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1、第二节 数列的极限一、一、数列极限的定义数列极限的定义二、二、收收敛数列敛数列的的性质性质三、三、收敛准则收敛准则上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出引例引例设有半径为设有半径为 R 的圆的圆,用其内接正用其内接正 n 边形的面边形的面积积An 逼近圆面积逼近圆面积 S.刘徽割圆术刘徽割圆术(公元三世纪公元三世纪)概念的引入概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣于不可割，则与圆周合体而无所失矣”正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出
2、出2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出一、数列极限的定义一、数列极限的定义例如例如上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出 随着随着n 趋于无穷趋于无穷,数列的数列的通项有以下通项有以下两种两种变变化趋势化趋势:可以看到可以看到,(1)通项无限趋近于通项无限趋近于(2)一个确定的常数一个确定的常数;(2)通项
3、不趋近于任何确定的常数通项不趋近于任何确定的常数.问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出定义定义 如果对于如果对于任意给定的正数任意给定的正数e e(不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn 时的时的一切一切nx,不等式不等式e e N 时时,有有只
4、要使只要使二、收敛数列的性质1、有界性有界性例如例如,有界有界无界无界上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出收敛数列的有界性收敛数列的有界性如果数列如果数列收敛收敛,那么数列那么数列一定有界一定有界.问题问题 对于无限多项对于无限多项如何求如何求 M？定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的有界性是数列收敛的必要条件必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出关系关系：收敛收敛 有界有界注注极限的唯一性极限的唯一性2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个
5、收敛的数列只有一个极限.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出例例5证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出 3、保号性、保号性 定理定理3 若若 =a,a0（或（或a0），则），则N0,当当nN时时,0（或（或 0）.证证 由极限定义由极限定义，对，对 ，当时，当时，即，即 ，故当，故当 时时，.类似可证类似可证 的情形的情形.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出3、子数列的收敛性、子数列的收敛性注意：注意：例如，例如，上一
6、页上一页目录目录下一页下一页退退 出出定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同相同证证证毕证毕上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出定定义义5 数数列列xn的的项项若若满满足足x1x2xnxn+1,则则称称数列数列xn为为单调增加数列单调增加数列;若若满满足足x1x2xnxn+1,则则称称数数列列xn为为单单调调减少数列减少数列;当当上上述述不不等等式式中中等等号号都都不不成成立立时时,则则分分别别称称xn 是是严格单调增加和严格单调减少数列严格单调增加和严格单调减少数列.收收敛敛准准则则 单单调调增增加加且且有有上上界界的的数数列列必必有有极极限限;单调减少有下界的数列必有极限单调减少有下界的数列必有极限.三、收敛准则上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出五、小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性有界性、唯一性、子数列的收敛性.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出练练 习习 题题上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出