GABCDABCDM解：例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1四、共线向量四、共线向量零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线.1.1.空间共线向量空间共线向量:如果表示空间向量的有向线如果表示空间向量的有向线段所在直线互相段所在直线互相平行或重合平行或重合,则这些向量叫做则这些向量叫做共线向量共线向量(或平行向量或平行向量),),记作记作2.2.与平面向量一样
7、，与平面向量一样，对空间任意两个向量对空间任意两个向量的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数 使使2.中线性质：中线性质：若若P P为为ABAB中点中点,则则OABP1.A、B、P三点共线三点共线四、共线向量四、共线向量1.1.平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量任意三个向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac五、共面向量五、共面向量平面向量基本定理：【温故知新】【温故知新】2.如果两个向量如果两个向量 不共线不共线，则向量则向量 与向量与向量 共面的充
8、要共面的充要条件是条件是存在唯一实数对存在唯一实数对x,y使使C五、共面向量五、共面向量实数对实数对3.空间四点空间四点P、A、B、C共面共面五、共面向量五、共面向量 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线向量所在直线互相平行或重合互相平行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量定理定理推论推论运用运用判断三点共线，判断三点共线，或两直线平行或两直线平行判断四点共面，或直线平行判断四点共面，或直线平行于平面于平面共面共面共线向量与共面向量的区别共线向量与共面向量的区别 1.下列命题中正确的有：下列命题中正确的有：A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4
9、个个B2.对于空间中的三个向量对于空间中的三个向量它们一定是：它们一定是：A.共面向量共面向量B.共线向量共线向量C.不共面向量不共面向量D.既不共线又不共面向量既不共线又不共面向量A3.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任内，并且对空间任意一点意一点O，,则则x的值为：的值为：D4.已知已知A、B、C三点不共线，对平面外一点三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点，在下列条件下，点P是否与是否与A、B、C共面？共面？两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义O OA AB B六、向量的数量积六、向量的数量积1.1.向量的夹角：向量的夹角：平移到同起点平移到同起点2.2.注意：注
10、意：两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。六、向量的数量积六、向量的数量积1.1.空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 注意：注意：性质性质2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质性质3 3）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：2.2.空间向量的数量积满足的运算律：空间向量的数量积满足的运算律：9090页思考页思考注意：注意：1.数量积不满足结合律数量积不满足结合律2.2.数量积不满足除法数量积不满足除法3.3.数
11、量积不满足消去律数量积不满足消去律1.下列命题成立吗?若 ,则若 ,则3.设设A、B、C、D是空间不共面的四点是空间不共面的四点,且满足且满足则则 BCD是是()三角形三角形 A.钝角钝角B.直角直角C.锐角锐角C C第第92页页1,2,3ABA1C1B1C1.如图如图,在正三棱柱在正三棱柱ABC-A1B1C1中中,若若AB=BB1,则则AB1与与C1B所成角的大小为所成角的大小为 2.已知在平行六面体已知在平行六面体 中，中，求对角线的长。求对角线的长。通过学习通过学习,我们可以利用我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：向量数量积解决立体几何中的以下问题：1 1、证明两直线垂直、证
12、明两直线垂直;2 2、求两点之间的距离或线段长度、求两点之间的距离或线段长度;3 3、求两直线所成角、求两直线所成角.1.已知空间四边形已知空间四边形OABC中中,M,N,P,Q分别为分别为BC,AC,OA,OB的中点的中点,若若AB=OC,求证：求证：PMQN2.在平行四边形在平行四边形ABCD中中,AB=AC=1,ACD=90,将它沿对角线将它沿对角线AC折起折起,使使AB与与CD成成60角角,求求BD3.如图，已知空间四边形如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角的每条边和对角线长都等于线长都等于a，点，点E、F、G分别是分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：的中点。求下列
13、向量的数量积：ABCDEFG任意任意不共面不共面的三个向量都可做为空间的一个的三个向量都可做为空间的一个基底基底。六、空间向量基本定理六、空间向量基本定理 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使都叫做都叫做基向量基向量基向量是非零向量；基向量是非零向量；三个基向量是不共面的三个基向量是不共面的已知空间四边形已知空间四边形OABC，其对角线为，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边，分别是对边OA，BC的中点，点的中点，点P，Q是是线段线段MN三等分点，用基向量三等分点，用基向量OA，OB，OC表示表示向量向量OP,OQ.BOACPNMQ练习练习平行
14、六面体中平行六面体中,点点MC=2=2AM,A1 1N=2=2ND,设设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用试用a,b,c表示表示MN.分析分析:要用要用a,b,c表示表示MN,只要结合图形只要结合图形,充充分运用空间向量加法分运用空间向量加法和数乘的运算律即可和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN练习练习.空间四边形空间四边形OABCOABC中中,OA=,OA=a,OB=,OB=b,OC=,OC=c点点M M在在OAOA上上,且且OM=2MA,NOM=2MA,N为为BCBC的中点的中点,则则MN=().MN=().OABCMN(A)a b+c 122312(B)a+b+c 12
15、2312(C)a+b c 122312(D)a+b c 122323练习练习e1e2e3单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的三如果空间的一个基底的三个基向量个基向量互相垂直互相垂直，且，且长都为长都为1，则这个基，则这个基底叫做底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用 e1,e2,e3 表表示示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一在空间选定一点点O和一个和一个 单位正交基底单位正交基底 如图建立了一个如图建立了一个 空间直角坐标系空间直角坐标系O-xyzxyzO七、空间直角坐标系七、空间直角坐标系 给定一个空间坐标系给定一个空间坐标系和向量和向量 ,且设且设e1,e2,e
16、3为坐为坐标向量，由空间向量基本标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实定理，存在唯一的有序实数组数组(x,y,z)使使 p=xe1+ye2+ze3 有序数组有序数组(x,y,z)叫做叫做p在在空间直角坐标系空间直角坐标系O-xyz中的中的坐标，记作坐标，记作P(x,y,z)xyzOe1e2e3七、空间直角坐标系七、空间直角坐标系【新知探究】【新知探究】平面向量运算的坐标表示：平面向量运算的坐标表示：平面向量运算的坐标表示：平面向量运算的坐标表示：类类比比推推广广空间向量运算的坐标表示：空间向量运算的坐标表示：空间向量运算的坐标表示：空间向量运算的坐标表示：例例1已知已知 解解:【应用举例
17、】【应用举例】【新知探究】【新知探究】平面向量运算的坐标表示：平面向量运算的坐标表示：平面向量运算的坐标表示：平面向量运算的坐标表示：类类比比推推广广空间向量运算的坐标表示：空间向量运算的坐标表示：空间向量运算的坐标表示：空间向量运算的坐标表示：在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式练习练习23例例2.正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E1、F1分别是分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，求：的一个四等分点，求：BE1与与DF1所成角的余弦值所成角的余弦值.(1)建立直角坐标系，建立直角坐标系，(2)把点、向量坐标化，把
18、点、向量坐标化，(3)对向量计算或证明。对向量计算或证明。ABA1C1B1C1.如图如图,在正三棱柱在正三棱柱ABC-A1B1C1中中,若若AB=BB1,求求AB1与与C1B所成角的大小所成角的大小课本课本92页练习第页练习第1题题xyz(09广东理广东理)已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，点，点E是正方形是正方形BCC1B1的中心，的中心，点点F、G分别是棱分别是棱 C1D1,AA1的中的中点设点点设点E1,G1分别是点分别是点 E,G在平面在平面DCC1D1内的正投影内的正投影(2)证明：直线证明：直线FG1平面平面 FEE1；(3)求异面直线求异面直线E1G1与与EA所成角的正弦值所成角的正弦值.【尝试高考】【尝试高考】EFE1GG1(09广东理广东理)已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，点，点E是正方形是正方形BCC1B1的中心，的中心，点点F、G分别是棱分别是棱 C1D1,AA1的中的中点设点点设点E1,G1分别是点分别是点 E,G在平面在平面DCC1D1内的正投影内的正投影(2)证明：直线证明：直线FG1平面平面 FEE1；(3)求异面直线求异面直线E1G1与与EA所成角的正弦值所成角的正弦值.【尝试高考】【尝试高考】EFE1GG1