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1、第二节第二节 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 一 系统的微分方程、传递函数、动态结构 图 二 典型输入信号、典型环节 三 自控系统的方框图及闭环传递函数的求 取 四 自动调节器的基本动作规律小结 控制系统控制系统数学模型数学模型数学模型数学模型是对实际物理系统的一种数学是对实际物理系统的一种数学 抽象抽象广义理解：揭示控制系统各变量内在联系及关系广义理解：揭示控制系统各变量内在联系及关系 的解析式或图形表示的解析式或图形表示 系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型图图 模模 型型：方块图方块图(动态结构图动态结构图)信号流程信号流程 图图数学模型数学模型：微分方
2、程微分方程 传递函数传递函数 频率特性频率特性文字模型文字模型：算法语言等算法语言等 模型各有特点，使用时可灵活掌握。若分析研模型各有特点，使用时可灵活掌握。若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有 则取其图模型比较合理观；若两者皆有 则取其图模型比较合理 “三域三域三域三域”模型及其相互关系模型及其相互关系模型及其相互关系模型及其相互关系微分方程（时域）系统系统传递函数（复域）频率特性（频域）LFts1F1Lsjsj例例例 例 建立建立
3、RCRC电路运动方程。电路运动方程。r(tr(t)输入量输入量 c(tc(t)输出量输出量时域：时域：时域：时域：RC=T RC=T 微分方程微分方程微分方程微分方程复复复 复 域：域：域：域：传递函数传递函数传递函数传递函数频频频频RC()i t()r t()c tdc(t)T()(t)dtc tr11R(s)C(s)G(s)Ts1jT11RCj1c)G(j r微分方程微分方程微分方程微分方程、传递函数传递函数传递函数传递函数和和频率特性频率特性频率特性频率特性分别是系统在分别是系统在时间域时间域、复数域复数域和和频率域频率域中的数学模型。中的数学模型。人们在研究分析一个控制系统的特性时，可
4、人们在研究分析一个控制系统的特性时，可 以根据对象的特点和工程的需要，人为地建立不以根据对象的特点和工程的需要，人为地建立不 同域中的同域中的数学模型数学模型进行讨论。习惯上把用微分方进行讨论。习惯上把用微分方 程的求解、分析系统的方法称为程的求解、分析系统的方法称为数学分析法数学分析法，把，把 用传递函数、频率特性求解、分析系统的方法称用传递函数、频率特性求解、分析系统的方法称 为为工程分析法工程分析法。一般来说，一般来说，工程分析法工程分析法比比数学分析法数学分析法直观、直观、方便，这也是我们引入复域、频域数学模型的主方便，这也是我们引入复域、频域数学模型的主 要原因。要原因。实验法，是对
5、系统或元件输入一定形式的 信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经 过数据处理而辨识出系统的数学模型。建立系统数学模型的方法，一般采用建立系统数学模型的方法，一般采用解析法 解析法 和和实验法实验法所谓解析法，即依据系统及元部件各变量之间 所遵循的物理、化学定律列写出变量间的 数学表达式，并经实验验证，从而建立系 统的数学模型。线性定常系统的数学模型线性定常系统的数学模型微分方程微分方程传递函数传递函数频率特性频率特性脉冲传递函数脉冲传递函数状态方程状态方程微分方程传递函数频率特性微分方程传递函数频率特性课题：课题：一一 系统的系统的 微分方程、传递函数、动态
6、结构图微分方程、传递函数、动态结构图目的、要求：1、掌握运用微分方程建立数学模型的步骤和方法；2、掌握传递函数的定义、一般表达式和主要性质；3、熟悉动态结构图（方框图）的基本组成。重点、难点：运用微分方程建立数学模型、传递函数（一）系统微分方程（一）系统微分方程 自动控制系统中自动控制系统中最基本最基本的数学模型的数学模型建立微分方程式的一般步骤是：确定系统的输入量和输出量。根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写 它们的微分方程。将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变 量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分 方程，它就是系统的微分方程。将该方程整理成标准形式。（左c=右r）微分方
7、程建立举例微分方程建立举例(1)(1)【例1】RC电路（1）确定输入、输出量输入量为电压，输出量为电压。（2）根据基尔霍夫定律，列出原始 微分方程（3）消除中间变量（4）整理为标准形式rccudtduRCucudtduCicrurcuRiuRCTuudtduTrccRC电路系统是一个一阶常系数线性微分方程CRur(t)uc(t)i(t)微分方程建立举例微分方程建立举例(2)(2)【例2】机械位移系统（1）确定输入、输出量设外作用力 为输入量，质量 物体的位移 为输出量。（2）建列立微分方程组根据牛顿第二定律可得:)(tF)(tymatFtFtFKB)()()(dttdyftFB)()()()(
8、tkytFK22)(dttdya 微分方程建立举例微分方程建立举例(2)(2)续续（3）消除中间变量（4）将式子整理成标准化22)()()()(dttdymtkydttdyftF)()()()(22tFtkydttdyfdttdym机械位移系统是一个二阶常系数线性微分方 程微分方程建立举例微分方程建立举例(3)(3)【例3】列写RLC电路中输入电压与输出电压关系的微分方程【例3】列写RLC电路中输入电压与输出电压关系的微分方程（1）确定输入、输出量输入量为电压Ui，输出量 为电压 Uo。（2）列写原始微分方程组dtdUCioidtCdtdiLRiUUUUCLRi1)()()()(22tUtUd
9、ttdURCdttUdLCiOOO微分方程建立举例微分方程建立举例(4)(4)例4 求单容水箱液位H与输入流量Qi的系统动态方程。例4 求单容水箱液位H与输入流量Qi的系统动态方程。单容水箱（1）确定输入、输出量输入量为流入量Qi，输出量液面高度H。（2）根据物质守恒定律，列出微分方程（1）确定输入、输出量输入量为流入量Qi，输出量液面高度H。（2）根据物质守恒定律，列出微分方程dtQQAdHOi)(HQOHH/RQ0（3）消除中间变量并将式子标准化处理得（3）消除中间变量并将式子标准化处理得iQHdtdHA1解：其数学模型是一个一阶常系数线性微分方程。其数学模型是一个一阶常系数线性微分方程。
10、微分方程建立举例微分方程建立举例(5)(5)求容器2的液面高度H2对容器1输入流量Q1的动态方程。求容器2的液面高度H2对容器1输入流量Q1的动态方程。容器2（1）确定输入、输出量输入量为流入量Q1，输出 量液面高度H2。（2）根据物质守恒定律及流 量近似公式，列出微分方程（1）确定输入、输出量输入量为流入量Q1，输出 量液面高度H2。（2）根据物质守恒定律及流 量近似公式，列出微分方程)(12111QQFdtdH)(13222QQFdtdH)(2112HHKQ223HKQ 2122222112222121KQHdtdHKFKKFdtHdKKFF（3）消除中间变量并将式子 标准化处理得二阶常系
11、数线性微分方程（3）消除中间变量并将式子 标准化处理得二阶常系数线性微分方程 拉氏变换拉氏变换L拉普拉斯变换L简称为拉氏变换，它是一种 函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制 系统的一个重要数学工具,它可以把时域中 的微分方程变换成复域中的代数方程，从而 使微分方程的求解大为简化。同时还引出了 传递函数、频率特性等概念。微分方程微分方程初始条件初始条件方程的解方程的解代数方程代数方程方程的解方程的解拉氏变换拉氏反变换拉氏变换拉氏反变换t域域s域域用用L拉氏变换解微分方程示意图拉氏变换解微分方程示意图一、拉氏变换的定义和存在定理1.定义一、拉氏变换的定义和存在定理1.定义设函数f(t)在t0时有
12、定义，如果线性积分0()edstf tt()js 为复变量为复变量存在，则由此积分所确定的函数可写为-0()e dstf tF st ()()F sf t L LF(s)称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换，记作1()()f tF s L L称其为函数 f(t)的拉普拉斯变换，并记作2.拉普拉斯变换的存在定理2.拉普拉斯变换的存在定理若函数f(t)满足下列条件：在t0的任一区间上分段连续。在t充分大后满足不等式|f(t)|Mect，其 中M、c都是实常数。则f(t)的拉氏变换在平面上Re(s)c一定存在，此时右端的积 分绝对而且一定收敛，并
13、且在这半平面内 F(s)为解析函数。-0()()e dstF sf tt 二、几种典型函数的拉氏变换二、几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃信号（函数）1(1.单位阶跃信号（函数）1(t t)数学表达式为其拉氏变换为tOf(t)1000()()()ed1111 ede01stststF sf tf tttsss L L10()1()00tf ttt 2.单位斜坡信号（函数）t2.单位斜坡信号（函数）ttOf(t)斜率斜率=1数学表达式为0()1()00ttf tttt 其拉氏变换为00002()()()eded111eed001ststststF sf tf tttttttssss L L3.单
14、位脉冲信号（函数）3.单位脉冲信号（函数）函数函数函数的表达式为0()()d100ttttt 且 且tO(t)0()()()ed1stF sttt L L其拉氏变换为4.正弦信号（函数）sin4.正弦信号（函数）sintt正弦函数定义为sin0sin00tttt 0jj022()sinsined1eeed2j1112jjjstttstF sttttsss L L其拉氏变换为5.等加速信号（函数）5.等加速信号（函数）tOf(t)数学表达式为其拉氏变换为210()200ttf tt 200200231()()()eded21 1eed211100ststststF sf tf tttttttss
15、ss L L6.指数函数e6.指数函数e-at-ate0()()00attaf tt 为实数为实数0()0()eeed1edatatsts a tF sttsa L L数学表达式为其拉氏变换为三、拉氏变换的基本法则1.三、拉氏变换的基本法则1.线性法则线性法则设F1=L f1(t)，F2=L f2(t)，a和 b为常数，则有121212()()()()()()af tbftaf tbftaF sbF s LLLLLL2.2.微分法则微分法则设F=L f(t)，则有d()(0)d)f tfsF st L L222(0)(0)d()()df ts F ssfft L L式中：f(0),f(0),f
16、(n-1)(0)为f(t)及其各阶导数在 t=0处的初值()(11)()(0)()0nnnnfts F sfsf L L3.3.积分法则积分法则设F(s)=Lf(t)，f(0)=0，则有1()d()f ttF ss L L4.4.终值定理终值定理若F(s)=L f(t)，且当t时，f(t)存 在一个确定的值，则其终值0lim()lim()tsf tsF s 该式为求系统的稳态误差（即t）提供了方便。0()lim()lim()tsee tsE s 5.5.位移定理位移定理设F(s)=Lf(t)，则有00()e()sf tF s L L及e()()atf tF sa L L分别称为时域中的位移（=
17、延迟）定理和复域中的位移定理。j1j1()()()e d2jstF sf tF st L L一般由F(s)求f(t)，常用部分分式法。首先将F(s)分解成一些简单的有理分式 函数之和，然后由拉氏变换表一一查出 对应的反变换函数，即得所求的原函数 f(t)。四、拉氏反变换四、拉氏反变换拉氏反变换的定义如下F(s)通常是s的有理分式函数，即分母多项 式的阶次高于分子多项式的阶次，F(s)的一 般式为11101110()LLmmmmnnnnb sbsb sbF sa sasa sa 式中a1、a2、an 及b1、b2、bm 为实 数，m、n为正数，且mn。如果F(s)可分解成下列分量12()()()
18、()LnF sF sFsF s 并且F1(s)、F2(s)、Fn(s)的拉氏反变 换可以很容易地求出，则 11111212()()()()()()()nnF sF sFsF sf tftft LLLLLLLLLL例1 求22()43sF sss 解：222()43(1)(3)1/21/213ssF sssssss 进行反变换得311()ee22ttf t 五、用拉氏变换求解微分方程五、用拉氏变换求解微分方程用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分 方程的步骤如下：对微分方程两端进行拉氏变换，将微分 方程变为以象函数为变量的代数方程，方 程中初始条件是t=0-时的值。解代数方程，求出象函数的表达式。
19、用部分分式法进行反变换，求得微分 方程的解。例 用拉氏变换求解微分方程。.0()2()()0,(0)0,(0)x tx tx txxx 解：对微分方程两端进行拉氏变换.2()(0)(0)2()2(0)()0s X ssxxsX sxX s代入初始条件，求出象函数X(s)的表达式022()21sX sxss()(11)()(0)()0nnnnfts F sfsf L L注.注.微分法则：微分法则：将X(s)展成部分分式，利用拉氏变换对照 表，求出x(t)。0020()(1)1()(1)(0)txxX sssx tx tet（二）传递函数（二）传递函数 自动控制系统中自动控制系统中最常用的最常用的
20、数学模型数学模型定义：定义：传递函数是在用拉氏变换求解微分方程的过 程中引伸出来的概念。传递函数的定义为：在初始条 件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换 式之比。即)()()(sRsC输入量的拉氏变换式输出量的拉氏变换式输入量的拉氏变换式输出量的拉氏变换式s传递函数传递函数初始条件为零，一般是指输入量在t=0时刻 以后才作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶 导数在t时的值也均为零。（初值为零）传递函数的概念及定义传递函数的概念及定义CRur(t)uc(t)i(t)ccrd()()()du tTu tu tt无源无源RCRC网络的微分方程为设初始值网络的微分方程为设初始值u uc
21、c(0)=0，对上式取拉氏变换,得(0)=0，对上式取拉氏变换,得ccrcr()()()(1)()()TsUsUsUsTsUsUs cr1()()1UsUsTscr()()()UsG s Us 令令1()1G sTs 则则cr()()()UsG sUs 传递函数：传递函数：线性定常系 统在零初始条件下，输出信 号的拉氏变换与输入信号的 拉氏变换之比称为系统(或元 部件)的传递函数。线性定常系 统在零初始条件下，输出信 号的拉氏变换与输入信号的 拉氏变换之比称为系统(或元 部件)的传递函数。G(s)Ur(s)Uc(s)传递函数的一般表达式：传递函数的一般表达式：传递函数的一般表达式：传递函数的一
22、般表达式：如果系统的输入 量为，输出量为，并由下列微分 方程描述（a a0,0,a a1,1,anan及及b b0,0,b b1,1,bmbm均为系统 结构参数决定的常数）均为系统 结构参数决定的常数）)(tr)(tc)()(.)()(01111tcatcdtdatcdtdatcdtdannnnnn11101()().()()mmmmmmdddbr tbdr tbr tb r tdtdtdt在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换并整理得11101110.()()()().()mmmmnnnnb sbsbsbC sM sG sR sa sasa saN s)(sM)(sN、传递函数的分子、分母
23、多项式传递函数的性质：传递函数的性质：传递函数的性质：传递函数的性质：传递函数是由微分方程变换得来的，它和微分方程 之间存在着一一对应的关系。对于一个确定的系统，则它的微分方程是唯一的，所以，其传递函数也是唯 一的。传递函数是复变量s的有理分式，s是复数，而分式 中的各项系数都是实数，它们是由组成系统的元件的 参数构成的。所以传递函数只与系统本身内部结构、参数有关，而与输入量、扰动量等外部因素无关。因 此它代表了系统的固有特性，是一种用象函数来描述 系统的数学模型，称为系统的复数域模型（以时间为 自变量的微分方程，则称为时间域模型）。传递函数是一种运算函数。由可得。传递函数的分母多项式等于零
24、，即为 微分方程的特征方程，而特征方程的根反映了系统动态 过程的性质，所以由传递函数可以研究系统的动态特性。特征方程的阶次n即为系统的阶次。通常nm。传递函数是一种数学模型，因此对不同的物理模型，它们可以有相同的传递函数。反之，对同一个物理模型(系统和元件)，若选取不同的输入量和输出量，则传递 函数将是不同的。)(/)()(sRsCsG)()()(sRsGsC0)(sN 传递函数的描述有一定的局限性：1)只能研究单入、单出系统，对于多入、多出 系统要用传递矩阵表示；2)只能表示输入、输出的关系，对系统内部其 他各变量无法得知(经典控制理论的不足)；3)只能研究零初始状态的系统特性，对非零初 始
25、状态的系统运动特性不能反映。传递函数的描述有一定的局限性：1)只能研究单入、单出系统，对于多入、多出 系统要用传递矩阵表示；2)只能表示输入、输出的关系，对系统内部其 他各变量无法得知(经典控制理论的不足)；3)只能研究零初始状态的系统特性，对非零初 始状态的系统运动特性不能反映。课题课题 二二 典型环节典型环节任何一个复杂的系统，总可以看成一些典型 环节组合而成。掌握这些典型环节的特点，可以 更方便地分析复杂系统内部各单元间的联系。目的、要求：1.掌握常用典型环节的微分方程、传递函数和方框 图、动态响应。2.熟悉这种典型环节的应用实例。难点：振荡环节（一）比例环节（一）比例环节（P P）1.
26、微分方程)()(tKrtc2.传递函数与方框图KsG)(方框图如图a所示。3.动态响应当)(1)(ttr时)(1)(tKtc图a图b比例环节的阶跃响应如图b所示。(K K为常数，称比例系数或增益)为常数，称比例系数或增益)比例环节能立即成比例 地响应输入量的变化4.比例环节应用实例比例环节应用实例运算放大器：运算放大器：2f11URKUR电位器：电位器：mmU sEKs （二）惯性环节（二）惯性环节1.微分方程)()()(trtcdttdcTT惯性时间常数2.传递函数与方框图11)(TssG图a方框图如图a所示3.动态响应当输入为阶跃信号时通过拉 氏变换与逆变换求得输出响 应为图bTtetc/
27、1)(图b当输入量发生突变时，输出 量不能突变，只能按指数规 律逐渐变化4.惯性环节应用实例惯性环节应用实例a）电阻、电容电路 b)惯性调节器 c)11)()(12TssUsU1)()(TsKsUsUio11)()(TsKBsKsXsXio运算放大器运算放大器ffff211f1ff11()()11RRC sC sUsUsRRRKR C sTs（三）积分环节（三）积分环节（I I）1.微分方程tdttrTtc0)(1)(T积分时间常数2.传递函数与方框图TssG1)(方框图如图a所示3.动态响应当输入为阶跃信号时通过拉氏 变换与传递函数求得输出响应 为图b图a图btTtc1)(输出量随着时间的增
28、长 而不断增加，增长的斜 率为1/T4.积分环节应用实例积分环节应用实例图c积分器电压的传递函数积分器电压的传递函数2f111fi1()11()UsC sUsRR C sTs（四）微分环节（四）微分环节（D D）1.微分方程2.传递函数与方框图3.动态响应dttdrtc)()(微分时间常数ssG)(方框图如图a所示)()(ttc理想微分环节的输出量与输入量间的关系恰好 与积分环节相反，传递函数互为倒数。输出只 能反映输入信号的变化率4.近似微分环节应用实例近似微分环节应用实例RCssG)(11)(ssRCsRCssG单位阶跃响应曲线如右图所示/)(tetc（四（四）比例微分环节（）比例微分环节
29、（PDPD）1.微分方程)()()(trdttdrtc 2.传递函数与方框图)1()(ssG 3.动态响应1)()(ttc比例微分环节的阶跃响应为比 例与微分环节的阶跃响应的叠 加。21()1()111111111UsKUsKRCsK RCsRCsRCssRCRCsKsKK 一阶微分环节一阶微分环节微分方程微分方程d()()()dr tc tr tt 传递函数传递函数()1G ss 在放大器上加以 在放大器上加以 RCRC网络反馈,当增 益网络反馈,当增 益K K足够大时足够大时4.比例微分环节的应用比例微分环节的应用当比例微分环节的输入量 为恒值时，其输出量与输 入量成正比；当输入信号 为变
30、量时，输出量中既含 有与输入量成正比的量，也包含反映输入信号变化 趋势的信息（五）振荡环节（五）振荡环节1.微分方程2.传递函数与方框图3.动态响应Tn1)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT 222222121)(nnnssTssTsG式中，阻尼比)sin(11)(2tetcdtn 01时式中21nd21arctan应用实例：机械位移系统等4.振荡环节的方框图和阶跃响应曲线振荡环节的方框图和阶跃响应曲线在自动控制系统中，若包含着两种不同形式的储 能单元，这两种单元的能量又能相互交换，在能量的 储存和交换的过程中，就可能出现振荡而构成振荡环 节（，称为减幅振荡/阻尼振 01时
31、 01时2212n222nn()1()1112UsUsLCsRCsLsRssssLLC RLCRLC网络网络（六）延迟环节（六）延迟环节1.微分方程)()(0 trtc2.传递函数与方框图sseesG001)(3.动态响应0 纯延迟时间由拉氏变换延迟定理可得在延迟时间很小的情况下111)(00sesGs 延迟环节的方框图如图a所示延迟环节的阶跃 响应如图b所示延迟环节在工作 中经常遇到，例 如晶闸管整流电 路中，控制电压 与整流输出有时 间上的延迟等。又称纯滞后环节00()e()sf tF s L L称为时域中的位移（=延迟）定理4.延迟环节的方框图和阶跃响应曲线延迟环节的方框图和阶跃响应曲线
32、延迟环节在延迟时间很小的情况下，可用一个小惯 性环节来替代返回 上述典型环节是按数学模型的特征来上述典型环节是按数学模型的特征来上述典型环节是按数学模型的特征来 上述典型环节是按数学模型的特征来 划分的，它们与实际的物理器件之间划分的，它们与实际的物理器件之间划分的，它们与实际的物理器件之间 划分的，它们与实际的物理器件之间 不一定完全对应，即一个复杂器件的不一定完全对应，即一个复杂器件的不一定完全对应，即一个复杂器件的 不一定完全对应，即一个复杂器件的 传递函数可能由多个典型环节组成；传递函数可能由多个典型环节组成；传递函数可能由多个典型环节组成；传递函数可能由多个典型环节组成；反之亦然反之亦然反之亦然反之亦然