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1、线线 性性 代代 数数Linear Algebra主讲：黄月梅主讲：黄月梅1高校教育精品PPT一、研究对象一、研究对象 线性代数是线性代数是代数学代数学的一个分支，主要处理的一个分支，主要处理线性关系线性关系问题，即问题，即线性空间、线性变换和有限线性空间、线性变换和有限维的线性方程组。维的线性方程组。线性关系意即数学对象之间线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个
2、平面相交，由两个三元一次方程所组视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。性方程组的问题是最简单的线性问题。基础介绍基础介绍2高校教育精品PPT二、历史与发展二、历史与发展 线性代数作为一个独立的分支在线性代数作为一个独立的分支在20世纪才世纪才形成，而它的历史却非常久远。形成，而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题就
3、是一个简单的线性方程组求解的问题。问题就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代东汉年初成书的数学著作国古代东汉年初成书的数学著作九章算术九章算术方程方程章中，已经作了比较完整的叙述，其中章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。3高校教育精品PPT 由于法国数学家由于法国数学家费马（费马（1601-1665）和和笛笛卡儿（卡儿（1596-1650）的工作，现代意义
4、的线性的工作，现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到纪上半叶才完成了到n维维线性空间线性空间的过渡。的过渡。随着研究线性方程组和变量的线性变换问随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，在题的深入，在1819世纪期间先后产生行列式世纪期间先后产生行列式和矩阵的概念，为处理线性问题提供了有力的和矩阵的概念，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。工具，从而推动了线性代数的发展。4高校教育精品PPT 1717世纪，德国数
5、学家世纪，德国数学家-莱布尼兹莱布尼兹 历史上最早使用行列式概念。历史上最早使用行列式概念。17501750年，瑞士数学家年，瑞士数学家-克莱姆克莱姆（克莱姆法则）克莱姆法则）用行列式解线性方程组的重要方法。用行列式解线性方程组的重要方法。17721772年，法国数学家年，法国数学家-范德蒙范德蒙 对行列式做出连贯的逻辑阐述，行列对行列式做出连贯的逻辑阐述，行列式的理论脱离开线性方程组。式的理论脱离开线性方程组。三、有重要贡献的数学家三、有重要贡献的数学家5高校教育精品PPT英国数学家英国数学家-西勒维斯特西勒维斯特(1814-1897)(1814-1897)首次提出矩阵的概念首次提出矩阵的概
6、念(矩型阵式矩型阵式)英国数学家英国数学家-凯莱凯莱(1821-1895)(1821-1895)矩阵论的创立矩阵论的创立 德国数学家德国数学家-高斯高斯（1777-18551777-1855）提出行列式的某些思想和方法提出行列式的某些思想和方法 18411841年，法国数学家年，法国数学家-柯西柯西 首先创立了现代的行列式概念和符号。首先创立了现代的行列式概念和符号。6高校教育精品PPT 向量概念的引入，形成了向量空间的概念。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此论。因此，向
7、量空间及其线性变换，以及与此相联的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。相联的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。在十九世纪下半叶，因若当的工作而达在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。到了它的顶点。1888年，意大利数学家年，意大利数学家皮亚皮亚诺（诺（1858-1932）以公理的方式定义了有限以公理的方式定义了有限维或无限维线性空间。维或无限维线性空间。托普利茨托普利茨将线性代数将线性代数的主要定理推广到任意体（的主要定理推广到任意体（domain）上的最上的最一般的向量空间中。一般的向量空间中。7高校教育精品PPT “代数代数”这个词在中文中出现较晚，在清代时这个词在中文中出现较
8、晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉阿尔热巴拉”，直到，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李年，清代著名的数学家、翻译家李善兰（善兰（1811-1882）才将它翻译成为）才将它翻译成为“代数学代数学”，之后一直沿用。，之后一直沿用。8高校教育精品PPT学术地位及应用学术地位及应用 线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密
9、码学、虚拟现实等技术无不以线性代辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。线性代数所体现数为其理论和算法基础的一部分。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。智能是非常有用的。9高校教育精品PPT 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之量之
10、间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。这些问题的有力工具。线性代数的含义随数学的发展而不断扩线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，同时也是理论物理和理论化学的许多分支，同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。所不可缺少的代数基础知识。10高校教育精品PPT “
11、以直代曲以直代曲”是人们处理很多数学问题是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，通常把非线性模型近似为线性模型，最后往通常把非线性模型近似为线性模型，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。因此，往归结为线性问题，它比较容易处理。因此，线性代数在工程技术、科学研究以及经济、线性代数在工程技术、科学研究以及经济、管理等许多领域都有着广泛的应用，是一门管理等许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。线性代数的计算方法基本的和重要的学科。线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容。是计算数学里一个很重要的内容。11高校教育精
12、品PPT 线性（线性（linear）指量与量之间按比例、成直线指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。函数。非线性非线性（non-linear）则指不按比例、不成直则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。线的关系，一阶导数不为常数。什么是线性关系？什么是线性关系？12高校教育精品PPT线性代数线性代数研究对象：研究对象：线性空间、线性变换和线性空间、线性变换和有限维的线性方程组有限维的线性方程组。研究工具：研究工具：行列式、矩阵与向量。行列式、矩阵与向量。13高校教育精品PPT线性代数线性代数（第六版）（第六版
13、）14高校教育精品PPT 第一章第一章 行列式行列式 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 第六章第六章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换(选学选学)15高校教育精品PPT在以往的学习中，我们接触过二在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组元、三元等简单的线性方程组.但是，从许多实践或理论问题里但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数多的
14、未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等与方程的个数也不一定相等.16高校教育精品PPT我们先讨论未知量的个数与方程我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形的个数相等的特殊情形.在讨论这一类线性方程组时，我在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具们引入行列式这个计算工具.17高校教育精品PPT行列式是线性代数行列式是线性代数的一种工具！的一种工具！学习行列式主要就学习行列式主要就是要能计算行列式是要能计算行列式的值的值.第一章第一章 行列式（行列式（Determinant）n内容提要内容提要1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式2 2 全排列与对换全排列与对换3
15、3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义4 4 行列式的性质行列式的性质5 5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 行列式的概念行列式的概念.行列式的行列式的性质及计算性质及计算.18高校教育精品PPT 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式(Determinent of order two or three)我们从最简单的二元线性方程组出发，探我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式求其求解公式，并设法化简此公式.19高校教育精品PPT一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组二元线性方程组 由消元法，得由消元法，得当当 时，该方程组
16、有唯一解时，该方程组有唯一解 1.二阶行列式的定义二阶行列式的定义20高校教育精品PPT求解公式为求解公式为二元线性方程组二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得.21高校教育精品PPT二元线性方程组二元线性方程组 我们引进新的符号来表示我们引进新的符号来表示“四个四个数分成两对相乘再相减数分成两对相乘再相减”.记号记号 数表数表 定义定义1 1 表达式表达式 称为由该数表所确定的称为由该数表所确定的二阶二阶行列式行列式
17、(determinant oforder twodeterminant oforder two)，即，即其中，其中，称为称为元素元素（element）.i 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行；j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列.原则：横行竖列原则：横行竖列22高校教育精品PPT2.二阶行列式的计算二阶行列式的计算 主对角线主对角线 副对角线副对角线 即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积 对角线法则对角线法则 根据定义根据定义 x1,1,x2 2 的分子也可以写成行列式形式如下：的分子也可以写成行列式形
18、式如下：23高校教育精品PPT二元线性方程组二元线性方程组 若令若令 (方程组的系数行列式方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为24高校教育精品PPT例例1 求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解 因为因为 所以所以 25高校教育精品PPT二、三阶行列式二、三阶行列式1.定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则：横行竖列原则：横行竖列引进记号引进记号称为称为三阶行列式三阶行列式.主对角线主对角线 副对角线副对角线 二阶行列式的对角线法则二阶行列式的对角线法则并不适用！并不适用！26高校教育精品PPT2.三阶行列式的计算三阶
19、行列式的计算 对角线法则对角线法则/三角形法则三角形法则 注意：注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元素的乘积冠负号.27高校教育精品PPT三角形法三角形法28高校教育精品PPT例例2 计算行列式计算行列式 解解按对角线法则，有按对角线法则，有29高校教育精品PPT 解：解：例例3 计算三阶行列式计算三阶行列式30高校教育精品PPT方程左端方程左端解解由由 得得例例4 求解方程求解方程 31高校教育精品PPT例例5 求解方程组求解方程组 解：解：令令 32
20、高校教育精品PPT33高校教育精品PPT34高校教育精品PPT 课堂练习课堂练习计算下列行列式计算下列行列式35高校教育精品PPT 小结小结 一、一、二阶、三阶行列式的概念二阶、三阶行列式的概念 二、二、二阶、三阶行列式的计算方法二阶、三阶行列式的计算方法1.二阶行列式二阶行列式对角线法则对角线法则/三角形法则三角形法则 36高校教育精品PPT2.三阶行列式三阶行列式 对角线法则对角线法则/三角形法则三角形法则 注意：注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元
21、素的乘积冠负号.37高校教育精品PPT三角形法三角形法38高校教育精品PPT 作业nP21：1 (1)(4)、2 (2)(6)39高校教育精品PPT2 全排列与对换全排列与对换(Permutation and Transposition)40高校教育精品PPT引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3 3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32 2种放法种放法1 1种放法种放法种放法种放法.共有共有所求六个三位数为所求六个三位数为123，132，213，231，312，32141高校教育
22、精品PPT问题问题 把把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？排法？定义定义1 把把 n 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的个元素的全排列全排列(all permutation)(all permutation).n 个不同元素个不同元素的所有排列的种数，通常用的所有排列的种数，通常用 Pn 表示表示.显然显然 即即n 个不同的元素一共有个不同的元素一共有n!种不同的排法种不同的排法.42高校教育精品PPT所所有有6种种不不同同的的排排法法中中，只只有有一一种种排排法法（123）中中的的数数字字是是按按从从
23、小小到到大大的的自自然然顺顺序序排排列列的的，而而其其他他排排列列中中都都有有大大的的数排在小的数之前数排在小的数之前.因因此此大大部部分分的的排排列列都都不不是是“顺顺序序”，而是而是“逆序逆序”.3个不同的元素一共有个不同的元素一共有3!=6种不同的排法种不同的排法123，132，213，231，312，32143高校教育精品PPT对于对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义2 一个排列一个排列中某两个元素的先后次序与标中某两个元素的先后次序与标准次序
24、不同时，就准次序不同时，就称这两个元素组成一个称这两个元素组成一个逆序逆序（inverse sequence）.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考题：思考题：还能找到其它逆序吗？还能找到其它逆序吗？答：答：2和和1，3和和1也构成逆序也构成逆序.44高校教育精品PPT 定义定义 3 排列中所有逆序的总数称为此排列的排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序逆序数数.(inverse number)排列排列 的逆序数通常记为的逆序数通常记为 .奇排列：奇排列：逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列.偶排列：偶排列：逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的
25、排列.思考题：思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：答：符合标准次序的排列（例如：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数）的逆序数等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列.45高校教育精品PPT计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为 设设 是是 1,2,n 这这n 个自然数的任一排列，个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序并规定由小到大为标准次序.先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ；再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为
26、 ;最后看有多少个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;46高校教育精品PPT 例例1 求排列求排列 32514 的逆序数的逆序数.解：解：例例2 2 求下列排列求下列排列 的逆序数的逆序数,并说明奇偶性并说明奇偶性.解：解：2)1)453162 解：解：奇排列奇排列偶排列偶排列47高校教育精品PPT练习：练习：讨论讨论1，2,3所有全排列的奇偶性所有全排列的奇偶性.解：解：t(132)=t(132)=1 1，123，132，213，231，312，321t(123)=t(123)=0 0，t(213)=t(213)=1 1，t(231)=t(231)=2 2，t(
27、312)=t(312)=2 2，t(321)=t(321)=3 3，故故 123，231，312 为偶排列，为偶排列，132，213，321 为奇排列为奇排列.48高校教育精品PPT 定义定义3 3 在排列中，将任意两个元素对调，其在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换例如例如 二、二、对换对换49高校教育精品PPT2、对换与排列奇偶性的关系、对换与排列奇偶性的关系定理定理1 1对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性.推论推论 奇排列奇排列变成标准排列
28、的对换次数为变成标准排列的对换次数为奇数奇数，偶排列偶排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为偶数偶数.例如例如 312 为偶排列，为偶排列，321 为奇排列为奇排列.213 为奇排列为奇排列.50高校教育精品PPT 定理定理2 2 n 个元素的所有全排列中奇排列与个元素的所有全排列中奇排列与偶排列数各占一半偶排列数各占一半,即各有即各有 个个.证：证：设设n 个元素的所有全排列中个元素的所有全排列中共有共有t t个奇排个奇排列和列和s s个偶排列个偶排列.奇排列经一次对换都变成偶排列，奇排列经一次对换都变成偶排列，例如例如 1,2,31,2,3的所有排列中恰有的所有排列中恰有3
29、3个偶排列个偶排列和和3 3个奇排列个奇排列.于是于是t t s.s.同理得同理得 s s t t，故，故 s s=t.t.又因为又因为s+t=s+t=n!，所以，所以s s=t=.t=.51高校教育精品PPT3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义52高校教育精品PPT一、概念的引入一、概念的引入规律：规律：1.1.三阶行列式共有三阶行列式共有6项，即项，即3!项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积3.3.每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1、2、3的某个排列的某个排列.当当 是是偶排列偶排列时，
30、对应的项取时，对应的项取正号正号；1.1.当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号.53高校教育精品PPT所以，三阶行列式可以写成所以，三阶行列式可以写成 其中其中 表示对表示对1、2、3的所有排列求和的所有排列求和.二阶行列式有类似规律二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形.54高校教育精品PPT 二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义简记作简记作 ，其中，其中t t=t t(p1 1p2 2.pn n),),为行列式为行列式D 的的(i,j)元元.定义定义1 设有设有 个数排成个数排成 n 行行 n 列的数表列的数表 和式和式 称
31、为由上数表所确定的称为由上数表所确定的n阶行列式阶行列式，55高校教育精品PPT1.n 阶行列式共有阶行列式共有 n!项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积3.3.每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1,2,n 的某个排列的某个排列.1.1.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号；2.2.当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号.56高校教育精品PPT思考题：思考题：成立成立吗？吗？答：答：符号符号 可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成绝对值，则若理解成
32、绝对值，则 ；若理解成一阶行列式，则若理解成一阶行列式，则 .注意：注意：当当n=1时，一阶行列式时，一阶行列式|a|=a，注意不要与，注意不要与绝对值的记号相混淆绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式例如：一阶行列式 .57高校教育精品PPT例例1 1：写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子 的项的项.解：解：一般项为一般项为和和已知已知 ，根据行列式的定义，根据行列式的定义 或或 ，于是，于是 或或 故所求项为故所求项为 58高校教育精品PPT例例2 2：计算行列式计算行列式59高校教育精品PPT解：解：60高校教育精品PPT61高校教育精品PPT其中其中 62高校教育精品PPT(
33、1)(1)对角行列式对角行列式 (2)(2)三、特殊行列式三、特殊行列式 63高校教育精品PPT(3)(3)上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0）(4)(4)下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0 0）64高校教育精品PPT例例3已知已知 ，求，求 的系数的系数.66高校教育精品PPT故故 的系数为的系数为1.解解含含 的项有两项，即的项有两项，即对应于对应于67高校教育精品PPT定理定理2 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 定理定理3 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 四、行列式的等价定义四、行
34、列式的等价定义 79高校教育精品PPT四个结论：四个结论：(1)(1)对角行列式对角行列式 (2)(2)80高校教育精品PPT(3)(3)上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0）(4)(4)下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0 0）81高校教育精品PPT练习：练习：82高校教育精品PPT例例3已知已知 ，求，求 的系数的系数.83高校教育精品PPT故故 的系数为的系数为1.解解含含 的项有两项，即的项有两项，即对应于对应于84高校教育精品PPT因为数的乘法是可以交换的，因为数的乘法是可以交换的，所以所以 n 个元
35、素相乘的次个元素相乘的次序是可以任意的，即序是可以任意的，即 每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列 与与 都同时作一次对换，即都同时作一次对换，即 与与 同同时改变奇偶性，时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变不变.85高校教育精品PPT例例4 试判断试判断 和和是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.行标和列标的逆序数之和行标和列标的逆序数之和所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.89高校教育精品P
36、PT例例5 用行列式的定义计算用行列式的定义计算 90高校教育精品PPT解解91高校教育精品PPT例例6：是五阶行列式的是五阶行列式的一项一项,求求解：解：将已知项按行标的标准次序排列得将已知项按行标的标准次序排列得由此得由此得而而92高校教育精品PPT小结小结一、排列与逆序数一、排列与逆序数93高校教育精品PPT对换对换94高校教育精品PPT2.行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法二、二、n 阶行列式阶行列式95高校教育精品PPT4 4 行列式的性质行列式的性质97高校教育精品PPT一、行列式的性质一、行列式的性质则行列式则行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式.若记若记
37、 ，则，则 .定义定义1 1 记记 注：行列式注：行列式 也是行列式也是行列式 的转置行列式的转置行列式,即即 98高校教育精品PPT例例1 写出下列行列式的转置行列式写出下列行列式的转置行列式.解：解：99高校教育精品PPT性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.证明证明根据行列式的定义，有根据行列式的定义，有若记若记 ，则，则行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立的对列也同样成立.100高校教育精品PPT性质性质2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号
38、.验证验证于是于是推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 ，所以，所以 .备注：交换第备注：交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列），记作行（列），记作 .101高校教育精品PPT性质性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数同一个倍数 ，等于用数，等于用数 乘以此行列式乘以此行列式.验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例.记记 根据三阶行列式的对角线法则，有根据三阶行列式的对角线法则，有备注：第备注：第 行（列）乘以行（
39、列）乘以 ，记作，记作 .D D1 1102高校教育精品PPT推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面行列式符号的外面备注：第备注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，记作，记作 .103高校教育精品PPT验证验证我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例.性质性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零式为零104高校教育精品PPT性质性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,即即105高校教育精品PPT性
40、质性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变则则验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例.记记 备注：以数备注：以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，记作行（列）上，记作 .107高校教育精品PPT证证:由性质由性质5 5和性质和性质4 4108高校教育精品PPT例例1 1 计算行列式计算行列式二、应用举例二、应用举例109高校教育精品PPT解：解：计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：利用行列式性质将给定行列式化利用行列式
41、性质将给定行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值为上三角形行列式，从而算得行列式的值110高校教育精品PPT111高校教育精品PPT例例2计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值上三角形行列式，从而算得行列式的值112高校教育精品PPT解解113高校教育精品PPT114高校教育精品PPT115高校教育精品PPT116高校教育精品PPT练习练习 P21 4（1）117高校教育精品PPT例例3 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得118高校教育精品PPT119高校教育精品PPT例例4
42、 设设 证明证明 120高校教育精品PPT证明证明对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为121高校教育精品PPT对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算 ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式故故122高校教育精品PPT例例5 5 计算行列式计算行列式 解解：把：把 D2n 的第的第2n 行依次与第行依次与第2n-1行、行、第、第2行对调（作行对调（作2n-2次相邻兑换），第次相邻兑换），第2n 列依次与第列依次与第2n-1列、列、
43、第、第2列对调，得列对调，得123高校教育精品PPT2（n-1）124高校教育精品PPT以此作递推公式，即得以此作递推公式，即得125高校教育精品PPT例例6 6 计算行列式计算行列式行列式行列式 特点特点：第一：第一 行、列及对角线元素行、列及对角线元素 除外，其余元素全为除外，其余元素全为0 常用方法：常用方法：行列式第一列行列式第一列 加其它加其它 各列一定倍各列一定倍数，化为三角形行列式数，化为三角形行列式 三线型/爪型126高校教育精品PPT解解：作：作127高校教育精品PPT 行列式的主要性质：行列式的主要性质：值相等。值相等。性质性质1 1 行列式行列式D D与其转置与其转置性质
44、性质2 2 互换行列式的某两行（列），行列互换行列式的某两行（列），行列 式的值变号。式的值变号。推论推论 行列式中有两行（列）完全相同，行列式中有两行（列）完全相同，则其值为零。则其值为零。性质性质3 3 行列式中某一行（列）的公因子可行列式中某一行（列）的公因子可 提到行列式符号的前面。提到行列式符号的前面。小结小结128高校教育精品PPT推论推论1 1 若行列式的某一行（列）中所有元素若行列式的某一行（列）中所有元素 全为零，则此行列式的值为零。全为零，则此行列式的值为零。性质性质4 4 若行列式的某两行（列）的对应元素若行列式的某两行（列）的对应元素 成比例，则此行列式的值为零。成比例
45、，则此行列式的值为零。性质性质5 若行列式的某一行（列）中所有元素若行列式的某一行（列）中所有元素 都是两个元素的和，则都是两个元素的和，则 此行列式等于此行列式等于 两个行列式的和。两个行列式的和。性质性质6 6 行列式某一行（列）行列式某一行（列）k k 倍加到另一行倍加到另一行(列列)上，上，行列式的值不变。行列式的值不变。129高校教育精品PPT作业n P21 4(2)(6)130高校教育精品PPT5 行列式按行行列式按行(列列)展开展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式
46、阶行列式.131高校教育精品PPT一、引言一、引言结论结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示三阶行列式可以用二阶行列式表示.思考题思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？132高校教育精品PPT 定义定义 在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，列划后，留下来的留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式（cofacter），记作，记作 .例如例如 把把 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式注：注：1)1)行列式中每一个元素对应着一个余子式和代数余子式行列式中每一个元
47、素对应着一个余子式和代数余子式.2)2)一个元素一个元素的的余子式和代数余子式余子式和代数余子式只与该只与该元素元素的位置有关的位置有关.133高校教育精品PPT 引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的与它的代数余子式的乘积，即乘积，即 例如例如 134高校教育精品PPT即有即有又又从而从而下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时,135高校教育精品PPT我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例.思考题：思考题：能否以能
48、否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？136高校教育精品PPT思考题：思考题：能否以能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？答：答：不能不能.137高校教育精品PPT 被调换到第被调换到第1行，第行，第1列列138高校教育精品PPT例例1 1 计算行列式计算行列式解解139高校教育精品PPT140高校教育精品PPT例例2 用按行（列）展开法计算下列行列式。用按行（列）展开法计算下列行列式。141高校教育精品PPT二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
49、与其对应的代数余子式乘积之和，即142高校教育精品PPT同理可得同理可得143高校教育精品PPT 证明证明 用数学归纳法用数学归纳法例例3 3 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式所以所以n=2时时(1)式成立式成立.144高校教育精品PPT假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：145高校教育精品PPT按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子 ，就有，就有146高校教育精品PPT n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式147高校教育精品PPT推论推论 行
50、列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析分析 我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例.把第把第1行的元素换成第行的元素换成第2行的对应元素，则行的对应元素，则 148高校教育精品PPT定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之