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1、数列通项公式的求法数列通项公式的求法为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益n观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系n例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：9，99，999，9999，解：（1）变形为：1011，1021，1031，1041，通项公式为：1.观察法观察法为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益n当已知数列为等差或等比数列时，可直当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只接利用等差或等比数列
2、的通项公式，只需求得首项及公差公比。需求得首项及公差公比。2.2.公式法公式法例例2 2：已知数列已知数列anan是公差为是公差为d d的等差数列，数列的等差数列，数列bnbn是公比为是公比为q q的的(qR(qR且且q1)q1)的等比数列，若函数的等比数列，若函数f(x)=f(x)=(x(x1)1)2 2，且，且a a1 1=f(d=f(d1)1)，a a3 3=f(d+1)=f(d+1)，b b1 1=f(q+1)=f(q+1)，b b3 3=f(q=f(q1)1)，(1)(1)求数列求数列 a n a n 和和 b n b n 的通项公式；的通项公式；解：解：(1)a(1)a 1 1=f
3、(d=f(d1)=(d1)=(d2)2)2 2，a a 3 3=f(d+1)=d =f(d+1)=d 2 2，aa3 3a a1 1=d=d 2 2(d(d2)2)2 2=2d=2d，d=2d=2，aan n=a=a1 1+(n+(n1)d=2(n1)d=2(n1)1)；又又b b1 1=f(q+1)=q=f(q+1)=q 2 2，b b3 3=f(q=f(q1)=(q1)=(q2)2)2 2，=q2=q2，由，由qRqR，且，且q1q1，得，得q=q=2 2，bbn n=bqn=bqn1=4(1=4(2)n2)n1 1为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作
4、人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益3.S 3.S n n法法为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益（1 1）若）若f(n)f(n)为常数为常数,即：即：a an+1n+1-a-an n=d,=d,此时数列为等此时数列为等差数列，则差数列，则a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d（2 2）若）若f(n)f(n)为为n n的函数时，用累加法的函数时，用累加法.方法如下：方法如下：由由
5、 a an+1n+1=a=an n+f(n)+f(n)得：当得：当n1n1时，有时，有 a an n=a=an-1n-1+f(n-1)+f(n-1)a an-1 n-1=a=an-2n-2+f(n-2)+f(n-2)a a3 3=a=a2 2 +f(2)+f(2)a a2 2 =a=a1 1 +f(1)+f(1)所以各式相加得所以各式相加得a an n-a-a1 1=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1)=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1).一般地，对于型如一般地，对于型如an+1=an+f(n)的通项公式，的通项公式，只要只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。能进行
6、求和，则宜采用此方法求解。4.4.叠加法叠加法也可用横式来写：也可用横式来写：(也称累加法）也称累加法）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例 已知数列an中,a1=1,an=an-1+n,求数列an的通项公式。解：an=an-1+n an-1=an-2+（n-1）a3=a2 +3 a2=a1 +2各式相加得，an=a1+n+(n-1)+3+2 =1+n+(n-1)+3+2 =n(n+1)/2当n=1时，a1=(12)/2=1,故，an=n(n+1)/2为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的
7、事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例 已知数列an中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列an的通项公式。解：an -an-1=2n-1-(n-1)an-1-an-2=2n-2-(n-2)a3-a2 =22 -2 a2 -a1 =21 -1各式相加得，an=a1+(2n-1+2n-2+22+21)-(n-1)+(n-2)+2+1 =1+(2n-2)+n(n-1)/2 =2n+n(n-1)/2 1当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an=2n+n(n-1)/2-1为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工
8、的合法权益已知已知,a a1 1=a=a，an+1=an+f(n),其中其中f(n)f(n)可以是关于可以是关于n n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项求通项.若若f(n)f(n)是关于是关于n n的一次函数，累加后可转化为等的一次函数，累加后可转化为等差数列求和差数列求和;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的二次函数，累加后可分组求和的二次函数，累加后可分组求和;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的指数函数，累加后可转化为等的指数函数，累加后可转化为等比数列求和比数列求和;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的分式函数，累加后
9、可裂项求的分式函数，累加后可裂项求和。和。备 注：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益（1 1）当）当f(n)f(n)为常数为常数,即：即：（其中（其中q q是不为是不为0 0的数）的数）,此时此时,数列为等比数列，数列为等比数列，a an n=a=a1 1qqn-1n-1.（2 2）当）当f(n)f(n)为为n n的函数时的函数时,用累乘法用累乘法.由由 得得n1 n1 时，时，5.5.叠乘法叠乘法对于型如：对于型如：a an+1n+1=f(n)a=f(n)an n 类的通项公式，当类的通项公式，当f(1)f(2
10、)f(n)f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方的值可以求得时，宜采用此方法。法。(也称累乘法、累积法）也称累乘法、累积法）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益本题是关于本题是关于a an n和和a an+1n+1的二次齐次式，可以通过的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到因式分解（一般情况时用求根公式）得到a an n与与a an+1n+1的更为明显的关系式，从而求出的更为明显的关系式，从而求出.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度
11、，保障用人单位和职工的合法权益（1 1）若）若c=1c=1时，数列时，数列anan为等差数列为等差数列;（2 2）若）若d=0d=0时，数列时，数列anan为等比数列为等比数列;（3 3）若）若c c11且且d0d0时，数列时，数列anan为线性递推数列，为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求其通项可通过构造辅助数列来求.方法方法1 1：待定系数法：待定系数法 设设a an+1n+1+m=c(a+m=c(an n+m),+m),得得a an+1n+1=c a=c an n+(c-1)m,+(c-1)m,与题设与题设a an+1n+1=c a=c an n+d,+d,比较系数得比较系数得:
12、(c-1)m=d,:(c-1)m=d,所以有：所以有：m=d/(c-1)m=d/(c-1)因此数列因此数列 构成以构成以 为首项，以为首项，以c c为公比的等比数列，为公比的等比数列，6.6.辅助数列法辅助数列法这种方法类似于换元法这种方法类似于换元法,主要用于形如主要用于形如a an+1n+1=c a=c an n+d+d(c(c0,a0,a1 1=a)=a)的已知递推关系式求通项公式。的已知递推关系式求通项公式。（构造法或待定系数法）（构造法或待定系数法）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益.为了规范事业单位聘
13、用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益方法四：归纳、猜想、证明方法四：归纳、猜想、证明.1.1.先计算出先计算出a a1 1,a,a2 2,a,a3 3;2.2.再猜想出通项再猜想出通项an;an;3.3.最后用数学归纳法证明最后用数学归纳法证明.方法三：迭代法方法三：迭代法 由由 递推式递推式直接迭代得直接迭代得为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例已知数列例已知数列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an+1n+1=2a=2an n+3,+3
14、,求数求数列的通项公式列的通项公式解法解法1 1：由由a an+1n+1=2a=2an n+3+3得得 a an+1n+1+3=2+3=2（a an n+3+3）所以所以aan n+3+3是以是以a a1 1+3+3为首项，以为首项，以2 2为公比的等为公比的等比数列，所以比数列，所以:a:an n+3=+3=（a a1 1+3+3）2 2n-1n-1故故a an n=6=622n-1n-1-3-3解法解法2 2：因为因为a an+1n+1=2a=2an n+3+3，所以，所以n1n1时，时，a an n=2a=2an-1n-1+3+3，两式相减，得：，两式相减，得：a an+1 n+1-a-
15、an n=2(a=2(an n-a-an-1n-1).).故故aan n-a-an-1n-1 是以是以a a2 2-a-a1 1=6=6为首项，以为首项，以2 2为公比的等比数列为公比的等比数列.a an n-a-an-1n-1=(a=(a2 2-a-a1 1)2)2n-1n-1=62=62n-1n-1,a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+(a)+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1 =6(2=6(2n-1n-1-1)+3=3(2-1)+3=3(2n-1n-1-1)-1)为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场
16、经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例例.已知已知求数列求数列 a an n 的通项公式的通项公式.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例例.已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=1,=1,a an+1n+1+3a+3an+1n+1a an n-a
17、-an n=0,=0,求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益7.7.逐差法逐差法 形如形如a an+1n+1+a+an n=f(n)=f(n)的数列的数列.（1 1）若）若a an+1n+1+a+an n=d=d （d d为常数），则数列为常数），则数列 a an n 为为“等和数列等和数列”，它是一个周期数列，周期为，它是一个周期数列，周期为2 2，其通项分奇数项和偶数项来讨论其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2 2）若）若f(n)f(n)为为n n的函数（非常数）时，可
18、通过构的函数（非常数）时，可通过构造转化为造转化为a an+1n+1-a-an n=f(n)=f(n)型，通过累加来求出通项型，通过累加来求出通项;或用逐差法或用逐差法(两式相减两式相减)转化为转化为a an+1n+1-a-an-1n-1=f(n)-f(n-1),=f(n)-f(n-1),分奇偶项来分求通项分奇偶项来分求通项.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益n例例.数列数列aan n 满足满足a1=0,aa1=0,an+1n+1+a+an n=2n,=2n,求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.为了规范
19、事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益再见为了规范事业单位聘用关
20、系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 8
21、9.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作
22、，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这
23、个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 1
24、05.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事
25、。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心
26、所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆
27、是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金