现代信号处理第3章课件.ppt

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1、第三章第三章 信号的频域分析信号的频域分析 3.1 信号的信号的频谱和频谱和FFT算法及应用算法及应用3.2 相干分析相干分析及应用及应用3.3 频谱细化分析频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4 倒频谱倒频谱(Cepstrum)分析分析及应用及应用3.5 信号调制与解调分析信号调制与解调分析3.6 时间序列建模与自回归谱分析时间序列建模与自回归谱分析3.7 全息谱理论和方法全息谱理论和方法1/19/20231机械工程学院机自所动态室第三章第三章 信号的频域分析信号的频域分析 3.1 信号的信号的频谱和频谱和FFT算法及应用算法及应用3.2 相干分析相干分析及应用及应用3.3 频谱细化分析频谱

2、细化分析(ZOOM-FFT)3.4 倒频谱倒频谱(Cepstrum)分析分析及应用及应用3.5 信号调制与解调分析信号调制与解调分析3.6 时间序列建模与自回归谱分析时间序列建模与自回归谱分析3.7 全息谱理论和方法全息谱理论和方法1/19/20232机械工程学院机自所动态室3.1 信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用频谱是信号在频域上的重要特征，它反映了信号的频频谱是信号在频域上的重要特征，它反映了信号的频率成分以及分布情况。率成分以及分布情况。信号频谱分析方法通常分为经典频谱分析和现代频谱信号频谱分析方法通常分为经典频谱分析和现代频谱分析两大类。分析两大类。经典频谱分析是一种

3、非参数、线性估计方法，其理论经典频谱分析是一种非参数、线性估计方法，其理论基础是信号的傅里叶变换。基础是信号的傅里叶变换。现代频谱分析属于非线性参数估计方法，以随机过程现代频谱分析属于非线性参数估计方法，以随机过程参数模型的参数估计为基础。参数模型的参数估计为基础。1/19/20233机械工程学院机自所动态室3.1 信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用3.1.1 傅里叶级数与离散频谱 根据傅里叶级数理论，任何周期性信号根据傅里叶级数理论，任何周期性信号 均可展开为均可展开为若干简谐信号的叠加。若干简谐信号的叠加。(3.1.1)其中，其中，是静态分量是静态分量,是基频是基频,是第是

4、第 次谐波次谐波(),(),，是第是第 次谐波的幅值次谐波的幅值,是第是第 次次谐波的相位。谐波的相位。1/19/20234机械工程学院机自所动态室3.1 信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用3.1.1 傅里叶级数与离散频谱 各系数分别为各系数分别为 (3.1.2)其中，其中，是基本周期，是基本周期，是基频。是基频。1/19/20235机械工程学院机自所动态室3.1 信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用3.1.1 傅里叶级数与离散频谱 周期信号可分为一个或几个、乃至无穷多个谐波的迭加。周期信号可分为一个或几个、乃至无穷多个谐波的迭加。图图3.1.1 3.1.1 周期

5、信号的傅立叶级数分解周期信号的傅立叶级数分解1/19/20236机械工程学院机自所动态室3.1 信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用3.1.1 傅里叶级数与离散频谱 傅里叶级数也可以写成复指数函数的形式。根据欧拉公式傅里叶级数也可以写成复指数函数的形式。根据欧拉公式(3.1.3)(3.1.4)(3.1.5)式式(3.1.1)中中 可写为可写为(3.1.6)其中离散频谱其中离散频谱 (3.1.7)1/19/20237机械工程学院机自所动态室3.1 信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用3.1.1 傅里叶级数与离散频谱 为一复数，由周期信号为一复数，由周期信号 确定。它综

6、合反映了确定。它综合反映了 次谐波的幅值、次谐波的幅值、相位及频信息。频率相位及频信息。频率 的取值范围也扩展到负频率。的取值范围也扩展到负频率。展开系数展开系数 和和 与正负与正负频率对应。在实轴上的合成结频率对应。在实轴上的合成结果正好形成了代表谐波幅值的果正好形成了代表谐波幅值的实向量，而在虚轴上的合成结实向量，而在虚轴上的合成结果正好抵消为零。果正好抵消为零。周期信号的频谱具有离散周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性三个特点。性、谐波性和收敛性三个特点。图图3.1.2 3.1.2 谐波幅值的向量分解谐波幅值的向量分解 1/19/20238机械工程学院机自所动态室3.1 信号的频谱和

7、信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用3.1.2 傅里叶变换与连续频谱 当周期信号当周期信号 的周期的周期 趋于无穷大时，趋于无穷大时，变成连续变量变成连续变量 ，求，求和符号和符号就变成积分符号就变成积分符号，于是得到傅里叶积分，于是得到傅里叶积分。(3.1.8)由于时间由于时间 是积分变量，故上式括号内积分之后仅是是积分变量，故上式括号内积分之后仅是 的函数，记作的函数，记作(3.1.9)(3.1.10)式式(3.1.9)为为 的傅里叶变换，式的傅里叶变换，式(3.1.10)为其傅里叶逆变换，互称为变换对。为其傅里叶逆变换，互称为变换对。1/19/20239机械工程学院机自所动态室3.1

8、信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用3.1.2 傅里叶变换与连续频谱 为为 的连续频谱。一般的连续频谱。一般 是复函数，可写成是复函数，可写成(3.1.10)式中，式中，|为信号的连续幅值谱，为信号的连续幅值谱，为信号的连续相位谱。为信号的连续相位谱。非周期信号的幅值谱非周期信号的幅值谱|和周期信号的幅值谱和周期信号的幅值谱|很相似，但两很相似，但两者是有差别的：者是有差别的：|的量纲与信号幅值的量纲一样；的量纲与信号幅值的量纲一样；|的量纲与信号幅值的量纲不一样，它是单位频带的量纲与信号幅值的量纲不一样，它是单位频带 上的幅值。上的幅值。称由信号称由信号 求出它的频谱求出它的频

9、谱 的过程为对信号作谱分析。的过程为对信号作谱分析。求矩形窗函数求矩形窗函数 频谱的例子，见频谱的例子，见p45p45。1/19/202310机械工程学院机自所动态室3.1 信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用 傅里叶变换的性质1、线性叠加性质、线性叠加性质 若若 ，则，则2、时移性质、时移性质 若若 ，则，则3、频移性质、频移性质 若若 ，则，则4、时间伸缩性质、时间伸缩性质 设设 ，a为正实数，则为正实数，则5、时间微分性质、时间微分性质 若若 ，则，则6、时间积分性质、时间积分性质 若若 ，且，且 ，则，则7、卷积定理、卷积定理 若若 ，则，则 及及 1/19/202311

10、机械工程学院机自所动态室3.1 信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用3.1.3 离散傅里叶变换(DFT)离散傅里叶变换对为离散傅里叶变换对为 正变换正变换 (3.1.15)逆变换逆变换 (3.1.16)式中，式中，是是 采样值，采样值，是序列点数，是序列点数，是采样间隔，是采样间隔，是频域离散值的序号，是频域离散值的序号，是时域离散值的序号。采样间隔是时域离散值的序号。采样间隔 不影响离散傅里叶变换的实质，通常略去。有不影响离散傅里叶变换的实质，通常略去。有 正变换正变换 (3.1.17)逆变换逆变换 (3.1.18)式中，式中，。1/19/202312机械工程学院机自所动态室3

11、.1 信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用3.1.4 快速傅里叶变换(FFT)当当N=4 时，离散傅里叶变换式时，离散傅里叶变换式(3.1.17)可写成可写成 (3.1.19)由于由于 和和 可能都是复数，若计算所有的离散值可能都是复数，若计算所有的离散值 ，需要进行，需要进行 =16=16次复数乘法和次复数乘法和 次复数加法的运算。计算量将以次复数加法的运算。计算量将以 进行增长。进行增长。以以Cooley-Tukey计算序列数长计算序列数长 (为正整数为正整数)的算法来说明的算法来说明FFTFFT的基的基本原理。将离散傅里叶变换式本原理。将离散傅里叶变换式(3.1.17)写成

12、如下形式写成如下形式 (3.1.20)式中，式中，1/19/202313机械工程学院机自所动态室3.1 信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用3.1.4 快速傅里叶变换(FFT)FFT先对原数据序列按奇、偶逐步进行抽取。先对原数据序列按奇、偶逐步进行抽取。原始序列原始序列 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1个长度为个长度为8 8的序列的序列第一次抽取第一次抽取 x0 x2 x4 x6x0 x2 x4 x6 x1 x3 x5 x7x1 x3 x5 x7 2 2个长度为个长度为4 4的序列的序列第二次抽取第二次抽取 x0

13、 x4x0 x4 x2 x6x2 x6 x1 x5x1 x5 x3 x7x3 x7 4 4个长度为个长度为2 2的序列的序列第三次抽取第三次抽取 x0 x0 x4x4 x2x2 x6x6 x1x1 x5x5 x3x3 x7x7 8 8个长度为个长度为1 1的序列的序列 N=8N=8时的计算流程图。时的计算流程图。逆变换的计算同理。逆变换的计算同理。计算量由计算量由 降为降为 1/19/202314机械工程学院机自所动态室3.1 信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用3.1.5 FFT的校正算法 当当FFT计算计算时，矩形窗引起能量泄漏，使得谱峰幅值变小，精度降低。时，矩形窗引起能量

14、泄漏，使得谱峰幅值变小，精度降低。1 1）比值校正算法）比值校正算法 通过主瓣中心两侧的两根谱线的通过主瓣中心两侧的两根谱线的幅值和频率的大小，利用窗函数的频幅值和频率的大小，利用窗函数的频谱图形，去求主瓣中心点谱图形，去求主瓣中心点A点的坐标。点的坐标。设设 x 为主瓣中心与左谱线的距离，为主瓣中心与左谱线的距离，由窗函数的频谱函数由窗函数的频谱函数 构成如下函数构成如下函数:(3.1.25)校正频率为校正频率为 ，校正幅值，校正幅值 ，校正相位，校正相位2 2）峰值搜寻算法）峰值搜寻算法 优化优化 ，约束条件，约束条件(3.1.33)取得极小值的取得极小值的x。1/19/202315机械工

15、程学院机自所动态室3.1 信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用3.1.6 确定性信号的傅里叶谱分析 确定性信号确定性信号 的傅里叶谱的傅里叶谱 是个复数，因此它包含实频、虚频或幅频、是个复数，因此它包含实频、虚频或幅频、相频等信息。工程中为了方便起见，常采用以下几种表示方法：相频等信息。工程中为了方便起见，常采用以下几种表示方法：(1)(1)实频特性及虚频特性表示实频特性及虚频特性表示 实频实频 ，虚频，虚频 。(2)(2)幅频特性及相频特性表示幅频特性及相频特性表示 幅频幅频 ，相频，相频(3)(3)幅频、相频率特性或奈魁斯特图表示幅频、相频率特性或奈魁斯特图表示 将将 视为极

16、坐标中的一矢量，用此矢量端点随频率而变化的轨迹来表示视为极坐标中的一矢量，用此矢量端点随频率而变化的轨迹来表示 的幅频、相频率特性。的幅频、相频率特性。傅里叶谱的幅值信息，有三种不同的表示方法。傅里叶谱的幅值信息，有三种不同的表示方法。(1)(1)幅值谱幅值谱 。，等权，等权(权重均为权重均为1)1)谱。谱。(2)(2)均方谱均方谱 。,变权重谱变权重谱(权重取决于频率分量幅值权重取决于频率分量幅值)。(3)(3)对数谱对数谱 。，变权重谱，变权重谱(权重大小不同权重大小不同)。1/19/202316机械工程学院机自所动态室3.1 信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用3.1.7

17、功率谱密度函数 功率谱密度函数反应了信号的功率在频域随频率功率谱密度函数反应了信号的功率在频域随频率 的分布。的分布。自功率谱密度函数是信号自功率谱密度函数是信号 的自相关函数的自相关函数 的傅里叶变换。的傅里叶变换。(3.1.34)自功率谱密度函数自功率谱密度函数 是实偶函数。是实偶函数。自功率谱密度函数自功率谱密度函数 的傅里叶逆变换为的傅里叶逆变换为 。(3.1.35)当当 时，函数时，函数 的物理意义为信号能量的度量的物理意义为信号能量的度量,于信号的均方值。于信号的均方值。(3.1.36)称为双边功率谱。实际中常用其单边功率谱称为双边功率谱。实际中常用其单边功率谱(3.1.37)1/

18、19/202317机械工程学院机自所动态室3.1 信号的频谱和信号的频谱和FFT算法及应用算法及应用3.1.7 功率谱密度函数 两组信号两组信号 和和 的互谱密度函数定义为互相关函数的互谱密度函数定义为互相关函数 的的傅里叶变换傅里叶变换(3.1.38)相应的傅里叶逆变换为相应的傅里叶逆变换为(3.1.39)单边互谱密度函数定义为单边互谱密度函数定义为(3.1.40)由于互谱密度函数是复函数，所以单边互谱密度函数由于互谱密度函数是复函数，所以单边互谱密度函数 又可写成又可写成(3.1.41)称为共谱、协谱或余谱，称为共谱、协谱或余谱，称为正交谱、方谱或重谱。称为正交谱、方谱或重谱。1/19/2

19、02318机械工程学院机自所动态室第三章第三章 信号的频域分析信号的频域分析 3.1 信号的信号的频谱和频谱和FFT算法及应用算法及应用3.2 相干分析相干分析及应用及应用3.3 频谱细化分析频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4 倒频谱倒频谱(Cepstrum)分析分析及应用及应用3.5 信号调制与解调分析信号调制与解调分析3.6 时间序列建模与自回归谱分析时间序列建模与自回归谱分析3.7 全息谱理论和方法全息谱理论和方法1/19/202319机械工程学院机自所动态室3.2 相干分析及应用相干分析及应用3.2.1 相干函数的概念相干函数分析建立在平稳机械信号的自功率谱密度函数相干函数分析建立

20、在平稳机械信号的自功率谱密度函数 、和互和互功率谱密度函数功率谱密度函数 之上。相干函数之上。相干函数(凝聚函数凝聚函数)的定义如下的定义如下 (3.2.1)相干函数是频率的函数。它在频域内描述信号相干函数是频率的函数。它在频域内描述信号 和和 的相关性。的相关性。具有具有明确的物理意义，它反映了信号明确的物理意义，它反映了信号 中频率中频率 的分量在多大程度上来源于信号的分量在多大程度上来源于信号 。一般情况下相干函数一般情况下相干函数 取值在取值在0 01 1之间之间:(1)测量中存在外部噪声；测量中存在外部噪声；(2)谱估计中存在分辨率偏差；谱估计中存在分辨率偏差；(3)系统是非线性的；

21、系统是非线性的；(4)除了输入信号除了输入信号 之外还有其它输入。之外还有其它输入。1/19/202320机械工程学院机自所动态室3.2 相干分析及应用相干分析及应用3.2.2 相干函数的工程应用(1)(1)判断系统输出与某特定输入的相关程度。判断系统输出与某特定输入的相关程度。利用相干函数可发现系统是否还有其它输入干扰及系统的线性程度。利用相干函数可发现系统是否还有其它输入干扰及系统的线性程度。(2)(2)谱估计和系统动态特性的测量精度估计。谱估计和系统动态特性的测量精度估计。在计算传递函数的幅频特性及相频特性时，辅以相干函数分析，可以分析出在计算传递函数的幅频特性及相频特性时，辅以相干函数

22、分析，可以分析出机械系统和基础振动的传递特性，为结构动态分析提供依据。机械系统和基础振动的传递特性，为结构动态分析提供依据。(a)输入信号的功率谱和输出信号的功率谱输入信号的功率谱和输出信号的功率谱 (b)幅频特性、相频特性和相干函数幅频特性、相频特性和相干函数 1/19/202321机械工程学院机自所动态室第三章第三章 信号的频域分析信号的频域分析 3.1 信号的信号的频谱和频谱和FFT算法及应用算法及应用3.2 相干分析相干分析及应用及应用3.3 频谱细化分析频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4 倒频谱倒频谱(Cepstrum)分析分析及应用及应用3.5 信号调制与解调分析信号调制与解调

23、分析3.6 时间序列建模与自回归谱分析时间序列建模与自回归谱分析3.7 全息谱理论和方法全息谱理论和方法1/19/202322机械工程学院机自所动态室3.3 频谱细化分析频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.3.1 频谱细化的概念 频率分辨率由谱线数频率分辨率由谱线数(一般是原始采样点数的一半一般是原始采样点数的一半)决定。细化谱分析决定。细化谱分析是在频谱分析中用来增加频谱中某些部分频率分辨率的方法。是在频谱分析中用来增加频谱中某些部分频率分辨率的方法。图图3.3.1 频谱细化示意图频谱细化示意图 要使频谱的分辨率增加要使频谱的分辨率增加K倍，只要将信号的采样点数倍，只要将信号的采样点数N增加

24、到增加到KN点就可以实现。这样使点就可以实现。这样使频谱范围内所有的频率分辨率都增加了频谱范围内所有的频率分辨率都增加了K倍，相应的代价是运算次数的增加。倍，相应的代价是运算次数的增加。所谓细化变换，即只对选定的某频带进行细化。所谓细化变换，即只对选定的某频带进行细化。1/19/202323机械工程学院机自所动态室3.3 频谱细化分析频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.3.2 复调制细化分析的原理 用采样频率用采样频率 进行采样，得到进行采样，得到N点离散序列点离散序列 。细化的频带。细化的频带是中心频率为是中心频率为 的一个窄带的一个窄带 。用一个复正弦序列。用一个复正弦序列 乘以乘以 进进

25、行复调制，得行复调制，得N点新的离散复序列点新的离散复序列 。根据傅里叶变换的频移定理，复。根据傅里叶变换的频移定理，复调制将频率原点移到了频率调制将频率原点移到了频率 处。采样频率处。采样频率 也移动了也移动了 。图图3.3.2 复调制细化分析过程复调制细化分析过程1/19/202324机械工程学院机自所动态室3.3 频谱细化分析频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.3.2 复调制细化分析的原理 设设 为原来信号抗混滤波的截止频率，由于新的序列为原来信号抗混滤波的截止频率，由于新的序列 的频率频率上限的频率频率上限 可能高可能高于原序列于原序列 的奈奎斯特频率的奈奎斯特频率 ，产生频率混淆。需

26、进行低通滤波。得到序列，产生频率混淆。需进行低通滤波。得到序列 。如果要进行如果要进行D倍的细化，应保证原始信号的采样长度为倍的细化，应保证原始信号的采样长度为DN。对低通滤波后的复序列对低通滤波后的复序列 以以采样频率采样频率 进行重抽样，即每隔进行重抽样，即每隔D个点抽取一个数据，得到新的长度为个点抽取一个数据，得到新的长度为N的复序列的复序列 ,其时间跨度增长其时间跨度增长D倍，频率分辨率也将提高了倍，频率分辨率也将提高了D倍。倍。对序列对序列 进行进行FFT变换，得到中心频率为变换，得到中心频率为 带宽为带宽为 的细化谱。的细化谱。1/19/202325机械工程学院机自所动态室第三章第

27、三章 信号的频域分析信号的频域分析 3.1 信号的信号的频谱和频谱和FFT算法及应用算法及应用3.2 相干分析相干分析及应用及应用3.3 频谱细化分析频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4 倒频谱倒频谱(Cepstrum)分析分析及应用及应用3.5 信号调制与解调分析信号调制与解调分析3.6 时间序列建模与自回归谱分析时间序列建模与自回归谱分析3.7 全息谱理论和方法全息谱理论和方法1/19/202326机械工程学院机自所动态室3.4 倒频谱倒频谱(Cepstrum)分析及应用分析及应用3.4.1 倒频谱的数学描述定义：倒频谱定义：倒频谱 是信号是信号 的功率谱的功率谱 的对数值的傅里叶逆变换

28、。的对数值的傅里叶逆变换。(3.4.1)倒频谱自变量倒频谱自变量q称为倒频率，与自相关函数称为倒频率，与自相关函数 的自变量的自变量 有相同的时间量纲。有相同的时间量纲。q值大者称为高倒频率，表示谱图上的低频波动。值大者称为高倒频率，表示谱图上的低频波动。q值小者称为低倒频率，表示谱图上的高频波动。值小者称为低倒频率，表示谱图上的高频波动。倒频谱倒频谱 可定义为信号可定义为信号 的功率谱的功率谱 的对数值的傅里叶变换。的对数值的傅里叶变换。两种定义方法实质一样。因为两种定义方法实质一样。因为 是实偶函数，是实偶函数，loglog 也是实偶函数。也是实偶函数。其正、逆傅里叶变换相等，并且也是一个

29、实偶函数。其正、逆傅里叶变换相等，并且也是一个实偶函数。倒频谱是频域函数的傅里叶再变换，是频谱的频谱，可以提取频谱上倒频谱是频域函数的傅里叶再变换，是频谱的频谱，可以提取频谱上的周期性分量。此外，它与相关函数量纲相同，不同之处只差对数加权。的周期性分量。此外，它与相关函数量纲相同，不同之处只差对数加权。1/19/202327机械工程学院机自所动态室3.4 倒频谱倒频谱(Cepstrum)分析及应用分析及应用3.4.2 倒频谱与解卷积 对于线性系统对于线性系统 、三者的关系可用卷积公式表示三者的关系可用卷积公式表示(3.4.2)对式对式(3.4.2)进行傅里叶变换，将时域进行傅里叶变换，将时域卷

30、积卷积变为频域乘积。有变为频域乘积。有(3.4.3)对式对式(3.4.3)两边取对数，将乘积变为线性相加。有两边取对数，将乘积变为线性相加。有(3.4.4)对式对式(3.4.4)再进一步作傅里叶逆变换，可得倒频谱再进一步作傅里叶逆变换，可得倒频谱或或 (3.4.5)1/19/202328机械工程学院机自所动态室3.4 倒频谱倒频谱(Cepstrum)分析及应用分析及应用3.4.3 倒频谱的应用 由式由式(3.4.4)(3.4.4)得到的得到的 是是 与与 的线性和。在倒的线性和。在倒频域上由两部分组成，低倒频率频域上由两部分组成，低倒频率 和高倒频率和高倒频率 。前者表示源信号。前者表示源信号

31、 的谱特征，而后者表示系统特性的谱特征，而后者表示系统特性 的谱特征，它们各自在倒频谱图上的谱特征，它们各自在倒频谱图上占有不同的倒频率位置。占有不同的倒频率位置。机械故障诊断：识别齿轮、轴承故障频谱中多簇等间隔的调制边频带。机械故障诊断：识别齿轮、轴承故障频谱中多簇等间隔的调制边频带。语音和回声分析及解卷积：分离和提取源信号与传递系统影响。语音和回声分析及解卷积：分离和提取源信号与传递系统影响。1/19/202329机械工程学院机自所动态室第三章第三章 信号的频域分析信号的频域分析 3.1 信号的信号的频谱和频谱和FFT算法及应用算法及应用3.2 相干分析相干分析及应用及应用3.3 频谱细化

32、分析频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4 倒频谱倒频谱(Cepstrum)分析分析及应用及应用3.5 信号调制与解调分析信号调制与解调分析3.6 时间序列建模与自回归谱分析时间序列建模与自回归谱分析3.7 全息谱理论和方法全息谱理论和方法1/19/202330机械工程学院机自所动态室3.5 信号调制与解调分析信号调制与解调分析 当机械出现故障时，信号中包含的故障信息往往以调制的形式出现，当机械出现故障时，信号中包含的故障信息往往以调制的形式出现，提取调制信号的过程就是信号的解调。本节介绍常用的提取调制信号的过程就是信号的解调。本节介绍常用的Hilbert解调。解调。3.5.1 实信号的复数表

33、示 对简单的余弦信号对简单的余弦信号 (其中其中 )，可用复数形式表示为，可用复数形式表示为显然有显然有 ，称，称 为为 的复信号。的复信号。(3.5.1)因为因为 ，所以有，所以有 ，得，得(3.5.2)其中其中 就是就是 的复信号。的复信号。1/19/202331机械工程学院机自所动态室3.5 信号调制与解调分析信号调制与解调分析3.5.2 Hilbert变换 设设 的频谱为的频谱为 ，由式，由式(3.5.2)知知(3.5.3)设设 是由是由 滤波得到，则相应的滤波器频谱滤波得到，则相应的滤波器频谱 为为(3.5.4)滤波器滤波器 对应的时间函数是对应的时间函数是 (3.5.5)任何一个实

34、信号任何一个实信号 的复信号的复信号 (解析信号解析信号)可由滤波得到可由滤波得到(3.5.6)称称 为为 的的Hilbert变换。变换。相当于进行滤波处理，相当于进行滤波处理，滤波单位脉冲响应为滤波单位脉冲响应为 ，Hilbert变换变换又称为又称为9090移相滤波。移相滤波。1/19/202332机械工程学院机自所动态室3.5 信号调制与解调分析信号调制与解调分析3.5.3 Hilbert解调原理 设窄带调制信号设窄带调制信号 ，是缓慢变化的调制信号。是缓慢变化的调制信号。令令 ，是是 的瞬时频率。设的瞬时频率。设 的的Hilbert变换为变换为 。则它的解析信号为。则它的解析信号为(3.

35、5.10)解析信号的模或信号的包络为解析信号的模或信号的包络为(3.5.11)解析信号的相位为解析信号的相位为(3.5.11)解析信号相位的导数或瞬时频率为解析信号相位的导数或瞬时频率为(3.5.11)1/19/202333机械工程学院机自所动态室第三章第三章 信号的频域分析信号的频域分析 3.1 信号的信号的频谱和频谱和FFT算法及应用算法及应用3.2 相干分析相干分析及应用及应用3.3 频谱细化分析频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4 倒频谱倒频谱(Cepstrum)分析分析及应用及应用3.5 信号调制与解调分析信号调制与解调分析3.6 时间序列建模与自回归谱分析时间序列建模与自回归谱分

36、析3.7 全息谱理论和方法全息谱理论和方法1/19/202334机械工程学院机自所动态室3.6 时间序列建模与自回归谱分析时间序列建模与自回归谱分析 随机信号随机信号 的参数模型频谱估计的步骤可以分为以下三步的参数模型频谱估计的步骤可以分为以下三步:（1）对给定的随机信号确定合理的参数模型；对给定的随机信号确定合理的参数模型；（2）根据信号的自相关函数估计所确定的模型的参数；根据信号的自相关函数估计所确定的模型的参数；（3）用估计出的模型参数计算信号的功率谱密度函数。用估计出的模型参数计算信号的功率谱密度函数。3.6.1 谱估计原理及常见的参数模型 设随机信号设随机信号 是由白噪声是由白噪声

37、激励某一确定性的线性系统激励某一确定性的线性系统 所所产生的。若已知白噪声的功率产生的。若已知白噪声的功率 和系统的传递函数和系统的传递函数 ，就可根据式，就可根据式(3.6.1)估计出信号的功率谱密度函数估计出信号的功率谱密度函数 。(3.6.1)设参数模型的输入设参数模型的输入 和输出和输出 满足差分方程满足差分方程(3.6.2)系数系数 和和 就是模型的参数，常数就是模型的参数，常数 和和 被称为参数模型的阶数。被称为参数模型的阶数。1/19/202335机械工程学院机自所动态室3.6 时间序列建模与自回归谱分析时间序列建模与自回归谱分析3.6.1 谱估计原理及常见的参数模型 进行进行

38、变换，得到参数模型的传递函数变换，得到参数模型的传递函数 为：为：(3.6.3)显然，显然，是一个有理分式。根据是一个有理分式。根据 的不同，参数模型可分为三类：的不同，参数模型可分为三类：1）自回归）自回归(Auto-regressive，AR)模型模型 当当 ，模型，模型AR(P)为为 (3.6.4)(3.6.5)AR模型的传递函数中只含有极点，不含有零点，是全极点模型。输出功率谱为模型的传递函数中只含有极点，不含有零点，是全极点模型。输出功率谱为(3.6.7)1/19/202336机械工程学院机自所动态室3.6 时间序列建模与自回归谱分析时间序列建模与自回归谱分析3.6.1 谱估计原理及

39、常见的参数模型 2）滑动平均）滑动平均(Moving-average，MA)模型模型 当当 ，模型，模型MA(q)为为(3.6.8)(3.6.9)参数模型的输出是该时刻的输入和以前参数模型的输出是该时刻的输入和以前 q 个输入的线性组合，称为滑动平均模型，个输入的线性组合，称为滑动平均模型，其传递函数中只含有零点，不含有极点，所以其传递函数中只含有零点，不含有极点，所以MA模型也叫作全零点模型。模型也叫作全零点模型。3）自回归滑动平均）自回归滑动平均(Auto-regressive&Moving-average，ARMA)模型模型 若若 不全为零，不全为零，也不全为零，则称为自回归滑动也不全为

40、零，则称为自回归滑动平均模型，记为平均模型，记为 ，其中，其中 p 和和 q 为为ARMA模型的阶数。模型的阶数。ARMA模型的传递函数既包含零点，又包含极点，所以模型的传递函数既包含零点，又包含极点，所以ARMA模型也叫作极零模型也叫作极零点模型。所建立的模型点模型。所建立的模型 是多项式的有理分式，因此得到的功率谱密度函数是多项式的有理分式，因此得到的功率谱密度函数是频率是频率 的连续函数。的连续函数。以上以上3 3种模型适用较短的信号，对非平稳性信号的频谱分析也有利。种模型适用较短的信号，对非平稳性信号的频谱分析也有利。1/19/202337机械工程学院机自所动态室3.6 时间序列建模与

41、自回归谱分析时间序列建模与自回归谱分析3.6.2 AR模型的建立 从数学逼近的角度来讲，三种模型可以互相转换。由于从数学逼近的角度来讲，三种模型可以互相转换。由于AR模型的参模型的参数估计可以归结为求解一组线性方程组，计算简单。因此，数估计可以归结为求解一组线性方程组，计算简单。因此，AR模型便成模型便成为研究最多且应用最广的一种参数模型。为研究最多且应用最广的一种参数模型。AR模型：模型：(3.6.4)自相关估计自相关估计(3.6.10)(3.6.11)(3.6.12)1/19/202338机械工程学院机自所动态室3.6 时间序列建模与自回归谱分析时间序列建模与自回归谱分析3.6.2 AR模

42、型的建立 令令 ，且有，且有得如下的规范方程得如下的规范方程(3.6.13)式式(3.6.13)就是就是AR模型的模型的Yule-Walker方程。方程。由于一个由于一个 p 阶阶AR模型共有模型共有 个参数，即个参数，即 和和 。只要已知。只要已知输出信号输出信号 的前的前 个自相关函数个自相关函数 ，就可求出，就可求出这这 个参数。个参数。1/19/202339机械工程学院机自所动态室3.6 时间序列建模与自回归谱分析时间序列建模与自回归谱分析3.6.2 AR模型阶次的确定 AR模型建模的另一个问题就是如何选择合适的阶次模型建模的另一个问题就是如何选择合适的阶次 p。阶次的判据有阶次的判据

43、有1）最终预测误差判据最终预测误差判据FPE(Final Prediction Error Criterion)(3.6.14)2）信息论判据信息论判据AIC(Akaikas Information Criterion)(3.6.15)AIC准则的改进形式称为准则的改进形式称为BIC准则，即准则，即(3.6.16)其中，其中，N为数据长度，为数据长度，p 为阶次，为阶次，为预测误差的均方值。选择判据的极小值对为预测误差的均方值。选择判据的极小值对应的应的 p 作为作为AR模型的最佳阶次。模型的最佳阶次。经验公式：经验公式：数据序列长度在数据序列长度在20 50之间，阶次之间，阶次 p 可取长度

44、的一半；当数据序列长可取长度的一半；当数据序列长度在度在50 100之间，阶次之间，阶次 p 可取长度的三分之一到一半可取长度的三分之一到一半1/19/202340机械工程学院机自所动态室第三章第三章 信号的频域分析信号的频域分析 3.1 信号的信号的频谱和频谱和FFT算法及应用算法及应用3.2 相干分析相干分析及应用及应用3.3 频谱细化分析频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4 倒频谱倒频谱(Cepstrum)分析分析及应用及应用3.5 信号调制与解调分析信号调制与解调分析3.6 时间序列建模与自回归谱分析时间序列建模与自回归谱分析3.7 全息谱理论和方法全息谱理论和方法1/19/2023

45、41机械工程学院机自所动态室3.7 全息谱理论和方法全息谱理论和方法3.7.1 全息谱理论和技术全息谱理论和技术 西安交通大学屈梁生院士提出了一种全息谱理论和分析方法。综合考虑了振西安交通大学屈梁生院士提出了一种全息谱理论和分析方法。综合考虑了振动信号幅值、频率和相位信息，真实地反映机组振动状态。动信号幅值、频率和相位信息，真实地反映机组振动状态。1)1)全息谱基础全息谱基础全息谱技术要求在每个测量面上安装两个相互垂直的位移传感器。全息谱技术要求在每个测量面上安装两个相互垂直的位移传感器。全息谱要求参与集成融合的各个传感器的输出信号必须具有高度的一致性。全息谱要求参与集成融合的各个传感器的输出

46、信号必须具有高度的一致性。让键相信号触发多通道信号采集，这样就保证了各个通道的同步采样，各通道信号让键相信号触发多通道信号采集，这样就保证了各个通道的同步采样，各通道信号的起始时刻就是键相信号的触发时刻。的起始时刻就是键相信号的触发时刻。全息谱方法在集成融合过程中对参数的精确性有要求。全息谱方法在集成融合过程中对参数的精确性有要求。在进行频域转换后，能够精确确定谱线的频率、幅值和相位。这实质上也是构造全在进行频域转换后，能够精确确定谱线的频率、幅值和相位。这实质上也是构造全息谱的一项关键技术。息谱的一项关键技术。屈梁生，机械故障诊断的全息谱原理，屈梁生，机械故障诊断的全息谱原理，科学出版社科学

47、出版社,20071/19/202342机械工程学院机自所动态室3.7 全息谱理论和方法全息谱理论和方法3.7.1 全息谱理论和技术全息谱理论和技术2)2)二维全息谱二维全息谱将转子测量截面上水平和垂直两方向的振动信号作傅里叶变换，从中提取各主将转子测量截面上水平和垂直两方向的振动信号作傅里叶变换，从中提取各主要频率分量的频率、幅值和相位。然后按照各主要频率分量分别进行合成，并要频率分量的频率、幅值和相位。然后按照各主要频率分量分别进行合成，并将合成结果按频率顺序排列在一张谱图上，就得到了二维全息谱。将合成结果按频率顺序排列在一张谱图上，就得到了二维全息谱。若转子截面两个方向若转子截面两个方向(

48、水平方向和垂直方向水平方向和垂直方向)振动信号中的第振动信号中的第 主要频率分主要频率分量的参数方程为：量的参数方程为：(3.7.1)其中，其中，代表不同的主要频率分量，代表不同的主要频率分量，。和和 分别为第分别为第 主要频率分量的相位，主要频率分量的相位，和和 为第为第 主要频率分量的幅值，主要频率分量的幅值，为主要频率分量旋转频率。为主要频率分量旋转频率。第第 主要频率分量的二维全息谱主要频率分量的二维全息谱 表示为：表示为：(3.7.2)二维全息谱包含了转子测量面处的频率、幅值和相位的全部信息。二维全息谱包含了转子测量面处的频率、幅值和相位的全部信息。1/19/202343机械工程学院

49、机自所动态室3.7 全息谱理论和方法全息谱理论和方法3.7.1 全息谱理论和技术全息谱理论和技术2)2)二维全息谱二维全息谱二维全息谱构造过程如图所示。二维全息谱构造过程如图所示。上图：相互垂直安装的上图：相互垂直安装的X X、Y Y方向方向 涡流传感器分别获取转子涡流传感器分别获取转子 径向振动信号。径向振动信号。中图：中图：X X、Y Y方向振动信号的频谱。方向振动信号的频谱。表示工频。表示工频。下图：二维全息谱下图：二维全息谱 分别代表二维全息谱的旋转分别代表二维全息谱的旋转 方向是逆时针方向（）和方向是逆时针方向（）和 顺时针方向（）。顺时针方向（）。1/19/202344机械工程学院

50、机自所动态室3.7 全息谱理论和方法全息谱理论和方法3.7.1 全息谱理论和技术全息谱理论和技术2)2)二维全息谱二维全息谱 (a)(a)振动信号频谱振动信号频谱 (b)(b)二维全息谱二维全息谱得到转子不同频率分量二维全息谱椭圆旋向、大小、形状及频率间相互关系等信息。得到转子不同频率分量二维全息谱椭圆旋向、大小、形状及频率间相互关系等信息。工频椭圆扁：支承刚度不对称或受力不均；椭圆较大、较园则说明转子存在不平衡、轴瓦间隙大或转子永久弯曲等。工频椭圆扁：支承刚度不对称或受力不均；椭圆较大、较园则说明转子存在不平衡、轴瓦间隙大或转子永久弯曲等。工频的二倍频圆比较大、较扁，且工频的四倍频椭圆扁，说