第六节 定积分应用精选PPT.ppt

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1、第六节 定积分应用第1页，此课件共80页哦一、微元法一、微元法 按定积分概念，定积分按定积分概念，定积分取决于函数取决于函数 和它的定义区间和它的定义区间 。定积分定积分 对于区间具有可加性是指区间对于区间具有可加性是指区间上对应的总量等于所有子区间上对应的总量等于所有子区间 上对上对应的部分量应的部分量 之和。凡是之和。凡是需要用定积分来需要用定积分来度量的量，必须具有可加性度量的量，必须具有可加性这一基本特征。这一基本特征。第2页，此课件共80页哦 若函数若函数 在区间在区间 上连续，变上限积上连续，变上限积分分 对积分上限的导数为对积分上限的导数为 也就是说用也就是说用定积分度量的整体量

2、定积分度量的整体量 在在 内子内子区间区间 上所对应的部分量上所对应的部分量 的近似值的近似值就是就是 在在 点的微分，即点的微分，即按微分概念，子区间按微分概念，子区间 上部分量上部分量 与近与近似值似值 之差为之差为 时，比时，比 高阶的无穷小高阶的无穷小第3页，此课件共80页哦 通常把定积分度量的量通常把定积分度量的量 在在 的子区间的子区间 上所对应的部分量上所对应的部分量 近似为子区间长近似为子区间长度度 的线性函数的线性函数 。称为积分量称为积分量 的微元（元素）的微元（元素）用微元法解决具体问题时，在确定积分变用微元法解决具体问题时，在确定积分变量量 和积分区间和积分区间 之后，

3、关键步骤是之后，关键步骤是找出积找出积分量分量 的微元的微元 ，然后计算定积分，然后计算定积分第4页，此课件共80页哦按定积分微元法概念：按定积分微元法概念：无限细分：无限细分：将函数将函数 的定义区间的定义区间 细分成无细分成无穷多个子区间任意取其中一个记为穷多个子区间任意取其中一个记为 以以函数在函数在 点的值点的值 和小区间长度和小区间长度 的积作的积作为积分量为积分量 的微元的微元 ；第5页，此课件共80页哦 无限求和：无限求和：定义在区间定义在区间 上的积分量上的积分量 是所有微是所有微元的总和，即元的总和，即 利用利用微元法微元法可以计算很多如几何的、物理的可以计算很多如几何的、物

4、理的或其它方面的无限可加量的求和问题。或其它方面的无限可加量的求和问题。第6页，此课件共80页哦二、平面图形的面积二、平面图形的面积 1.1.在直角坐标中计算在直角坐标中计算 【例题】【例题】求由抛物线求由抛物线 ，横轴及，横轴及直线直线 所围成的图形面积所围成的图形面积解：解：函数方程为函数方程为面积微元为面积微元为故故第7页，此课件共80页哦【例题】【例题】计算由两条抛物线计算由两条抛物线 和和 所围成的图形面积所围成的图形面积.解：解：解出两条抛物线解出两条抛物线 和和 的交点坐标为的交点坐标为原点原点 和点和点 ，图形定义于区间图形定义于区间 上上 第8页，此课件共80页哦 在垂直于在

5、垂直于 轴的方向轴的方向上，取区间上，取区间 上任一子上任一子区间区间 ,在此子区间在此子区间上对应的面积元素为：上对应的面积元素为：（见图示）（见图示）面积元面积元因此，两条抛物线所围成的图形面积为因此，两条抛物线所围成的图形面积为 第9页，此课件共80页哦 类似的类似的，若将所求面积的图形看作定义于，若将所求面积的图形看作定义于到到 区间内，由曲线区间内，由曲线 所围成，所围成，则则 任取子区间任取子区间 它所对应的面积元素它所对应的面积元素 两条抛物线所围成的两条抛物线所围成的图形面积为：图形面积为：第10页，此课件共80页哦 一般说来一般说来，如果平面图形由曲线，如果平面图形由曲线 和

6、和 及直线及直线 所围成所围成,在区间在区间 内任取子区间内任取子区间 ，它所对应的，它所对应的面积元素面积元素图形面积为图形面积为第11页，此课件共80页哦 如果平面图形是由曲线如果平面图形是由曲线 和和直线直线 所围成（意味着所围成（意味着 是自变量，是自变量，是函数），在区间是函数），在区间 内任取子区间内任取子区间它所对应的面积元素它所对应的面积元素图形面积图形面积第12页，此课件共80页哦【例题】【例题】计算被抛物线计算被抛物线 与直线与直线 所围成的图形面积所围成的图形面积.解：解：抛物线抛物线 与直线与直线 的两个交点分的两个交点分别是别是 如果分割如果分割 的变的变化区间化区间

7、 ,在其中任取在其中任取子区间子区间 第13页，此课件共80页哦它所对应的它所对应的面积元素面积元素 图形面积图形面积 第14页，此课件共80页哦 如果分割如果分割 的变的变化区间化区间 在其中任取子区间在其中任取子区间 此时，它所对应此时，它所对应的的面积元素需要分段面积元素需要分段表达表达：在区间在区间 为为 在区间在区间 为为 第15页，此课件共80页哦第16页，此课件共80页哦解：解：面积元为面积元为【例题【例题】求椭圆求椭圆 所围图形的面积。所围图形的面积。令令原式原式第17页，此课件共80页哦【例题【例题】求椭圆求椭圆 所围成的图形面积。所围成的图形面积。第18页，此课件共80页哦

8、解：解：图形关于两坐标轴都对称图形关于两坐标轴都对称 第19页，此课件共80页哦 求星形线求星形线 所围成的所围成的图形面积。图形面积。图形关于两坐标轴都对称图形关于两坐标轴都对称 解：解：第20页，此课件共80页哦 求旋轮线求旋轮线 ,之一拱之一拱与与 所围成的图形面积。所围成的图形面积。解：解：第21页，此课件共80页哦2.2.在极坐标中计算在极坐标中计算 极坐标：极坐标：如图示，以极径如图示，以极径 和极角和极角 来确来确定平面上点的坐标，记为定平面上点的坐标，记为 极坐标与直角坐极坐标与直角坐标的关系为标的关系为第22页，此课件共80页哦如果如果曲线曲线由极坐标方程由极坐标方程 给出，

9、这条曲线与从原点出发的两条射给出，这条曲线与从原点出发的两条射 线线 围成一个曲边扇形。围成一个曲边扇形。在极角在极角 的变化区间的变化区间 内任取一个内任取一个微小的子区间微小的子区间 ，它所对应的微小，它所对应的微小曲边扇形就是极坐标中的曲边扇形就是极坐标中的面积元素面积元素，即，即 第23页，此课件共80页哦曲边扇形面积由定积分给出：曲边扇形面积由定积分给出：【例题】【例题】计算计算ArchimedesArchimedes螺线上一段弧螺线上一段弧 与极轴所围成的图形面积。与极轴所围成的图形面积。第24页，此课件共80页哦解：解：取极角取极角 为积分为积分变量，螺线内的变量，螺线内的面积元

10、面积元素素图形面积图形面积第25页，此课件共80页哦【例题】【例题】计算心形线计算心形线 所围成的图形面积并求心形线与圆所围成的图形面积并求心形线与圆 交集的交集的面积。面积。解：解：心形线围成图形的面积心形线围成图形的面积 第26页，此课件共80页哦第27页，此课件共80页哦心形线与圆心形线与圆 交集的面积交集的面积第28页，此课件共80页哦三、体积三、体积 1.1.旋转体的体积旋转体的体积 一个平面图形绕此平面内一条直线旋转一周一个平面图形绕此平面内一条直线旋转一周而形成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴。而形成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴。圆柱（圆盘）、圆锥、球体等都是最简单的

11、旋转圆柱（圆盘）、圆锥、球体等都是最简单的旋转体，计算旋转体的体积的方法有体，计算旋转体的体积的方法有“切片切片”法和圆法和圆柱薄壳法柱薄壳法 第29页，此课件共80页哦第30页，此课件共80页哦 “切片切片”法法 由曲线由曲线 和直线和直线 ，所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周形成的旋轴旋转一周形成的旋转体被垂直于转体被垂直于 轴诸多平行平面所分割，成轴诸多平行平面所分割，成为很多纵切片。在子区间为很多纵切片。在子区间 上的窄曲上的窄曲边梯形所生成的半径为边梯形所生成的半径为 的薄圆盘形切片的薄圆盘形切片就是旋转体的体积微元。就是旋转体的体积微元。第31页，此课件共80页哦旋转

12、体的体积微元旋转体的体积微元旋转体的体积为旋转体的体积为 第32页，此课件共80页哦 如果旋转体是由曲线如果旋转体是由曲线 和直线和直线 所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕 轴旋转一轴旋转一周形成的，它被垂直于周形成的，它被垂直于 轴的诸多平行平面所轴的诸多平行平面所分割，成为很多横切片。分割，成为很多横切片。第33页，此课件共80页哦此此旋转体体积旋转体体积为为体积微元为体积微元为 第34页，此课件共80页哦【例题】【例题】求上下底面半径分别为求上下底面半径分别为 高为高为 的的圆台体积。圆台体积。解：解：把圆台看作一个直角梯形（如图所示）把圆台看作一个直角梯形（如图所示）绕绕 轴旋转一周

13、形成的。梯形斜边的方程为轴旋转一周形成的。梯形斜边的方程为 圆台体积圆台体积第35页，此课件共80页哦第36页，此课件共80页哦 讨论：讨论：若若 ，上式给出底半径为，上式给出底半径为 高为高为 的圆锥体积的圆锥体积 。第37页，此课件共80页哦【例题】【例题】计算由椭圆计算由椭圆 分别绕分别绕 轴轴旋转形成的旋转椭球体积。旋转形成的旋转椭球体积。解：解：椭圆绕椭圆绕 轴旋转形成椭球体积轴旋转形成椭球体积椭圆绕椭圆绕 轴旋转形成椭球体积轴旋转形成椭球体积第38页，此课件共80页哦第39页，此课件共80页哦讨论：讨论：若若 ，得半径为，得半径为 的球体体积的球体体积 第40页，此课件共80页哦

14、圆柱薄壳法圆柱薄壳法 旋转体也可以看作一系列半径连续变化、柱旋转体也可以看作一系列半径连续变化、柱高也连续变化的同轴圆柱薄壳形成。高也连续变化的同轴圆柱薄壳形成。如圆柱体可以看成如圆柱体可以看成是由一系列半径不同的是由一系列半径不同的同轴薄圆筒叠加构成同轴薄圆筒叠加构成(类似于洋葱类似于洋葱),),每一层每一层都可以看成是一个都可以看成是一个体积体积元元圆柱薄壳法圆柱薄壳法.第41页，此课件共80页哦如果是图示曲顶圆柱体，如果是图示曲顶圆柱体，也可以将其看成半径不也可以将其看成半径不同，且高度也不同的圆同，且高度也不同的圆柱形薄圆壳组成。柱形薄圆壳组成。如图所示曲边如图所示曲边梯形面积绕梯形面

15、积绕 轴旋轴旋转所形成的立体体转所形成的立体体积也是旋转体。积也是旋转体。第42页，此课件共80页哦 如果以如果以 轴为轴为旋转轴，圆柱薄壳旋转轴，圆柱薄壳体积元为体积元为 式中式中 是圆是圆柱薄壳底的周长，柱薄壳底的周长，是圆柱是圆柱形薄壳的高度，形薄壳的高度，是薄壳的厚度是薄壳的厚度.第43页，此课件共80页哦【例题】【例题】求圆求圆 绕绕 轴旋转轴旋转所成旋转体的体积。所成旋转体的体积。第44页，此课件共80页哦解：解：圆柱薄壳法圆柱薄壳法取圆柱薄壳体积元，薄壳底的周长取圆柱薄壳体积元，薄壳底的周长 。柱高柱高:壳厚壳厚 ，薄壳体元，薄壳体元第45页，此课件共80页哦旋转体体积旋转体体积

16、 令令 第46页，此课件共80页哦式中 第47页，此课件共80页哦 切片法切片法 旋转体被垂直于旋转体被垂直于 轴诸多平行平面所分轴诸多平行平面所分割，成为很多圆环状横切片，其体积元为割，成为很多圆环状横切片，其体积元为 第48页，此课件共80页哦旋转体体积旋转体体积 令 第49页，此课件共80页哦2.2.平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积 如果已知一个立体内垂直于一条定轴如果已知一个立体内垂直于一条定轴（例如（例如 轴）的各个截面的面积轴）的各个截面的面积 与与 的函数关系，那么仍可用的函数关系，那么仍可用“切片法切片法”计算这个立体的体积。计算这个立体的体积。第50页

17、，此课件共80页哦第51页，此课件共80页哦 设设 轴为定轴，立体在过轴为定轴，立体在过 点点且垂直于且垂直于 轴的两个平面之间，过轴的两个平面之间，过 点且垂直点且垂直于于 轴的平面被立体截出的面积轴的平面被立体截出的面积 为已知函为已知函数。数。在子区间在子区间 上薄片上薄片体积元素体积元素整个整个立体体积立体体积第52页，此课件共80页哦【例题】【例题】一平面经过圆柱底面的中心，并与底一平面经过圆柱底面的中心，并与底面成面成 角，设底面半径为角，设底面半径为 ，计算平面截圆柱，计算平面截圆柱体所得立体的体积。体所得立体的体积。解：解：取平面与圆柱取平面与圆柱底面的交线为轴，底面的交线为轴

18、，底面中心为原点，底面中心为原点，底面圆周方程为底面圆周方程为 第53页，此课件共80页哦第54页，此课件共80页哦过过 轴上任一点轴上任一点 且垂直于且垂直于 轴的平面被立体轴的平面被立体截成直角三角形截成直角三角形 ，（如图所示），两条，（如图所示），两条直角边分别是直角边分别是 和和 ，截面面积截面面积立体体积立体体积第55页，此课件共80页哦【例题】【例题】已知立体的底面是半径为已知立体的底面是半径为1 1的圆，而垂的圆，而垂直于底面上一条确定直径的所有截面直于底面上一条确定直径的所有截面都是等边三都是等边三角形角形。求这个立体的体积。求这个立体的体积 解：解：底面圆周方程底面圆周方程

19、过过 点作垂直点作垂直于于 轴的平面轴的平面 第56页，此课件共80页哦被立体截成边长为被立体截成边长为 的的等边等边三角形三角形 三角形面积三角形面积第57页，此课件共80页哦立体体积立体体积【例题】【例题】立体是以半径为立体是以半径为 的圆作底，以平的圆作底，以平行于底、长为行于底、长为 的线段做顶，高为的线段做顶，高为 的正劈的正劈锥锥,求此立体体积。求此立体体积。解：解：底面圆方程底面圆方程 第58页，此课件共80页哦 过点过点 作垂直于作垂直于 轴的平面，被立体截成轴的平面，被立体截成底边长为底边长为 的的等腰三角形等腰三角形。三角形面积三角形面积 正劈锥的体积正劈锥的体积第59页，

20、此课件共80页哦四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长 在区间在区间 上具有连续导数的单值函数上具有连续导数的单值函数 对应一段光滑曲线弧。对应一段光滑曲线弧。应用微元法，应用微元法，光滑曲线弧在光滑曲线弧在 段段的弧长为的弧长为 第60页，此课件共80页哦曲线弧长公式为曲线弧长公式为相相应应的弧的弧长长函数函数为为 第61页，此课件共80页哦若曲线由参数方程若曲线由参数方程 给出，给出，在在 上具有连续导数，上具有连续导数，可以用参数可以用参数 为积分变量计算曲线弧长为积分变量计算曲线弧长第62页，此课件共80页哦若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程 给出，给出，在在 上具有连续导数，由直上具

21、有连续导数，由直角坐标与极坐标之间的变换关系知角坐标与极坐标之间的变换关系知因此因此第63页，此课件共80页哦以以 为积分变量表示弧微分为为积分变量表示弧微分为并计算弧长并计算弧长第64页，此课件共80页哦【例题】【例题】两电杆之间的输电线因自身重量不两电杆之间的输电线因自身重量不能成为水平直线，下垂成悬链线。如图设立能成为水平直线，下垂成悬链线。如图设立坐标，悬链线方程为坐标，悬链线方程为求：在求：在 一段悬链线的长度。一段悬链线的长度。第65页，此课件共80页哦解：解：悬链线弧元悬链线弧元 悬链线弧长悬链线弧长第66页，此课件共80页哦【例题】【例题】求星形线求星形线 的全长。的全长。解：

22、解：星形星形线线全全长长第67页，此课件共80页哦求旋轮线求旋轮线 一拱的长度一拱的长度解：解：旋轮线参数方程的微分为旋轮线参数方程的微分为 弧元弧元 第68页，此课件共80页哦一拱的长度一拱的长度【例题】【例题】求心形线求心形线的全长。的全长。解：解：弧元弧元第69页，此课件共80页哦全长全长 第70页，此课件共80页哦五、平均值五、平均值 在实验中，被记录下来的原始数据需要经过在实验中，被记录下来的原始数据需要经过适当的处理才能得到测量值。确定了测量值的可适当的处理才能得到测量值。确定了测量值的可靠程度才可能推断物理量的真值。靠程度才可能推断物理量的真值。真值是测量不到的，只能对真值进行估

23、算。真值是测量不到的，只能对真值进行估算。在物理实验中，如果若干次重复测量得在物理实验中，如果若干次重复测量得到到 个测量值个测量值 ，该物理量真值的，该物理量真值的最佳估值是这些测量值的算术平均最佳估值是这些测量值的算术平均 第71页，此课件共80页哦 这里测量值这里测量值 是离散变量。计算连续变是离散变量。计算连续变量的算术平均值将用到定积分。量的算术平均值将用到定积分。函数的算术平均值函数的算术平均值 考虑连续函数考虑连续函数 在区间在区间 上所取的上所取的“一切值一切值”的平均值的平均值 把区间把区间 分成分成 等分，分点设为等分，分点设为 第72页，此课件共80页哦 每个小区间的长度

24、都是每个小区间的长度都是 ，在每个分点处，在每个分点处的函数的函数 值依次是值依次是可以用离散量可以用离散量 的平均值来近似表的平均值来近似表达函数达函数 在区间在区间 上所取的上所取的“一切值一切值”的平均值的平均值 。随着随着 增大近似趋于精确。增大近似趋于精确。第73页，此课件共80页哦为函数为函数 在区间在区间 上所取的上所取的“一切值一切值”的算术平均值。的算术平均值。称极限称极限第74页，此课件共80页哦即即若若回顾定积分中值定理回顾定积分中值定理知式中的知式中的 即为函数即为函数 在区间在区间 上所取上所取的的“一切值一切值”的平均值的平均值 。第75页，此课件共80页哦 它的几

25、何意义是它的几何意义是以以 为高、以为高、以 为底的矩形面为底的矩形面积等于曲线积等于曲线 在在区间区间 上所覆盖上所覆盖的曲边梯形面积。的曲边梯形面积。第76页，此课件共80页哦【例题】【例题】把劲度系数为把劲度系数为 的理想弹簧由原长的理想弹簧由原长 平平缓地拉伸至缓地拉伸至 ，求此过程中弹力的平均值。，求此过程中弹力的平均值。解：解：平均弹力平均弹力 第77页，此课件共80页哦【例题】【例题】计算在纯电阻计算在纯电阻 的电路中，正弦交流的电路中，正弦交流电电 ，一个周期内的电功率平均值，一个周期内的电功率平均值解：解：电阻电阻 上电功率的瞬时值为上电功率的瞬时值为 交流电周期交流电周期 与角频率与角频率 的关系为的关系为在一个周期内的电功率平均值在一个周期内的电功率平均值第78页，此课件共80页哦注意：注意：电压与电流瞬时值在一个周期内的平均值电压与电流瞬时值在一个周期内的平均值都是零，它们的正负两部分相互抵消都是零，它们的正负两部分相互抵消 第79页，此课件共80页哦本本 节节 完完第80页，此课件共80页哦