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1、LOGO微分几何Differential GeometryChapter 3 参数曲面参数曲面保长对应和保角对应保长对应和保角对应曲面到曲面的连续可微映射曲面到曲面的连续可微映射设有两个曲面.因为曲面上的点 与它的参数(曲纹坐标)是一一对应的，所以从曲面到曲面 的映射可以通过它们的参数表示出来.即有映射使得，或.12SS，p1S2S12:SS12:DD121rr121rr31ES32SE1r2r1D2D曲面到曲面的连续可微映射曲面到曲面的连续可微映射将映射通过它们的参数用两个函数表示出来，则有如果这两个函数都是连续可微的，则称映射是连续可微的.可可微性与这两个曲面的参数取法无关微性与这两个曲面
2、的参数取法无关.12:SS211211(,),(,).uf u vvg u v设两个曲面的参数方程分别为和映射是连续可微的，它的参数表示为其中12,S S111(,),(,)rr u vu vD222(,)(,)rr u vu vD，12:SS121rr12:(,)(,)(,)(,),(,)DDu vu vu vu u v v u v切映射切映射对每一点，可以通过下面的方法定义一个线性映射上面定义的映射称为由连续可微映射 诱导的切映射切映射.1pS 1()211:ppuvT STSXa rb rX31ES32SE1r2r1D2D1pT S()pT切映射也可以用另一种方法来定义：将上的曲线映为
3、上的曲线定义为在处的切向量，即1SC2S:()(),()()(),()C u tu u t v tv tv u t v t，XC0t 02022222()|(),()|(),(),(),()(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)ddttdtdtuuvvuvuvuvuuvvuvuvuvXr u t v tr u u t v tv u t v truvruvruvruv 定理定理5.1 设映射是3次以上连续可微的.如果在点切映射是线性同构，则分别有 点的邻域和点的邻域，以及上的参数系和，使得映射的参数表示为其中.这种参数系称为映射的适用适用参数系参数系.证明证明 设的参数方程分别为和，的
4、参数表示为12:SSp1()2:ppT STSp11US()p22US12()UU12,U U11(,)u v22(,)u v1|U12112211id:(,)(,)(,)u vu vu v 11111222(),()rUrU 12,S S11(,)rr u v22(,)rr u v12:(,)(,)(,)(,),(,)DDu vu vu vu u v v u v由条件，.设点的曲纹坐标为，点的曲纹坐标为.由于是连续的，存在在中的邻域，使得在上，且在上有连续可微的反函数，其中是在中的邻域.在上对曲面作参数变换.在上对曲面作参数变换.(,)0(,)pu vu vp00(,)u v()p00(,)
5、u v(,)(,)u vu v00(,)u v1D11D 1(,)0(,)u vu v11|121:(,)(,)(,),(,)u vu vu u v v u v 212()D 00(,)u v211111()UrS11,uu vv22222()UrS22(,),(,)uu u v vv u v则在新的参数下，的参数表示为112112211:(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)u vu vu u v v u vu vu vu v 映射映射设是连续可微映射，和分别是的曲纹坐标.的参数表示为.因为对于曲面上的任意一个二次微分式(5.11)我们可定义曲面上的一个二次微分式(5.12)*12:S
6、S(,)u v(,)u v12,S S(,),(,)uu u vvv u v(,)(,):(,)uvuuuvvvdu dvdu dvdu dv J2S22(,)2(,)(,)(,)duABA u v duB u v dudvC u v dvdu dvdvBC1S22T(,)2(,)(,)(,)duABA u v duB u v dudvC u v dvdu dv JJdvBC 其中其中作为复合函数，是的函数，即uvuuuvvvJTuvuuuuuvuvvvvvuvABABABJJBCBCBC(5.15),A B C,u v22(,)(,),(,)(,)2(,),(,)(,)(,)(,),(,)(
7、,),uuvuuuvuA u vA u u v v u vu vB u u v v u vu vu vC u u v v u vu v(,)(,),(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,),uuuvuvvuuvvvuvuvB u vA u u v v u vu vu vB u u v v u vu vu vu vu vC u u v v u vu vu v22(,)(,),(,)(,)2(,),(,)(,)(,)(,),(,)(,).uuvvvvvvC u vA u u v v u vu vB u u v v u vu vu vC u u v v u
8、vu v二次微分式称为 上的二次微分式 经过映射 拉回(pull back)到 上的二次微分式.简单来说，就是将代入(5.11)右端而得.2S1S(,)(,)(,)uvuuuvvvdu dvdu dv Jdu dv例例 曲面 上的第一基本形式是一个二次微分式.拉回到 上，由于，上式可以简单地写成2S222I2EduFdudvGdv1S222T(I)2(,)(,).EduFdudvGu v dvduEFdu dv JJdvFG 222222Iuvdrrdurdv222(I)d r保长对应保长对应(等距对应等距对应)设映射是3次以上连续可微的.如果对每一点，切映射都保持切向量的长度，即称 是从 到
9、 的保长对应保长对应，或称等距对应等距对应(isometric correspondence).12:SS1pS1pXT SXX，1S2S 注注1.保持向量长度的线性映射一定保持内积，因此若是等距对应，则有反之，保持内积的线性映射也一定保持向量的长度.而且，保长对应也保持连续可微曲线的弧长，即有.注注2.保持内积的线性映射必定是线性同构.因此对于保长对应，在每一点，切映射都是线性同构，从而局部地是微分同胚，存在适用参数系.12:SS 11,ppXYX YX YT SX YT S ，()()L CLC1pS1()2:ppT STS保长对应保长对应(等距对应等距对应)设映射是3次以上连续可微的.则
10、 是等距对应的充分必要条件是即在对应点，成立12:SS 211111IIdrdrdrdrTuvuuuuuvuvvvvvuvEFEFEFJJFGFGFG保长对应保长对应(等距对应等距对应)定理定理5.3 曲面和之间存在保长对应的充分必要条件是，可以在 和 上选取适当的相同参数系，使得在这个参数系下 和 有相同的第一基本量.即1S2S1S1S2S2S(,)u v121212(,)(,),(,)(,),(,)(,)E u vE u v F u vF u v G u vG u v 例例5.1 证明：螺旋面:，与单叶旋转双曲面，之间可以建立等距对应.证明证明 计算得到和的第一基本形式分别为对作参数变换，
11、则对作参数变换.则等距对应的参数表示为21(cos,sin,)(,)ruv uv uvu v，1S2:S22(cos,sin,1)r(,)(1,)(0,2)1S2S222222212221I22(1)I1dududvudvdd，1S,arctanuu vuv22222221222112I2(1)(1)111duuduudvduudvuuu2S21,uv22222212221I(1)I1uuduudvuu12:SS21,arctanuuv保角对应保角对应(共形对应共形对应)设映射是三次以上连续可微的一一对应.如果，其中，则称 是从 到 的保角对应保角对应，或称共形对应共形对应(conformal
12、 correspondence).12:SS,XYX Y 1,pX YT S 1pS0,0XY1S2S对于保角对应，在每一点，切映射都是线性同构，否则无意义.因此可以选取适用参数系使得映射就是具有相同参数的点之间的对应.1pS1()2:ppT STS,XY(,)u v保角对应保角对应(共形对应共形对应)引理引理 设是两个欧氏空间(即带有内积的实向量空间)，是线性同构.如果 保持向量之间的夹角：，则，使得(1)反之，若，使得上式成立，则 保持向量之间的夹角.,V W,:VWAA(,)(,),uvu vu vVAA 2,u vVuvu vAA A证明证明 取 的单位正交基.因为 是同构，是的基，且
13、两两正交.令则是 的单位正交基，且(2)对于，由条件，有，所以这说明.于是对，有，从而(1)成立.V1,neeA1,neeAAW1|01,2,|iiiiiaeeeine，AAA1,neeW1,2,ii ieaein，Aij(,)(,)ijii ijji iee eaea e ae22,1|2ijii ijji iiijii ijji iijee eaea e aeaeeeaea eaeaa1:0naa1ni iiuueV 11nniii iiiuueueAA反之，设(1)成立.则(3)从而对任意两个非零向量，有222,uuu uvvv vuvu vu vV，AAAAAA,u vV,cos(,)
14、cos(,)|uvu vuvu vuvu vAAAAAA保角对应保角对应(共形对应共形对应)推论推论 设映射是三次以上连续可微的一一对应.则 是保角对应的充分必要条件是存在 上的正的连续函数，使得在任一点，其中是 点的曲纹坐标.12:SS1S1:()SRpp1pS1,pX YT S 2(,)XYu vX Y(,)u vp当函数时，其实就是保长对应.像前面一样，上述条件等价于即有所以在适用参数系下，保角对应的条件就简化为1 22211111IIdrdrdrdr2TuvuuuuuvuvvvvvuvEFEFEFJJFGFGFG222,EEFFGG保角对应保角对应(共形对应共形对应)定理定理5.4 设
15、映射是三次以上连续可微的一一对应.则 是保角对应的充分必要条件是存在 上的正的连续函数，使得其中，分别是，的第一基本形式.特别地两个曲面能够取适当的参数系，则有12:SS1S1:SR221II1I2I1S2S(,)u v222,EEFFGG定理定理5.5 任意正则参数曲面 必局部共形于平面，即 上任意一点 都有一个邻域 可以与平面上的一个区域建立共形对应.由此可知任意两个正则参数曲面都可以建立局部共形对应.推论推论 任意正则曲面 上均存在局部的等温坐标等温坐标系系，即局部地可选取参数使得，其中是局部定义的函数.课外作业：习题课外作业：习题1，2,3,4,5SSpUS(,)u v222I()dudv(,)u vLOGO