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1、第五章 轨迹规划n轨迹规划的基本原理n关节空间轨迹规划n直角坐标空间轨迹规划轨迹规划的基本概念n路径与轨迹路径定义为机器人位形的一个特定序列，而不考虑机器人位形的时间因素。轨迹则强调何时到达路径中每一点，强调时间性。n关节空间与直角坐标空间描述关节空间描述：已知关节的起始点、中间点、终止点参数，求关节变量随时间的变化关系。直角坐标空间描述：已知机器人手坐标系运动路径或轨迹，求各关节变量随时间的变化关系。直角坐标空间轨迹规划需要转化为关节空间轨迹规划后才能够实施。转化的具体方法是，取若干中间点，并依次计算逆运动学方程，求出各关节对应点关节参数。直角坐标空间轨迹规划的注意事项直角坐标空间轨迹不能穿
2、过自身；直角坐标空间轨迹不能超出其工作空间；直角坐标空间轨迹不能导致关节变量突变。关节空间轨迹规划关节空间轨迹规划对关节加速度要求较高直角坐标空间轨迹规划直角坐标空间轨迹规划经过中间点的直角坐标空间轨迹规划关节空间轨迹规划n三次多项式轨迹规划n五次多项式轨迹规划n抛物线过渡的线性插值法n三次多项式轨迹规划初始和终止时刻的位移和速度为已知，具有四个已知参数，因此可以确定一个三次多项式：已知：求三次多项式对多项式求导：把上述已知条件带入，得：三次多项式轨迹规划n当起点和终点的速度为0时，解得：三次多项式轨迹规划n位移、速度、加速度方程为：例题：要求一个六自由度机器人第一关节在5S内从初始角30度运
3、动到终端角75度，用三次多项式计算在第1、2、3、4S时的关节角度。关节空间轨迹规划例题2：假设在上例基础上继续运动，要求在其后的3S内关节角达到105度，画出该运动的位置、速度和加速度曲线。关节空间轨迹规划有误！三次多项式轨迹规划n缺点：加速度有突变，意味着力或力矩需要有突变，这会造成振动和冲击需要进行加速度校验：五次多项式轨迹规划如果初始点和终止点的位置、速度和加速度均为已知，则有6个已知参数，可以确定5次多项式：n例题：同上例，且已知初始加速度和末端减速度均为5度/秒的平方。关节空间轨迹规划给出的已知条件越多，多项式的级数越大；前面所述已知条件均是关于起始和终止点的；如果存在中间点，并且
4、已知中间点运动参数，则分为两段，然后对每一段分别独立进行多项式轨迹规划。多项式轨迹规划分析高次多项式运动轨迹对于存在中间点的情况，如果不知道中间点全部运动参数，则可以采用更高次多项式轨迹规划，把两段独立的轨迹规划方程合并成一个阶次更高的方程。高次多项式轨迹规划随着阶次的增高，计算量明显增大；解决的办法是：还要把高次多项式化为多个低阶次的多项式。使所有低阶次多项式的未知变量数与所有给定已知条件相等，并尽量减小不同多项式的阶次差。相邻的多项式之间满足位置、速度、加速度连续性约束条件。多项式轨迹规划实例ABCD分析已知条件：14个起始点的位移、速度、加速度；终止点的位移、速度、加速度；第一中间点的位
5、移、速度和加速度连续性条件；第二中间点的位移、速度、加速度连续性条件。三段轨迹多项式函数分别为：把已知条件带入上述三个多项式，得简化写为：则系数矩阵为关节空间轨迹规划n多项式轨迹规划的缺点位移、速度、加速度均为时间t的函数，机器人关节在控制过程中需要不断计算新值，增加了控制器的负担。关节空间轨迹规划n抛物线过渡的线性轨迹规划为了克服多项式轨迹规划中速度、加速度均变化导致计算量增大的缺点，采用抛物线过渡的线性规划方法。主体部分速度为常数，为了避免在起始和结束段产生过大加速度，采用抛物线过渡。过渡段时间的长短取决于系统的设计。n抛物线过渡的线性运动轨迹关节空间轨迹规划tbtf-tbtfAB特点：1
6、、中间段为恒速运动；2、两端为对称的加、减速运动；3、加、减速度采用常值；4、加速度段结束的速度即为中间段的速度。抛物线过渡的线性轨迹规划tbtf-tbtfAB设加速度 为a，则有抛物线过渡的线性运动轨迹进一步得若已知初始和终止角位移、时间和角速度，则可求得加减速时间；若已知初始和终止角位移、加速度、速度，也可以求总时间。例题：假设关节1以速度w10度/秒在5秒内从初始角30度运动到目的角70度。求解所需的过渡时间并绘制关节位置、速度和加速度。关节空间轨迹规划抛物线过渡线性轨迹规划如果起始速度和终止速度不为0，则该如何处理？例题：起始角30度，终止角105度，时间为5S，初始速度为1，终止速度
7、为2，中间段速度为20，请进行抛物线过渡线性轨迹规划。直角坐标空间轨迹规划n规划步骤：1、从开始依次增加一个增量时间2、利用已知得轨迹函数，计算出手得位姿；3、利用机器人逆运动学方程计算对应的关节变量；4、分别对每个关节进行轨迹规划，并把数据送关节控制器；5、依次循环。轨迹规划结束 Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划 轨 迹 ：机械手的位移，速度和加速度。轨迹规划 ：由任务要求，计算出预算的运动轨迹。轨迹规划器：简化了编程手续。1.轨迹规划应考虑的问题 机器人规划方式的分类 Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划 1.
8、轨迹规划应考虑的问题 机械手常用的两种轨迹规划方法：方法一，给出插值点上一组显式约束。方法二，给出运动路径的解析式。轨迹规划可在关节空间或直角空间中。规划器的任务：解变换方程，运动学反解和插值 运算。Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划 2.关节轨迹的插值计算 （1）三次多项式插值 四个约束条件：由上确定了一个三次多项式：Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划 2.关节轨迹的插值计算 （1）三次多项式插值 关节速度和加速度：关于四个系数的线性方程：Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划
9、 2.关节轨迹的插值计算 （1）三次多项式插值 解得四个系数的表达式：Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划 2.关节轨迹的插值计算 （2）过路径点的三次多项式插值 将速度约束条件(7.2)变为：重新求得三项式的系数：Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划 2.关节轨迹的插值计算 （2）过路径点的三次多项式插值 确定路径点上关节速度的三种方法：根据工具坐标在直角坐标空间中的瞬时线速度、和角速度来确定。采用适当的启发式方法，有控制系统自动地选 择。要保证每个路径点上的加速度连续。Robot planning 7.7 7.7
10、机器人轨迹规划机器人轨迹规划 2.关节轨迹的插值计算 （3）高阶多项式插值 五次多项式：6个约束条件：Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划 2.关节轨迹的插值计算 （3）高阶多项式插值 其解为：Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划 2.关节轨迹的插值计算（4）用抛物线过渡的线性插值 将线性函数与两段抛物线函数平滑地衔接在一 起形成一段轨迹。Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划 2.关节轨迹的插值计算（4）用抛物线过渡的线性插值 ：tb处的速度 ：tb处的关节角度 ：过渡域内加速度
11、令t=2th，由式13，14得 t：所要求的运动持续时间 Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划 2.关节轨迹的插值计算（4）用抛物线过渡的线性插值 任意给定 ，和 ，选择相应的 和 ，得到 路径曲线。需满足条件：Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划 2.关节轨迹的插值计算（5）过路径点的用抛物线过渡的线性插值j,k,l：连续的三个路径点。：k点过渡域的持续时间。：j,k之间线性域的持续 时间。：连接j和k的路径段的全 部持续时间。：j,k点之间线性域的速度。：j点过渡域的加速度。Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划 2.关节轨迹的插值计算（5）过路径点的用抛物线过渡的线性插值 任意给定 ，和 ，可得 。对于内部路径点 ：Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划 2.关节轨迹的插值计算（5）过路径点的用抛物线过渡的线性插值 对于第一个路径段：从而求得 ，进而求得 和 ：Robot planning 7.7 7.7 机器人轨迹规划机器人轨迹规划 2.关节轨迹的插值计算（5）过路径点的用抛物线过渡的线性插值 对于最后一个路径段：根据上式便可求得：