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1、第五章第五章 非平稳信号处理方法非平稳信号处理方法 经典的傅里叶分析能够完备地描绘平稳的正弦信号及其组合，经典的傅里叶分析能够完备地描绘平稳的正弦信号及其组合，但不能恰当地反映非平稳信号的特征。但不能恰当地反映非平稳信号的特征。很多随机过程从本质上来讲是非平稳的，例如语音信号、冲很多随机过程从本质上来讲是非平稳的，例如语音信号、冲击响应信号击响应信号、机组启、停机信号等。、机组启、停机信号等。必需找寻既能够反映时域特征又能够反映频域特征的新方法。必需找寻既能够反映时域特征又能够反映频域特征的新方法。本章介绍短时傅里叶变换、小波变换和小波包分析等非平稳本章介绍短时傅里叶变换、小波变换和小波包分析
2、等非平稳信号分析方法的原理、特点及其在工程中的应用。信号分析方法的原理、特点及其在工程中的应用。11/4/20221机械工程学院机自所动态室第五章第五章 非平稳信号处理方法非平稳信号处理方法 5.1 短时傅里叶变换短时傅里叶变换 5.2 小波变换小波变换 5.3 小波包信号分解与频带能量监测小波包信号分解与频带能量监测 5.4 工程应用工程应用 11/4/20222机械工程学院机自所动态室第五章第五章 非平稳信号处理方法非平稳信号处理方法 5.1 短时傅里叶变换短时傅里叶变换 5.2 小波变换小波变换 5.3 小波包信号分解与频带能量监测小波包信号分解与频带能量监测 5.4 工程应用工程应用
3、11/4/20223机械工程学院机自所动态室5.1 短时傅里叶变换短时傅里叶变换傅里叶变换用平稳的正弦波作为基函数傅里叶变换用平稳的正弦波作为基函数 ，通过内积，通过内积运算去变换信号运算去变换信号 ，得到其频谱，得到其频谱 。(5.1.1)(5.1.1)这一变换建立了一个从时域到频域的谱分析通道。这一变换建立了一个从时域到频域的谱分析通道。频谱频谱X(f)X(f)显示了用正弦基函数分解出显示了用正弦基函数分解出x(t)x(t)中任一正弦中任一正弦频率频率f f 的总强度。的总强度。傅里叶谱分析供应了平均的频谱系数，只与频率傅里叶谱分析供应了平均的频谱系数，只与频率f f 有关，有关，而与时间
4、而与时间t t无关。无关。傅里叶分析还要求所分析的随机过程是平稳的傅里叶分析还要求所分析的随机过程是平稳的.19461946年年GaborGabor提出了窗口傅里叶变换，称为短时傅里叶变提出了窗口傅里叶变换，称为短时傅里叶变换（换（Short Time Fourier Transform,STFTShort Time Fourier Transform,STFT）。）。11/4/20224机械工程学院机自所动态室5.1 短时傅里叶变换短时傅里叶变换 由加窗信号由加窗信号 的傅里叶变换产生短时傅里叶变换。的傅里叶变换产生短时傅里叶变换。(5.1.2)(5.1.2)是中心位于是中心位于 ，高度为，
5、高度为 1 1、宽度有限的时窗函数，、宽度有限的时窗函数，通过通过 所视察到的信号所视察到的信号 的部分是的部分是 。是是 STFT STFT的基函数。的基函数。tx(t)h(t)h(t-)x(t)h(t)0111/4/20225机械工程学院机自所动态室5.1 短时傅里叶变换短时傅里叶变换 窗函数窗函数 的选取是关键。最优窗函数是高斯函数。的选取是关键。最优窗函数是高斯函数。(5.1.3)(5.1.3)高斯窗函数的形态是：高斯窗函数的形态是：1 1，1/4 1/4，1/161/16 11/4/20226机械工程学院机自所动态室5.1 短时傅里叶变换短时傅里叶变换给定窗函数给定窗函数 和它的傅里
6、叶变换和它的傅里叶变换 ，则带宽，则带宽 为为 (5.1.4)(5.1.4)STFTSTFT的频率辨别率是的频率辨别率是 。两个正弦波之间的频率间隔大。两个正弦波之间的频率间隔大于于 ，则可区分这两个正弦波。，则可区分这两个正弦波。STFTSTFT的时间辨别率是的时间辨别率是 ，有，有(5.1.5)(5.1.5)两个脉冲的时间间隔大于两个脉冲的时间间隔大于 ，则可区分这两个脉冲。，则可区分这两个脉冲。11/4/20227机械工程学院机自所动态室5.1 短时傅里叶变换短时傅里叶变换w时间辨别率时间辨别率 和频率辨别率和频率辨别率 不行能同时随意小，依据不行能同时随意小，依据Heisenberg不
7、确定性原理，有以下限制不确定性原理，有以下限制w(5.1.6)w上式中，当且仅当接受了高斯窗函数，等式成立。上式中，当且仅当接受了高斯窗函数，等式成立。w时间辨别率和频率辨别率一旦确定，则时间辨别率和频率辨别率一旦确定，则STFT在整个时频平在整个时频平面上的时频辨别率保持不变。面上的时频辨别率保持不变。w短时傅里叶变换能够分析非平稳动态信号，其基础是傅里短时傅里叶变换能够分析非平稳动态信号，其基础是傅里叶变换，更适合分析准平稳叶变换，更适合分析准平稳(quasi-stationary)信号。信号。w反映信号高频成份须要用窄时窗，而反映信号低频成份须反映信号高频成份须要用窄时窗，而反映信号低频
8、成份须要用宽时窗。短时傅里叶变换不能同时满足这些要求。要用宽时窗。短时傅里叶变换不能同时满足这些要求。11/4/20228机械工程学院机自所动态室第五章第五章 非平稳信号处理方法非平稳信号处理方法 5.1 短时傅里叶变换短时傅里叶变换 5.2 小波变换小波变换 5.3 小波包信号分解与频带能量监测小波包信号分解与频带能量监测 5.4 工程应用工程应用 11/4/20229机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换近年来在工具和方法上有重大突破的小波变换，为非平稳近年来在工具和方法上有重大突破的小波变换，为非平稳信号分析展示了奇妙的前景。信号分析展示了奇妙的前景。“小波小波”就是小的波形。
9、所谓就是小的波形。所谓“小小”是指局部非零，波形是指局部非零，波形具有衰减性；具有衰减性；“波波”则是指它具有波动性，包含有频率的则是指它具有波动性，包含有频率的特性。特性。小波分析的思想来源于伸缩和平移方法。小波分析的思想来源于伸缩和平移方法。1910年年A.Haar提出的规范正交系提出的规范正交系 1984年，年，J.Morlet在分析地震数据的局部性时引进了小在分析地震数据的局部性时引进了小波概念。波概念。1986年，年，Y.Meyer构造出二进伸缩、平移小波基函数，构造出二进伸缩、平移小波基函数，掀起小波探讨热潮。掀起小波探讨热潮。1987年，年，S.G.Mallat将多辨别思想引入小
10、波分析，提将多辨别思想引入小波分析，提出快速塔形算法。出快速塔形算法。1988年，年，I.Daubechies构造了紧支集正交小波基，完善构造了紧支集正交小波基，完善小波理论体系。小波理论体系。1989到到1991年，年，R.R.Coifman、M.V.Wickerhauser等等提出小波包及算法。提出小波包及算法。1997年，年，W.Sweldens提出其次代小波变换的概念和算提出其次代小波变换的概念和算法。法。近一个世纪，特殊是近二十年来，小波理论和算法发展突近一个世纪，特殊是近二十年来，小波理论和算法发展突飞猛进。为信号处理领域里各自独立开发的方法建立了一飞猛进。为信号处理领域里各自独立
11、开发的方法建立了一个统一的框架个统一的框架11/4/202210机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换由基本小波或母小波由基本小波或母小波 通过伸缩通过伸缩 a 和平移和平移 b 产生一个函数族产生一个函数族 称为小波。有称为小波。有(5.2.1)式中式中 是尺度因子，是尺度因子，是时移因子。是时移因子。，波形收缩；，波形收缩；，波形伸展。，波形伸展。保证在不同的保证在不同的 值下，即在小波函数的伸缩过程中能量保持相等。值下，即在小波函数的伸缩过程中能量保持相等。w信号信号 的小波变换为的小波变换为(5.2.2)小波变换是用小波基函数小波变换是用小波基函数 代替傅里叶变换中的基函数代
12、替傅里叶变换中的基函数 以及短时傅里叶变以及短时傅里叶变换中的基函数换中的基函数 而进行的内积运算。而进行的内积运算。w小波变换的实质就是以基函数小波变换的实质就是以基函数 的形式将信号的形式将信号 分解为不分解为不同频带的子信号。同频带的子信号。11/4/202211机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换对信号对信号 进行小波变换相当于通过小波的尺度因子和时移进行小波变换相当于通过小波的尺度因子和时移因子变更去视察信号。因子变更去视察信号。小波变换的局部化是变更的，在高频处时间辨别率高，频小波变换的局部化是变更的，在高频处时间辨别率高，频率辨别率低；在低频处时间辨别率低，频率辨别率
13、高，即率辨别率低；在低频处时间辨别率低，频率辨别率高，即具有具有“变焦变焦”的性质，也就是具有自适应窗的性质。的性质，也就是具有自适应窗的性质。尺尺度度 时宽减小（频宽增大）时宽减小（频宽增大）时宽增大（频宽减小）时宽增大（频宽减小）t平平 移移 bccdda11/4/202212机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换式式(5.2.2)通过变量置换可改写为通过变量置换可改写为(5.2.3)随着尺度因子随着尺度因子 的变更，通过一个恒定的滤波器的变更，通过一个恒定的滤波器 视察视察到被伸展或压缩了的信号波形到被伸展或压缩了的信号波形 。尺度因子说明白信号在变换过程中尺度的变更，用大尺度
14、尺度因子说明白信号在变换过程中尺度的变更，用大尺度可视察信号的总体，用小尺度可视察信号的细微环节。可视察信号的总体，用小尺度可视察信号的细微环节。式式(5.2.3)说明白为什么在说明白为什么在S.G.Mallat的小波信号分解塔的小波信号分解塔形快速算法中，始终运用同样的低通与高通滤波器的道理。形快速算法中，始终运用同样的低通与高通滤波器的道理。11/4/202213机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换小波函数族还可接受如下定义：小波函数族还可接受如下定义：(5.2.4)优点是在不同尺度下可以保持各优点是在不同尺度下可以保持各 的频谱中幅频特性大的频谱中幅频特性大小一样。因为小一样
15、。因为 设设 的傅里叶变换是的傅里叶变换是 ，则，则 的傅里叶变换是的傅里叶变换是与与 相比，只有频率坐标比例变更，幅度没有变更。相比，只有频率坐标比例变更，幅度没有变更。参见参见p48性质性质(4)11/4/202214机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换式式(5.2.2)的内积运算可以用卷积运算来表示。这是因为的内积运算可以用卷积运算来表示。这是因为内积：内积：5.2.4)卷积：卷积：或记作或记作 两式相比较，只是将两式相比较，只是将 改成改成 ，即，即 首尾对调。首尾对调。假如假如 是关于是关于 的对称函数，则计算结果无区分；的对称函数，则计算结果无区分；假如假如是非对称，在
16、计算方法上也无本质区分。是非对称，在计算方法上也无本质区分。11/4/202215机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换当机器发生故障时，信号所包含机器不同零部件的故障特当机器发生故障时，信号所包含机器不同零部件的故障特征频率分布在不同的频带里。征频率分布在不同的频带里。如何提取这些被沉没的微弱信息而实现故障的早期诊断问如何提取这些被沉没的微弱信息而实现故障的早期诊断问题，往往使传统的信号分析技术无能为力。题，往往使传统的信号分析技术无能为力。小波变换能够实现信号在不同频带、不同时刻的合理分别。小波变换能够实现信号在不同频带、不同时刻的合理分别。这种分别相当于同时运用一个低通滤波器和
17、若干个带通滤这种分别相当于同时运用一个低通滤波器和若干个带通滤波器而不丢失任何原始信息。波器而不丢失任何原始信息。为机器零部件故障特征频率的分别、微弱信息的提取以实为机器零部件故障特征频率的分别、微弱信息的提取以实现早期故障诊断供应了高效、有力的工具。现早期故障诊断供应了高效、有力的工具。特殊要强调，这些优点来自小波变换的多辨别分析和小波特殊要强调，这些优点来自小波变换的多辨别分析和小波基函数的正交性。基函数的正交性。11/4/202216机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换5.2.1 多辨别分析及其工程意义多辨别分析及其工程意义在平方可积实数空间在平方可积实数空间 的多辨别分析是
18、指存在一系列的闭子空间的多辨别分析是指存在一系列的闭子空间 ，（，（代表辨别率为代表辨别率为 的多辨别分析子空间）的多辨别分析子空间）是是 在在 中的正交补空间。这些子空间具有以下性质：中的正交补空间。这些子空间具有以下性质：1)一样单调性：一样单调性：(5.2.7)性质性质1)表明辨别率为表明辨别率为 的子空间的子空间 中的靠近信号包含了辨别率为中的靠近信号包含了辨别率为 的的子空间子空间 的信息以及辨别率低于的信息以及辨别率低于 的全部信息。这也称为因果性质。的全部信息。这也称为因果性质。2)渐近完全性：渐近完全性：(5.2.8)性质性质2)表明全部子空间组成表明全部子空间组成 函数空间。
19、随着辨别率的提高，靠近信号函数空间。随着辨别率的提高，靠近信号就更接近原始信号；反之，随着辨别率的降低，靠近信号所包含的信息就就更接近原始信号；反之，随着辨别率的降低，靠近信号所包含的信息就越来越少。因此，在以辨别率为越来越少。因此，在以辨别率为 时得到的靠近信号与原始信号相比较，时得到的靠近信号与原始信号相比较，将会丢失部分信息。将会丢失部分信息。11/4/202217机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换5.2.1 多辨别分析及其工程意义多辨别分析及其工程意义3)伸缩规则性：伸缩规则性：(5.2.9)性质性质3)表明全部的子空间可以由一个基本空间通过尺度的伸缩变更得到，表明全部的
20、子空间可以由一个基本空间通过尺度的伸缩变更得到，在不同的辨别率时，靠近运算相同。在不同的辨别率时，靠近运算相同。4)平移不变性：平移不变性：(5.2.10)性质性质4)表明子空间信号在时间上平移，信号仍在该子空间，辨别率不变。表明子空间信号在时间上平移，信号仍在该子空间，辨别率不变。5)正交补全性：正交补全性：(5.2.11)符号符号 表示表示“正交和正交和”。是尺度函数空间，是尺度函数空间，是小波函数空间，它们相互是小波函数空间，它们相互正交，即正交，即 。，尺度函数尺度函数 与与 小波函数小波函数 正交正交,内积内积 (5.2.13)反复运用式反复运用式(5.2.11)和关系和关系 ，得到
21、小波靠近空间表达式，得到小波靠近空间表达式 (5.2.13)11/4/202218机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换5.2.1 多辨别分析及其工程意义多辨别分析及其工程意义6)Riesz基存在性基存在性:存在存在 ,使使 是是 的的Riesz基。基。同样使同样使 构成构成 的的Riesz基基 (5.2.12)性质性质6)指存在正常数指存在正常数 ,有有 ,对于随意序列对于随意序列 （表示全部双无限平方可求和序列空间）满足表示全部双无限平方可求和序列空间）满足 (5.2.15)上式是上式是 的有界性条件，的有界性条件，A和和B分别称为分别称为Riesz基下界和上界。基下界和上界。依
22、据式依据式(5.2.9)的伸缩规则性，假如的伸缩规则性，假如 是空间是空间 的的Riesz基，则基，则 是空间是空间 的的Riesz基。基。Riesz基的特点是它的元素线性独立，没有冗余的元素基的特点是它的元素线性独立，没有冗余的元素。就能保证小波。就能保证小波 的冗余度尽可能小，这对信号的特征提取特别有利。的冗余度尽可能小，这对信号的特征提取特别有利。11/4/202219机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换5.2.1 多辨别分析及其工程意义多辨别分析及其工程意义基于多辨别分析靠近空间基于多辨别分析靠近空间 和细微环节空间和细微环节空间 的频带范围。设的频带范围。设 空间中信号空
23、间中信号 属于子空间属于子空间 ，的频谱的频谱 区间为区间为 ,则则 小波变换的多辨别分析将信号小波变换的多辨别分析将信号 分解到相互连接的频带分解到相互连接的频带 和和 中。中。选定选定 或或 子空间中的分解信号，相当于获得了浓缩的故障诊断信子空间中的分解信号，相当于获得了浓缩的故障诊断信 息，具有志向的工程好用价值。息，具有志向的工程好用价值。11/4/202220机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取正交小波基的构造与信息独立化的提取在机械动态分析与监测诊断过程中，希望尽可能削减小波基的冗余性，期在机械动态分析与监测诊断过程中，希望
24、尽可能削减小波基的冗余性，期望小波函数线性独立，即希望小波函数是一个望小波函数线性独立，即希望小波函数是一个Riesz基。基。由于正交性能够保证独立性，正交基是完备的内积空间由于正交性能够保证独立性，正交基是完备的内积空间(Hilbert空间空间)最最志向的基函数，所以我们最感爱好于找寻小波函数志向的基函数，所以我们最感爱好于找寻小波函数 是正交基。是正交基。定义定义 5.2.1（正交小波）（正交小波）定理定理 5.2.1（标准正交基和尺度函数（标准正交基和尺度函数）定理定理 5.2.2（由正交尺度基函数构造出正交小波基函数（由正交尺度基函数构造出正交小波基函数）11/4/202221机械工程
25、学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取正交小波基的构造与信息独立化的提取从包涵关系从包涵关系 ，有，有 ，所以，所以 可以利用可以利用 子空间的子空间的尺度基函数尺度基函数 绽开，绽开系数为绽开，绽开系数为 。由于由于 ，小波基函数，小波基函数 ，这一包涵关系表明，这一包涵关系表明 可以用可以用 中的尺度中的尺度基函数基函数 绽开，绽开系数为绽开，绽开系数为 ，有双尺度关系，有双尺度关系(5.2.19)11/4/202222机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取正交小波基的构造与信息独立化的
26、提取依据式依据式(5.2.19)表示的双尺度关系，表示的双尺度关系，中的尺度函数中的尺度函数 和和 中的小波函数中的小波函数 均可由均可由 中的尺度函数中的尺度函数 给出。给出。设设 ，尺度函数，尺度函数 和小波函数和小波函数 分别为分别为(5.2.20)(5.2.21)(5.2.20)(d)t10(2t)1/21t10(2t-1)1/21t10(t)1/21-1t10(t)1(a)(b)(c)11/4/202223机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取正交小波基的构造与信息独立化的提取序列序列 ,称为正交镜像滤波器称为正交镜像滤波器(Q
27、uadrature Mirror Filters，QMF)，有，有 ,。和和 是是QMF的频域形式。的频域形式。由尺度函数由尺度函数 和小波函数和小波函数 的正交性及双尺度方程得的正交性及双尺度方程得(5.2.27)(5.2.28)(5.2.29)构造正交小波时滤波器和必需满足以上三个条件，它们分别来自尺度函数构造正交小波时滤波器和必需满足以上三个条件，它们分别来自尺度函数的正交性、小波函数的正交性以及尺度函数与小波函数之间的正交性。的正交性、小波函数的正交性以及尺度函数与小波函数之间的正交性。11/4/202224机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换5.2.2 正交小波基的构造与
28、信息独立化的提取正交小波基的构造与信息独立化的提取小波系数小波系数 与尺度系数与尺度系数 之间的关系之间的关系 由式由式(5.2.28)和和(5.2.29)，可得到，可得到(5.2.30)由上式及由上式及(5.2.26)可得到两个滤波器系数之间的关系可得到两个滤波器系数之间的关系(5.2.31)比较最终两个等式两边比较最终两个等式两边 的系数，可以得到的系数，可以得到(5.2.32)若若 是实序列，共轭符号是实序列，共轭符号 省略。省略。11/4/202225机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取正交小波基的构造与信息独立化的提取构造满足
29、正交三条件的滤波器构造满足正交三条件的滤波器 和和 方法方法 1、设计满足式、设计满足式(5.2.27)的滤波器的滤波器 ,再依据式再依据式(5.2.30)设计滤波器设计滤波器 。2、由、由 得到得到 ，再由式，再由式(5.2.32)干脆得到干脆得到 。S.G.Mallat基于基于2p+1阶多项式样条函数构造出阶多项式样条函数构造出 (5.2.33)由式由式(5.2.23)，有关系，有关系 ，可得到，可得到 依据式依据式(5.2.24)和和(5.2.30)，得到，得到 。(5.2.34)11/4/202226机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立
30、化的提取当当 ，则，则 ，尺度函数及其傅尺度函数及其傅 里叶变换、小波里叶变换、小波 函数函数 及其傅里叶及其傅里叶 变换变换 如图所示。如图所示。允许正频率通过的允许正频率通过的区间是区间是 ，而，而 允许正频率通过的区间允许正频率通过的区间是是 ，二者在，二者在0到到 区间恰好正交互补。区间恰好正交互补。独立化提取信息。独立化提取信息。系数见表系数见表。11/4/202227机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取正交小波基的构造与信息独立化的提取有了低通、带通滤波序列有了低通、带通滤波序列 和和 ，就能便利地通过小波变换进行，就能便利
31、地通过小波变换进行信息独立化提取。信息独立化提取。设设 是多辨别向量空间是多辨别向量空间 中的线性投影算子，以辨别率中的线性投影算子，以辨别率 靠近靠近能量有限可测信号能量有限可测信号 。与与 最相像。最相像。由于由于 ，得到唯一的表达式，得到唯一的表达式(5.2.36)称称 为靠近信号，为靠近信号，是辨别率为是辨别率为 的细微环节信号，它包含的细微环节信号，它包含 和和 之间的信息差。重复式之间的信息差。重复式(5.2.36)过程，可得过程，可得(5.2.37)11/4/202228机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取正交小波基的构造
32、与信息独立化的提取设离散采样信号为设离散采样信号为 ，数据长度为，数据长度为 ，其辨别率是，其辨别率是 ，将信号表，将信号表示为示为 。得到相应的分解表达式。得到相应的分解表达式(5.2.43)Mallat在文献在文献13里给出里给出 的实系数值，式的实系数值，式(5.2.43)可写成可写成(5.2.44)和和 是隔二抽取结果，数据长度分别是信号是隔二抽取结果，数据长度分别是信号 的数据之半。的数据之半。信号重构表达式为信号重构表达式为(5.2.45)11/4/202229机械工程学院机自所动态室1.1 1.1 1.1 1.1 内积变换原理内积变换原理内积变换原理内积变换原理 函数函数函数函数
33、 ，的内积定义的内积定义的内积定义的内积定义 信号信号信号信号 的傅里叶变换的傅里叶变换的傅里叶变换的傅里叶变换信号的小波变换信号的小波变换信号的小波变换信号的小波变换1 信号处理的内积与基函数信号处理的内积与基函数 11/4/202230机械工程学院机自所动态室小波变换的靠近信号小波变换的靠近信号小波变换的靠近信号小波变换的靠近信号 和细微环节信号和细微环节信号和细微环节信号和细微环节信号 为为为为 为尺度函数；为尺度函数；为尺度函数；为尺度函数；为小波函数。双尺度关系为小波函数。双尺度关系为小波函数。双尺度关系为小波函数。双尺度关系:和和和和 分别是低通和高通滤波器系数。分别是低通和高通滤
34、波器系数。分别是低通和高通滤波器系数。分别是低通和高通滤波器系数。1.2 1.2 小波变换的内积运算小波变换的内积运算 11/4/202231机械工程学院机自所动态室 小波变换的分解表达式小波变换的分解表达式小波变换的分解表达式小波变换的分解表达式 基函数分解关系基函数分解关系基函数分解关系基函数分解关系 小波变换的重构表达式小波变换的重构表达式小波变换的重构表达式小波变换的重构表达式 11/4/202232机械工程学院机自所动态室5.2 小波变换小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取正交小波基的构造与信息独立化的提取Mallat塔形算法塔形算法,不涉及尺度函数不涉及尺度函数
35、和小波函数和小波函数 ,干脆运用干脆运用 和和 参与运算，运算量正比于参与运算，运算量正比于 。每次分解所得到的靠近信号和细微环节信号的数据长度是上一次靠近信号每次分解所得到的靠近信号和细微环节信号的数据长度是上一次靠近信号数据长度的一半。当数据长度的一半。当 次分解后，靠近信号和细微环节信号的数据长次分解后，靠近信号和细微环节信号的数据长度缩减为原始信号数据长度度缩减为原始信号数据长度 的的 。在重构计算的每一步中，先在数据之间插补零后再参与同低通、带通滤波在重构计算的每一步中，先在数据之间插补零后再参与同低通、带通滤波器系数的运算，结果重构数据长度加倍。器系数的运算，结果重构数据长度加倍。
36、Mallat的塔形算法在小波分析中的地位就相当于快速傅里叶算法在傅里叶的塔形算法在小波分析中的地位就相当于快速傅里叶算法在傅里叶变换中的地位。变换中的地位。正交小波变换将原始信号分解到各自独立的频带中，正交性保证了这些状正交小波变换将原始信号分解到各自独立的频带中，正交性保证了这些状态信息无冗余、无疏漏，解除了干扰，浓缩了监测诊断信息。态信息无冗余、无疏漏，解除了干扰，浓缩了监测诊断信息。11/4/202233机械工程学院机自所动态室第五章第五章 非平稳信号处理方法非平稳信号处理方法 5.1 短时傅里叶变换短时傅里叶变换 5.2 小波变换小波变换 5.3 小波包信号分解与频带能量监测小波包信号
37、分解与频带能量监测 5.4 工程应用工程应用 11/4/202234机械工程学院机自所动态室5.3 小波包信号分解与频带能量监测小波包信号分解与频带能量监测小波变换对信号的分解都是对低频靠近信号小波变换对信号的分解都是对低频靠近信号 进行再分解，进行再分解，不再对高频细微环节信号不再对高频细微环节信号 进行分解。进行分解。小波变换分解方式，高频频带信号的时间辨别率高而频率辨小波变换分解方式，高频频带信号的时间辨别率高而频率辨别率低，低频频带信号的时间辨别率低而频率辨别率高。别率低，低频频带信号的时间辨别率低而频率辨别率高。小波包小波包(wavelet packet)提高高频频带信号的频率辨别率
38、。提高高频频带信号的频率辨别率。信号的小波分解信号的小波分解 信号的小波包分解信号的小波包分解 11/4/202235机械工程学院机自所动态室5.3 小波包信号分解与频带能量监测小波包信号分解与频带能量监测设序列设序列 满足满足 (5.3.1)现定义一组递归函数现定义一组递归函数 ,n=1,，它们由尺度函数，它们由尺度函数 和和小波函数小波函数 产生，有关系产生，有关系 和和(5.3.2)式中式中 ，两系数也具有正交关系。当，两系数也具有正交关系。当 时，上式的时，上式的 和和 分别对应于分别对应于 和和 。定义定义5.3.1 由式由式(5.3.2)产生的序列产生的序列 称为由基函数称为由基函
39、数 确定的小波包。确定的小波包。11/4/202236机械工程学院机自所动态室5.3 小波包信号分解与频带能量监测小波包信号分解与频带能量监测依据多辨别分析关系依据多辨别分析关系 ，用，用 代替代替 ，得到小，得到小波包子空间波包子空间 中的分解关系中的分解关系(5.3.13)小波包对小波子空间小波包对小波子空间 进行逐步分解，令进行逐步分解，令 n=1,2,；j=1,2,，得到如下的分解表示，得到如下的分解表示 (5.3.14)的分解可用的分解可用 来表示，分解信号为来表示，分解信号为 ，m=0,1,2,11/4/202237机械工程学院机自所动态室5.3 小波包信号分解与频带能量监测小波包
40、信号分解与频带能量监测小波包信号分解是正交分解，能量守衡，有如下关系小波包信号分解是正交分解，能量守衡，有如下关系(5.3.18)这里这里 表示信号的能量。表示信号的能量。数据为数据为 ，能量为，能量为(5.3.19)归一化相对能量表示。第归一化相对能量表示。第 m 频带分解信号相对能量为频带分解信号相对能量为(5.3.20)依据能量守衡原理，明显有依据能量守衡原理，明显有(5.3.21)11/4/202238机械工程学院机自所动态室第五章第五章 非平稳信号处理方法非平稳信号处理方法 5.1 短时傅里叶变换短时傅里叶变换 5.2 小波变换小波变换 5.3 小波包信号分解与频带能量监测小波包信号
41、分解与频带能量监测 5.4 工程应用工程应用 11/4/202239机械工程学院机自所动态室5.4 工程应用工程应用5.4.1 轧钢机振动分析 钢厂热轧机电机功率钢厂热轧机电机功率1MW，转速转速591r/min。用加速度传感器。用加速度传感器测试电机滑动轴承座的垂直振动。测试电机滑动轴承座的垂直振动。图轧制过程电机测点的振动波形图轧制过程电机测点的振动波形 图轧制过程振动信号的小波分解图轧制过程振动信号的小波分解 钢坯进入轧机的冲击引起的钢坯进入轧机的冲击引起的宽带响应。宽带响应。具有明显的幅值调制现象。具有明显的幅值调制现象。高频细微环节信号波形杂乱、高频细微环节信号波形杂乱、密集随机脉冲
42、。密集随机脉冲。电机轴瓦中因润滑不良造成电机轴瓦中因润滑不良造成的干摩擦及碰摩现象。的干摩擦及碰摩现象。11/4/202240机械工程学院机自所动态室5.4 工程应用工程应用大型矿山电铲提升系统振动分析 WK3B-4WK3B-4电铲提升系统工况分析。电铲提升系统工况分析。电铲提升系统结构和测点电铲提升系统结构和测点 图图5.4.4 测测点点5 5在下降在下降-停止停止-再启动过程的振动波形再启动过程的振动波形 图图5.4.5 测点测点5在下降在下降-停止停止-再启动过程的再启动过程的STFT 图图5.4.7 提升增速过程测点提升增速过程测点4振动波形和振动波形和STFT 11/4/202241机械工程学院机自所动态室5.4.3 压缩机齿轮箱轴瓦监测诊断压缩机齿轮箱轴瓦监测诊断11/4/202242机械工程学院机自所动态室5.4.4 汽轮发电机组轴瓦松动故障诊断汽轮发电机组轴瓦松动故障诊断 11/4/202243机械工程学院机自所动态室5.4.4 汽轮发电机组轴瓦松动故障诊断汽轮发电机组轴瓦松动故障诊断11/4/202244机械工程学院机自所动态室5.4.5 高压透平蒸汽激振分析高压透平蒸汽激振分析11/4/202245机械工程学院机自所动态室5.4.5 高压透平蒸汽激振分析高压透平蒸汽激振分析11/4/202246机械工程学院机自所动态室