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1、第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1); 解 =2(-4)3+0(-1)(-1)+118 -013-2(-1)8-1(-4)(-1) =-24+8+16-4=-4. (2); 解 =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3. (3); 解 =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a). (4). 解 =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3 =3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列
2、各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 (2n-1) 2 4 (2n); 解 逆序数为: 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, , (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 (2n-1) (2n) (2n-2) 2. 解
3、逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, , (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) (2n)2, (2n)4, (2n)6, , (2n)(2n-2) (n-1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 含因子a11a23的项的一般形式为(-1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a11a23的项分别是 (-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a2
4、3a32a44, (-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 计算下列各行列式: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 5. 证明: (1)=(a-b)3; 证明 =(a-b)3 . (2); 证明 . (3); 证明 (c4-c3, c3-c2, c2-c1得) (c4-c3, c3-c2得) . (4) =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d); 证明 =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+
5、c+d). (5)=xn+a1xn-1+ +an-1x+an . 证明 用数学归纳法证明. 当n=2时, , 命题成立. 假设对于(n-1)阶行列式命题成立, 即 Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ +an-2x+an-1, 则Dn按第一列展开, 有 =xD n-1+an=xn+a1xn-1+ +an-1x+an . 因此, 对于n阶行列式命题成立. 6. 设n阶行列式D=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转, 依次得 , , , 证明, D3=D . 证明因为D=det(aij), 所以 . 同理可证 . . 7. 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式): (
6、1), 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0; 解 (按第n行展开) =an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 , 再将各列都加到第一列上, 得 =x+(n-1)a(x-a)n-1. (3); 解 根据第6题结果, 有 此行列式为范德蒙德行列式. . (4); 解 (按第1行展开) . 再按最后一行展开得递推公式 D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2. 于是 . 而 , 所以 . (5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|; 解 aij=|i-j|, =(-1)n
7、-1(n-1)2n-2. (6), 其中a1a2 an0. 解 . 8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1); 解 因为 , , , , ,所以 , , , . (2). 解 因为 , , , , , , 所以, , , , . 9. 问l, m取何值时, 齐次线性方程组有非零解？ 解 系数行列式为 . 令D=0, 得 m=0或l=1. 于是, 当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解. 10. 问l取何值时, 齐次线性方程组有非零解？ 解 系数行列式为 =(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l) =(1-l)3+2(1-l)2+l-3. 令D=0, 得 l=0, l
8、=2或l=3. 于是, 当l=0, l=2或l=3时, 该齐次线性方程组有非零解. 第二章矩阵及其运算 1. 已知线性变换: , 求从变量x1, x2, x3到变量y1, y2, y3的线性变换. 解 由已知: , 故 , . 2. 已知两个线性变换 , , 求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换. 解 由已知 , 所以有. 3. 设, , 求3AB-2A及ATB. 解 , . 4. 计算下列乘积: (1); 解 . (2); 解 =(13+22+31)=(10). (3); 解 . (4) ; 解 . (5); 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22
9、x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 5. 设, , 问: (1)AB=BA吗? 解 ABBA. 因为, , 所以ABBA. (2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗? 解 (A+B)2A2+2AB+B2. 因为, , 但 , 所以(A+B)2A2+2AB+B2. (3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗? 解 (A+B)(A-B)A2-B2. 因为, , , 而 , 故(A+B)(A-B)A2-B2. 6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A2=0, 则A=0; 解 取, 则A2=0, 但A0. (2)若A2=A, 则A=0或A=E; 解 取, 则A2=A, 但A
10、0且AE. (3)若AX=AY, 且A0, 则X=Y . 解 取 , , , 则AX=AY, 且A0, 但XY . 7. 设, 求A2, A3, , Ak. 解 , , , . 8. 设, 求Ak . 解 首先观察 , , , , , . 用数学归纳法证明: 当k=2时, 显然成立. 假设k时成立，则k+1时， , 由数学归纳法原理知: . 9. 设A, B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵. 证明 因为AT=A, 所以 (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 从而BTAB是对称矩阵. 10. 设A, B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是A
11、B=BA. 证明 充分性: 因为AT=A, BT=B, 且AB=BA, 所以 (AB)T=(BA)T=ATBT=AB, 即AB是对称矩阵. 必要性: 因为AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以 AB=(AB)T=BTAT=BA. 11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1); 解 . |A|=1, 故A-1存在. 因为 , 故 . (2); 解 . |A|=10, 故A-1存在. 因为 , 所以 . (3); 解 . |A|=20, 故A-1存在. 因为 , 所以 . (4)(a1a2 an 0) . 解 , 由对角矩阵的性质知 . 12. 解下列矩阵方程: (1); 解 . (2); 解
12、 . (3); 解 . (4). 解 . 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组: (1); 解 方程组可表示为 , 故 , 从而有 . (2). 解 方程组可表示为 , 故 , 故有 . 14. 设Ak=O (k为正整数), 证明(E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1. 证明 因为Ak=O , 所以E-Ak=E. 又因为 E-Ak=(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1), 所以 (E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E, 由定理2推论知(E-A)可逆, 且 (E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1. 证明 一方面, 有E=(E-A)-1(E-A). 另一方面, 由Ak=O, 有 E=
13、(E-A)+(A-A2)+A2- -Ak-1+(Ak-1-Ak) =(E+A+A2+ +A k-1)(E-A), 故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+ +Ak-1)(E-A),两端同时右乘(E-A)-1, 就有 (E-A)-1(E-A)=E+A+A2+ +Ak-1. 15. 设方阵A满足A2-A-2E=O, 证明A及A+2E都可逆, 并求A-1及(A+2E)-1. 证明 由A2-A-2E=O得 A2-A=2E, 即A(A-E)=2E, 或 , 由定理2推论知A可逆, 且. 由A2-A-2E=O得 A2-A-6E=-4E, 即(A+2E)(A-3E)=-4E, 或 由定理2推论知(A+
14、2E)可逆, 且. 证明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 两端同时取行列式得 |A2-A|=2, 即 |A|A-E|=2, 故 |A|0, 所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|20, 故A+2E也可逆.由 A2-A-2E=O A(A-E)=2E A-1A(A-E)=2A-1E, 又由 A2-A-2E=O(A+2E)A-3(A+2E)=-4E (A+2E)(A-3E)=-4 E, 所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1, . 16. 设A为3阶矩阵, , 求|(2A)-1-5A*|. 解 因为, 所以 =|-2A-1|=(-2)
15、3|A-1|=-8|A|-1=-82=-16. 17. 设矩阵A可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A-1)*. 证明 由, 得A*=|A|A-1, 所以当A可逆时, 有 |A*|=|A|n|A-1|=|A|n-10, 从而A*也可逆. 因为A*=|A|A-1, 所以 (A*)-1=|A|-1A. 又, 所以 (A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*. 18. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n-1. 证明 (1)用反证法证明. 假设|A*|0, 则有A*(A*)-1=E, 由此
16、得 A=A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O , 所以A*=O, 这与|A*|0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0. (2)由于, 则AA*=|A|E, 取行列式得到 |A|A*|=|A|n. 若|A|0, 则|A*|=|A|n-1; 若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n-1. 19. 设, AB=A+2B, 求B. 解 由AB=A+2E可得(A-2E)B=A, 故 . 20. 设, 且AB+E=A2+B, 求B. 解 由AB+E=A2+B得 (A-E)B=A2-E, 即 (A-E)B=(A-E)(A+E). 因为, 所以(A-E)
17、可逆, 从而 . 21. 设A=diag(1, -2, 1), A*BA=2BA-8E, 求B. 解 由A*BA=2BA-8E得 (A*-2E)BA=-8E, B=-8(A*-2E)-1A-1 =-8A(A*-2E)-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E-2A)-1 =-8(-2E-2A)-1 =4(E+A)-1 =4diag(2, -1, 2)-1 =2diag(1, -2, 1). 22. 已知矩阵A的伴随阵, 且ABA-1=BA-1+3E, 求B. 解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA-1=BA-1+3E得 AB=B+3A, B=3(A-E)-1A=3A(
18、E-A-1)-1A . 23. 设P-1AP=L, 其中, , 求A11. 解 由P-1AP=L, 得A=PLP-1, 所以A11= A=PL11P-1. |P|=3, , , 而 , 故 . 24. 设AP=PL, 其中, , 求j(A)=A8(5E-6A+A2). 解 j(L)=L8(5E-6L+L2) =diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25) =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). j(A)=Pj(L)P-1 . 25. 设矩阵A、B及A+B都可逆, 证明A-1+B-1也可逆, 并求其
19、逆阵. 证明 因为 A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1, 而A-1(A+B)B-1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A-1(A+B)B-1可逆, 即A-1+B-1可逆. (A-1+B-1)-1=A-1(A+B)B-1-1=B(A+B)-1A. 26. 计算. 解 设, , , , 则 , 而 , , 所以 , 即 . 27. 取, 验证. 解 , 而 , 故 . 28. 设, 求|A8|及A4. 解令, , 则 , 故 , . . 29. 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆, 求 (1); 解 设, 则 . 由此得 , 所以 . (2). 解 设, 则 . 由此得 , 所以 . 30
20、. 求下列矩阵的逆阵: (1); 解 设, , 则 , . 于是 . (2). 解 设, , , 则 . 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1); 解 (下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. ) (下一步: r2(-1), r3(-2). ) (下一步: r3-r2. ) (下一步: r33. ) (下一步: r2+3r3. ) (下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. ) . (2); 解 (下一步: r22+(-3)r1, r3+(-2)r1. ) (下一步: r3+r2, r1+3r2. ) (下一步: r12. ) . (3)
21、; 解 (下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. ) (下一步: r2(-4), r3(-3) , r4(-5). ) (下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . (4). 解 (下一步: r1-2r2, r3-3r2, r4-2r2. ) (下一步: r2+2r1, r3-8r1, r4-7r1. ) (下一步: r1r2, r2(-1), r4-r3. ) (下一步: r2+r3. ) . 2. 设, 求A. 解 是初等矩阵E(1, 2), 其逆矩阵就是其本身. 是初等矩阵E(1, 2(1), 其逆矩阵是 E(1, 2(-1) . . 3. 试利用矩阵
22、的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: (1); 解 故逆矩阵为. (2). 解 故逆矩阵为. 4. (1)设, , 求X使AX=B; 解 因为 , 所以 . (2)设, , 求X使XA=B. 解 考虑ATXT=BT. 因为 , 所以 , 从而 . 5. 设, AX =2X+A, 求X. 解 原方程化为(A-2E)X =A. 因为 , 所以 . 6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解 在秩是r的矩阵中, 可能存在等于0的r-1阶子式, 也可能存在等于0的r阶子式. 例如, , R(A)=3. 是等于0的2阶子式, 是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A中
23、划去一行得到矩阵B, 问A, B的秩的关系怎样? 解 R(A)R(B). 这是因为B的非零子式必是A的非零子式, 故A的秩不会小于B的秩. 8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0). 解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵: ,此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量. 9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式: (1); 解 (下一步: r1r2. ) (下一步: r2-3r1, r3-r1. ) (下一步: r3-r2. ) , 矩阵的, 是一个最高阶非零子式. (2); 解 (下一步: r1
24、-r2, r2-2r1, r3-7r1. ) (下一步: r3-3r2. ) , 矩阵的秩是2, 是一个最高阶非零子式. (3). 解 (下一步: r1-2r4, r2-2r4, r3-3r4. ) (下一步: r2+3r1, r3+2r1. ) (下一步: r216r4, r3-16r2. ) , 矩阵的秩为3, 是一个最高阶非零子式. 10. 设A、B都是mn矩阵, 证明AB的充分必要条件是R(A)=R(B). 证明 根据定理3, 必要性是成立的. 充分性. 设R(A)=R(B), 则A与B的标准形是相同的. 设A与B的标准形为D, 则有AD, DB.由等价关系的传递性, 有AB. 11.
25、 设, 问k为何值, 可使 (1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3. 解 . (1)当k=1时, R(A)=1; (2)当k=-2且k1时, R(A)=2; (3)当k1且k-2时, R(A)=3. 12. 求解下列齐次线性方程组: (1); 解对系数矩阵A进行初等行变换, 有 A=, 于是 , 故方程组的解为 (k为任意常数). (2); 解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有 A=, 于是 , 故方程组的解为 (k1, k2为任意常数). (3); 解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有 A=, 于是 , 故方程组的解为 . (4). 解 对系数矩阵A进行初等行变换,
26、有 A=, 于是 , 故方程组的解为 (k1, k2为任意常数). 13. 求解下列非齐次线性方程组: (1); 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有 B=, 于是R(A)=2, 而R(B)=3, 故方程组无解. (2); 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有 B=, 于是 , 即 (k为任意常数). (3); 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有 B=, 于是 , 即 (k1, k2为任意常数). (4). 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有 B=, 于是 , 即 (k1, k2为任意常数). 14. 写出一个以为通解的齐次线性方程组. 解 根据已知, 可得 , 与此等价地可以写成 , 或
27、 , 或 , 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组. 15. l取何值时, 非齐次线性方程组. (1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解? 解 . (1)要使方程组有唯一解, 必须R(A)=3. 因此当l1且l-2时方程组有唯一解. (2)要使方程组无解, 必须R(A)R(B), 故 (1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)20. 因此l=-2时, 方程组无解. (3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R(A)=R(B)3, 故 (1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)2=0. 因此当l=1时, 方程组有无穷多个解. 16. 非齐次线性方程组当l取何值时有解？并求出它
28、的解. 解. 要使方程组有解, 必须(1-l)(l+2)=0, 即l=1, l=-2. 当l=1时, , 方程组解为 或, 即 (k为任意常数). 当l=-2时, , 方程组解为 或, 即 (k为任意常数). 17. 设. 问l为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解. 解 B= . 要使方程组有唯一解, 必须R(A)=R(B)=3, 即必须 (1-l)(10-l)0,所以当l1且l10时, 方程组有唯一解. 要使方程组无解, 必须R(A)R(B), 即必须 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)0, 所以当l=10时, 方程组无解. 要使方程组有无穷多
29、解, 必须R(A)=R(B)3, 即必须 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)=0, 所以当l=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为 B,方程组的解为 ,或 (k1, k2为任意常数). 18. 证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT, 使A=abT. 证明 必要性. 由R(A)=1知A的标准形为 , 即存在可逆矩阵P和Q, 使 , 或. 令, bT=(1, 0, , 0)Q-1, 则a是非零列向量, bT是非零行向量, 且A=abT. 充分性. 因为a与bT是都是非零向量, 所以A是非零矩阵, 从而R(A)1. 因为 1R(A)=R(abT)min
30、R(a), R(bT)=min1, 1=1, 所以R(A)=1. 19. 设A为mn矩阵, 证明 (1)方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=m; 证明 由定理7, 方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=R(A, Em),而| Em|是矩阵(A, Em)的最高阶非零子式, 故R(A)=R(A, Em)=m. 因此, 方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=m. (2)方程YA=En有解的充分必要条件是R(A)=n. 证明 注意, 方程YA=En有解的充分必要条件是ATYT=En有解. 由(1) ATYT=En有解的充分必要条件是R(AT)=n. 因此，方程YA=En有解的充分必
31、要条件是R(A)=R(AT)=n. 20. 设A为mn矩阵, 证明: 若AX=AY, 且R(A)=n, 则X=Y. 证明 由AX=AY, 得A(X-Y)=O. 因为R(A)=n, 由定理9, 方程A(X-Y)=O只有零解, 即X-Y=O, 也就是X=Y.第四章向量组的线性相关性 1. 设v1=(1, 1, 0)T, v2=(0, 1, 1)T, v3=(3, 4, 0)T, 求v1-v2及3v1+2v2-v3. 解 v1-v2=(1, 1, 0)T-(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T. 3v1+2v2-v3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(31+20-3, 31+21-4, 30+21-0)T =(0, 1, 2)T. 2. 设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a), 求a, 其中a1=(2, 5, 1, 3)T, a2=(10, 1, 5, 10)T, a3=(4, 1, -1, 1)T. 解 由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得 =(1, 2, 3, 4)T. 3. 已知向量组 A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3,