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1、11 指 数 函 数教材分析指数函数是基本初等函数之一，在数学中占有重要地位，在实际中有着十分广泛的应用，如细胞分裂、考古中所用的14C的衰减、放射性物质的剩留量等都与指数函数有关有理指数幂及其运算是学习指数函数的基础教材首先通过实例引入什么是指数函数然后给出三个具体例子y2x，y10x，y（）x，用描点法画其图像，并借助图像，观察得出指数函数的定义域、值域、图像过定点（1，0）及单调性最后配备恰当的习题及练习在知识的形成过程中，体现图像观察、归纳猜想的思想这节内容的重点是指数函数的图像与性质，难点是应用指数函数的性质解决相关问题教学目标1. 了解指数函数模型的实际背景2. 理解并掌握指数函数
2、的定义、图像及性质3. 通过对指数函数的概念、性质的归纳、抽象和概括，体验数学知识的产生和形成的过程，培养学生的抽象概括能力4. 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的数学模型，培养学生的应用意识任务分析学生在学习本节内容时，已学过了一些基本函数，如二次函数，并且学过有理指数幂及其运算，这均为学生学习这节内容奠定了基础由应用问题建立指数函数模型是个难点，为此一定要使学生理解问题的意义，进而由少到多、由浅入深逐步建立起两个变量间的关系要重视列表、画图像的过程，这样才有利于观察、归纳出指数函数的性质要充分显示出知识的形成过程教学设计一、问题情境某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分
3、裂成4个，4个分裂成8个如果1个这样的细胞分裂x次后，得到细胞的个数为，试求y关于x的函数关系式先由学生独立解答，然后教师明晰细胞分裂的规律是：每次每个细胞分裂为2个当x0时，y120；当x1时，y20221；当x2时，y21222；当x3时，y22223；归纳：分裂x次，得到细胞的个数y2x，其中xN二、建立模型1. 学生讨论上面得到的函数y2x有何特点？（底数为常数，自变量在指数的位置上）2. 教师明晰一般地，函数yax，（a0且a1，xR）叫作指数函数思考：为什么要限制a0且a1？（理由：当a0，x0时，ax无意义；当a0时，如y（2）无意义；当a1时，y1x1是常数函数没有研究的必要）
4、3. 练习在同一坐标系内，画出下面三个指数函数的图像（1）y2x（2）y10x（3）y（）x解：列表：描点，画图：4. 观察上面的函数的图像，结合列表，归纳总结出指数函数yax的性质（1）定义域是（，），值域是（0，）（2）函数图像在x轴的上方且都过定点（0，1）（3）当a1时，函数在定义域上是增函数，且当x0时，y1；当x0时，0y1当0a1时，函数在定义域上是减函数，且当x0时，0y1；当x0时，y15. 提出问题，组织学生讨论（1）函数y2x与yx2的图像有何关系？试对你的结论加以证明（2）试举一个在生活、生产、科技等实际中与指数函数有关的例子三、解释应用例题1. 利用指数函数的性质，比
5、较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5与1.73（2）0.8-0.1与0.8-0.2解：（1）考查指数函数y1.7x1.71，y1.7x在（，）是增函数又2.53，1.72.51.73（2）类似（1），得0.8-0.10.8-0.2思考：怎样比较1.70.3与0.93.1的大小？2. 某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%画出这种物质的剩留量随时间变化的图像，并根据图像求出经过多少年，剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则经过1年，剩留量y184%0.841；经过2年，剩留量y0.840.840.
6、842；经过x年，剩留量y0.84x列表：表11-3x012345y10.840.710.590.500.42画出指数函数y0.84x的图像：由图上看出y0.5时，x4答：约经过4年，剩留量是原来的一半说明：为便于观察，两轴上的单位长度可不相等3. 说明下列函数的图像与指数函数y2x的图像的关系，并画出它们的草图（1）y2x1（2）y2x2解：（1）比较函数y2x1与y2x的关系，知y2-1+1与yx0相等函数y2x1中的x1时的y值，与函数y2x中的x0时的y值相等又y20+1与yx1相等；y23+1与yx4相等；将指数函数y2x的图像向左平行移动1个单位长度，即可得到函数y2x1的图像（2
7、）将指数函数y2x的图像向右平行移动2个单位长度，即可得到函数y2x-2的图像练习1. 比较大小：（1）1.01-2与1.01-3.5（2）0.75-0.1与0.750.12. 画出下列函数的图像（1）y3x（2）y（）x3. 求下列函数的定义域（）y（2）y4. 已知函数f（x）ax在0，1上的最大值与最小值之和为3，求a的值5. 用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，试写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式如果要使存留的污垢不超过原有的1%，那么至少要漂洗几次？四、拓展延伸1. 在例题2中，函数y0.84x与函数y0.5的图像的交点横坐标是方程0.84x0.5的解吗？思考：你能判断出方程2x
8、x220有几个实数根吗？2. 以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：表11-4身高cm60708090100110体重kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高cm120130140150160170体重kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根据表中提供的数据，能否从我们已经学过的函数yaxb，yax2bxc，y，yabx中选择一种函数使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？若能，求出这个函数解析式（2）如果体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175cm
9、，体重为78kg，问：他的体重是否正常？解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如下根据图，可考虑用函数yabx，反映上述数据之间的对应关系把x70，y7.90和x160，y47.25两组数据代入yabx，得利用计算器计算，得a2，b1.02所以，该地区未成年男性体重关于身高的近似函数式可选为y21.02x将已知数据代入所得的函数解析式或作出所得函数的图像，可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系（2）把x175代入y21.02x，得y21.02175利用计算器计算，得y63.98由于7863.981.221.2，因此，这名男生体型偏胖点评这节课的中心问题有三个，即指数函数的定义、图像与性质，围绕这三个问题，这篇案例进行了精心设计：首先通过实例引入了指数函数的概念，再通过画具体的指数函数的图像归纳出一般指数函数的性质这样安排有利于学生理解指数函数的概念，掌握指数函数的性质选配的例题难易适中，具有典型性和代表性练习由易到难，既可以巩固基础知识，又可以提高学生的解题技能“拓展延伸”对本节中心内容进行了拓展，有用图像法求方程的解，判断方程根的个数；有函数图像的平移；还有应用题这些都是数学中经常遇到的问题，它们的解决将有利于学生今后的学习