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1、第六节 定积分应用第1页，本讲稿共80页一、微元法 按定积分概念，定积分取决于函数 和它的定义区间 。定积分 对于区间具有可加性是指区间上对应的总量等于所有子区间 上对应的部分量 之和。凡是需要用定积分来度量的量，必须具有可加性这一基本特征。第2页，本讲稿共80页 若函数 在区间 上连续，变上限积分 对积分上限的导数为 也就是说用定积分度量的整体量 在 内子区间 上所对应的部分量 的近似值就是 在 点的微分，即按微分概念，子区间 上部分量 与近似值 之差为 时，比 高阶的无穷小第3页，本讲稿共80页 通常把定积分度量的量 在 的子区间 上所对应的部分量 近似为子区间长度 的线性函数 。称为积分
2、量 的微元（元素）用微元法解决具体问题时，在确定积分变量 和积分区间 之后，关键步骤是找出积分量 的微元 ，然后计算定积分第4页，本讲稿共80页按定积分微元法概念：按定积分微元法概念：无限细分：无限细分：将函数 的定义区间 细分成无穷多个子区间任意取其中一个记为 以函数在 点的值 和小区间长度 的积作为积分量 的微元 ；第5页，本讲稿共80页 无限求和：无限求和：定义在区间 上的积分量 是所有微元的总和，即 利用利用微元法微元法可以计算很多如几何的、物理可以计算很多如几何的、物理的或其它方面的无限可加量的求和问题。的或其它方面的无限可加量的求和问题。第6页，本讲稿共80页二、平面图形的面积 1
3、.1.在直角坐标中计算在直角坐标中计算 【例题】求由抛物线 ，横轴及直线 所围成的图形面积解：解：函数方程为面积微元为故第7页，本讲稿共80页【例题】计算由两条抛物线 和 所围成的图形面积.解：解：解出两条抛物线 和 的交点坐标为原点 和点 ，图形定义于区间 上 第8页，本讲稿共80页 在垂直于 轴的方向上，取区间 上任一子区间 ,在此子区在此子区间上对应的面积元素为：间上对应的面积元素为：（见图示）（见图示）面积元面积元因此，两条抛物线所围成的图形面积为因此，两条抛物线所围成的图形面积为 第9页，本讲稿共80页 类似的，若将所求面积的图形看作定义于到 区间内，由曲线 所围成，则 任取子区间
4、它所对应的面积元素它所对应的面积元素 两条抛物线所围成的两条抛物线所围成的图形面积为：图形面积为：第10页，本讲稿共80页 一般说来，如果平面图形由曲线 和 及直线 所围成,在区间 内任取子区间 ，它所对应的面积元素图形面积为图形面积为第11页，本讲稿共80页 如果平面图形是由曲线 和直线 所围成（意味着 是自变量，是函数），在区间 内任取子区间它所对应的面积元素它所对应的面积元素图形面积图形面积第12页，本讲稿共80页【例题】计算被抛物线 与直线 所围成的图形面积.解：解：抛物线 与直线 的两个交点分别是 如果分割 的变化区间 ,在其中任取在其中任取子区间子区间 第13页，本讲稿共80页它所
5、对应的它所对应的面积元素面积元素 图形面积图形面积 第14页，本讲稿共80页 如果分割 的变化区间 在其中任取子区间 此时，它所对应此时，它所对应的的面积元素需要分段面积元素需要分段表达表达：在区间 为 在区间 为 第15页，本讲稿共80页第16页，本讲稿共80页解：解：面积元为面积元为【例题】求椭圆 所围图形的面积。令原式第17页，本讲稿共80页【例题】求椭圆求椭圆 所围成的图形面积。所围成的图形面积。第18页，本讲稿共80页解：解：图形关于两坐标轴都对称图形关于两坐标轴都对称 第19页，本讲稿共80页 求星形线求星形线 所围成的所围成的图形面积。图形面积。图形关于两坐标轴都对称图形关于两坐
6、标轴都对称 解：解：第20页，本讲稿共80页 求旋轮线求旋轮线 ,之一拱之一拱与与 所围成的图形面积。所围成的图形面积。解：解：第21页，本讲稿共80页2.在极坐标中计算 极坐标：极坐标：如图示，以极径 和极角 来确定平面上点的坐标，记为 极坐标与直角坐标的关系为第22页，本讲稿共80页如果曲线由极坐标方程 给出，这条曲线与从原点出发的两条射 线 围成一个曲边扇形。在极角 的变化区间 内任取一个微小的子区间 ，它所对应的微小曲边扇形就是极坐标中的面积元素，即 第23页，本讲稿共80页曲边扇形面积由定积分给出：【例题】计算Archimedes螺线上一段弧 与极轴所围成的图形面积。第24页，本讲稿
7、共80页解：取极角 为积分变量，螺线内的面积元素图形面积图形面积第25页，本讲稿共80页【例题】计算心形线 所围成的图形面积并求心形线与圆 交集的面积。解：解：心形线围成图形的面积心形线围成图形的面积 第26页，本讲稿共80页第27页，本讲稿共80页心形线与圆 交集的面积第28页，本讲稿共80页三、体积 1.1.旋转体的体积旋转体的体积 一个平面图形绕此平面内一条直线旋一个平面图形绕此平面内一条直线旋转一周而形成的立体称为旋转体，这条直转一周而形成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴。圆柱（圆盘）、圆锥、球线称为旋转轴。圆柱（圆盘）、圆锥、球体等都是最简单的旋转体，计算旋转体的体等都是最简单的
8、旋转体，计算旋转体的体积的方法有体积的方法有“切片切片”法和圆柱薄壳法法和圆柱薄壳法 第29页，本讲稿共80页第30页，本讲稿共80页 “切片切片”法法 由曲线 和直线 ，所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周形成的旋转体被垂直于 轴诸多平行平面所分割，成为很多纵切片。在子区间 上的窄曲边梯形所生成的半径为 的薄圆盘形切片就是旋转体的体积微元。第31页，本讲稿共80页旋转体的体积微元旋转体的体积微元旋转体的体积为旋转体的体积为 第32页，本讲稿共80页 如果旋转体是由曲线 和直线 所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周形成的，它被垂直于 轴的诸多平行平面所分割，成为很多横切片。第33页，本讲稿共80页此此旋转
9、体体积旋转体体积为为体积微元为体积微元为 第34页，本讲稿共80页【例题】求上下底面半径分别为 高为 的圆台体积。解：解：把圆台看作一个直角梯形（如图所示）绕 轴旋转一周形成的。梯形斜边的方程为 圆台体积第35页，本讲稿共80页第36页，本讲稿共80页 讨论：若 ，上式给出底半径为 高为 的圆锥体积 。第37页，本讲稿共80页【例题】计算由椭圆 分别绕 轴旋转形成的旋转椭球体积。解：解：椭圆绕 轴旋转形成椭球体积椭圆绕 轴旋转形成椭球体积第38页，本讲稿共80页第39页，本讲稿共80页讨论：若 ，得半径为 的球体体积 第40页，本讲稿共80页 圆柱薄壳法圆柱薄壳法 旋转体也可以看作一系列半径连
10、续变化、旋转体也可以看作一系列半径连续变化、柱高也连续变化的同轴圆柱薄壳形成。柱高也连续变化的同轴圆柱薄壳形成。如圆柱体可以看如圆柱体可以看成是由一系列半径不成是由一系列半径不同的同轴薄圆筒叠加同的同轴薄圆筒叠加构成构成(类似于洋葱类似于洋葱),),每每一层都可以看成是一一层都可以看成是一个个体积元体积元圆柱薄圆柱薄壳法壳法.第41页，本讲稿共80页如果是图示曲顶圆如果是图示曲顶圆柱体，也可以将其柱体，也可以将其看成半径不同，且看成半径不同，且高度也不同的圆柱高度也不同的圆柱形薄圆壳组成。形薄圆壳组成。如图所示曲边梯形面积绕 轴旋转所形成的立体体积也是旋转体。第42页，本讲稿共80页 如果以
11、轴为旋转轴，圆柱薄壳体积元为 式中 是圆柱薄壳底的周长，是圆柱形薄壳的高度，是薄壳的厚度.第43页，本讲稿共80页【例题】求圆 绕 轴旋转所成旋转体的体积。第44页，本讲稿共80页解：圆柱薄壳法圆柱薄壳法取圆柱薄壳体积元，薄壳底的周长 。柱高:壳厚 ，薄壳体元第45页，本讲稿共80页旋转体体积旋转体体积 令 第46页，本讲稿共80页式中 第47页，本讲稿共80页 切片法切片法 旋转体被垂直于 轴诸多平行平面所分割，成为很多圆环状横切片，其体积元为 第48页，本讲稿共80页旋转体体积旋转体体积 令 第49页，本讲稿共80页2.平行截面面积为已知的立体体积 如果已知一个立体内垂直于一条定轴如果已知
12、一个立体内垂直于一条定轴（例如（例如 轴）的各个截面的面积轴）的各个截面的面积 与与 的函数关系，那么仍可用的函数关系，那么仍可用“切片法切片法”计算这个立体的体积。计算这个立体的体积。第50页，本讲稿共80页第51页，本讲稿共80页 设 轴为定轴，立体在过 点且垂直于 轴的两个平面之间，过 点且垂直于 轴的平面被立体截出的面积 为已知函数。在子区间 上薄片体积元素整个整个立体体积立体体积第52页，本讲稿共80页【例题】一平面经过圆柱底面的中心，并与底面成 角，设底面半径为 ，计算平面截圆柱体所得立体的体积。解：取平面与圆取平面与圆柱底面的交线为柱底面的交线为轴，底面中心为轴，底面中心为原点，
13、底面圆周原点，底面圆周方程为方程为 第53页，本讲稿共80页第54页，本讲稿共80页过 轴上任一点 且垂直于 轴的平面被立体截成直角三角形 ，（如图所示），两条直角边分别是 和 ，截面面积立体体积立体体积第55页，本讲稿共80页【例题】已知立体的底面是半径为1的圆，而垂直于底面上一条确定直径的所有截面都是等边三角形。求这个立体的体积 解：解：底面圆周方程底面圆周方程过 点作垂直于 轴的平面 第56页，本讲稿共80页被立体截成边长为 的等边三角形 三角形面积第57页，本讲稿共80页立体体积【例题】立体是以半径为 的圆作底，以平行于底、长为 的线段做顶，高为 的正劈锥,求此立体体积。解：解：底面圆
14、方程底面圆方程 第58页，本讲稿共80页 过点 作垂直于 轴的平面，被立体截成底边长为 的等腰三角形。三角形面积三角形面积 正劈锥的体积正劈锥的体积第59页，本讲稿共80页四、平面曲线的弧长 在区间 上具有连续导数的单值函数 对应一段光滑曲线弧。应用微元法，光滑曲线弧在 段的弧长为 第60页，本讲稿共80页曲线弧长公式为相应的弧长函数为 第61页，本讲稿共80页若曲线由参数方程 给出，在 上具有连续导数，可以用参数 为积分变量计算曲线弧长第62页，本讲稿共80页若曲线由极坐标方程 给出，在 上具有连续导数，由直角坐标与极坐标之间的变换关系知因此第63页，本讲稿共80页以 为积分变量表示弧微分为
15、并计算弧长第64页，本讲稿共80页【例题】两电杆之间的输电线因自身重量不能成为水平直线，下垂成悬链线。如图设立坐标，悬链线方程为求：在 一段悬链线的长度。第65页，本讲稿共80页解：悬链线弧元 悬链线弧长第66页，本讲稿共80页【例题】求星形线 的全长。解：星形线全长第67页，本讲稿共80页求旋轮线 一拱的长度解：旋轮线参数方程的微分为 弧元 第68页，本讲稿共80页一拱的长度【例题】求心形线的全长。解：弧元第69页，本讲稿共80页全长 第70页，本讲稿共80页五、平均值 在实验中，被记录下来的原始数据需要经过适当的处理才能得到测量值。确定了测量值的可靠程度才可能推断物理量的真值。真值是测量不
16、到的，只能对真值进行估算。在物理实验中，如果若干次重复测量得到 个测量值 ，该物理量真值的最佳估值是这些测量值的算术平均 第71页，本讲稿共80页 这里测量值 是离散变量。计算连续变量的算术平均值将用到定积分。函数的算术平均值 考虑连续函数考虑连续函数 在区间在区间 上所取的上所取的“一切值一切值”的平均值的平均值 把区间 分成 等分，分点设为 第72页，本讲稿共80页 每个小区间的长度都是 ，在每个分点处的函数 值依次是可以用离散量可以用离散量 的平均值来近似表的平均值来近似表达函数达函数 在区间在区间 上所取的上所取的“一切值一切值”的平均值的平均值 。随着 增大近似趋于精确。第73页，本
17、讲稿共80页为函数为函数 在区间在区间 上所取的上所取的“一切值一切值”的算术平均值。的算术平均值。称极限第74页，本讲稿共80页即若若回顾定积分中值定理回顾定积分中值定理知式中的知式中的 即为函数即为函数 在区间在区间 上所取上所取的的“一切值一切值”的平均值的平均值 。第75页，本讲稿共80页 它的几何意义是以 为高、以 为底的矩形面积等于曲线 在区间 上所覆盖的曲边梯形面积。第76页，本讲稿共80页【例题】把劲度系数为 的理想弹簧由原长 平缓地拉伸至 ，求此过程中弹力的平均值。解：平均弹力 第77页，本讲稿共80页【例题】计算在纯电阻 的电路中，正弦交流电 ，一个周期内的电功率平均值解：电阻 上电功率的瞬时值为 交流电周期 与角频率 的关系为在一个周期内的电功率平均值第78页，本讲稿共80页注意：电压与电流瞬时值在一个周期内的平均值都是零，它们的正负两部分相互抵消 第79页，本讲稿共80页本本 节节 完完第80页，本讲稿共80页