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1、第三章 极限与函数的连续性一、数列的极限二、函数的极限三、函数的连续性四、无穷小量无穷大量的比较 极极限限概概念念的的萌萌芽芽可可追追溯溯至至公公元元前前3 30 00 0年年，当当时时我我国国著著名名哲哲学学家家庄庄子子的的著著作作中中便便有有“一一尺尺之之棰棰，日日取取其其半半，万万世世 不不 竭竭”（庄庄子子天天下下篇篇）的的论论述述。在在南南北北朝朝（4 42 29 9-5 50 00 0）时时期期，祖祖冲冲之之利利用用极极限限的的思思想想计计算算圆圆周周率率，取取得得了了很很大大的的成成功功。他他利利用用圆圆内内接接多多边边形形的的面面积积逼逼近近圆圆的的面面积积，即即所所谓谓“割割
2、圆圆术术”，该该方方法法被被写写入入他他与与儿儿子子祖祖恒恒合合著著的的缀缀术术中中。不不幸幸的的是是，该该书书在在北北宋宋中中期期失失传传。我国古代极限思想祖冲之祖冲之一、概念的引入3-2 数列的极限正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积思想：用多边形无限逼近思想：用多边形无限逼近：二、数列的极限1 1、数列的概念、数列的概念定义定义 自变量为正整数的函数自变量为正整数的函数 将其函数值按自变量将其函数值按自变量 n 由小到大排成一列数由小到大排成一列数 称为数列，将其简记为称为数列，将其简记为 称为数列的通项或一般项称为数列的通项或一般项(1)(
3、3)(4(4)(2)即即数列数列数列数列数列数列数列数列数列（数列（1 1）当）当n无限增大时无限增大时,无限趋近于无限趋近于0 0，即数列（即数列（1 1）以）以0 0为它的变化趋向；为它的变化趋向；数列（数列（2 2）当）当n无限增大时无限增大时,无限趋近于无限趋近于 常数常数1,1,即数列（即数列（2 2）以）以1 1为它的变化趋向为它的变化趋向；数列（数列（3 3）当）当n无限增大时，无限增大时，其奇数项为其奇数项为1 1，偶数项为偶数项为-1-1，随着，随着n 的增大，它的通项在的增大，它的通项在 -1,+1 -1,+1之间变动，没有确定的变化趋向；之间变动，没有确定的变化趋向；数列
4、（数列（4 4）当）当n 无限增大时，无限增大时，un=2n-1=2n-1无限增大无限增大.问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言?通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：定义定义3.23.2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数e e(不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx
5、,不等式不等式e e-axn都成立都成立,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a,记为记为 ,limaxnn=或或).(naxn 几何解释几何解释:其中其中例例1证证所以所以,例例2证证例例3证证利用定义证明极限应注意的问题 一、有时对一、有时对 规定范围是方便的，如规定范围是方便的，如 ，但要注意，但要注意，可小不可大可小不可大。二、正整数二、正整数 与与 有关，有时将其写成有关，有时将其写成 ，但它不，但它不 唯一，注意唯一，注意 可大不可小可大不可小。三、直接解不等式三、直接解不等式 求求 有时较困难，若将有时较困难，若将 进行进行
6、适当放大适当放大，问题则可变得简单。，问题则可变得简单。1.有界性有界性例如例如,有界有界无界无界2.数列极限的性质定理定理3.2 3.2 收敛的数列必有界收敛的数列必有界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的有界性是数列收敛的必要条件必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.定理定理 3.3 3.3 设 ，且 ，则存在正整数 ，当 时，恒有2.保号性保号性ii)若 ，则存在正整数 ，当 时，恒有推论推论 设 ，i)若 ，则存在正整数 ，当 时，恒有定理定理3.1 设 ,则有3.四则运算封闭性四则运算封闭性推论推论 设 则有定理定理 3.4 3.4 设 为无穷小量，是有
7、界数列，则定理定理 3.5 3.5(保序性)设 ，且 ，则存在正整数 ，当 时，恒有定理定理 3.6 3.6(极限不等式)设 ，且对任意正整数 ，有 ，则 无穷小量的定义无穷小量的定义无穷小量的定义无穷小量的定义思考：下面两个说法是否正确，为什么？思考：下面两个说法是否正确，为什么？1.设 ，且 ，则存在正整2.数 ，当 时，恒有 2.2.设 ，且对任意正整数 ，有 ，则考虑考虑：和和 .4.唯一性唯一性定理定理 3.7 3.7 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.定理定理3.83.8（夹迫性（夹迫性）设）设 ，且，且
8、则则证明：证明：定理3.9.单调收敛准则 单调下降有下界的数列必有极限.单调上升有上界的数列必有极限.通常说成：单调有界的数列必有极限通常说成：单调有界的数列必有极限.证证由平均值不等式即得例例4先证单调上升，即证又 等比数列求和 放大不等式每个括号小于 1.综上所述,数列xn是单调增加且有上界的,由极限存在准则可知,该数列的极限存在,通常将它记为 e,即e 称为欧拉常数.(1)1)无穷小量的定义无穷小量的定义无穷小量的定义无穷小量的定义 简言之：以零为极限的量,为该极限过程中的无穷小量.无穷小量描述的是变量的变化趋势无穷小量描述的是变量的变化趋势,不是指一个很小的数不是指一个很小的数.3、无穷小量与无穷大量、无穷小量与无穷大量(2)(2)无穷大量的定义无穷大量的定义无穷大量的定义无穷大量的定义定义无穷大量时,用的是绝对值 去掉绝对值符号,则可以定义正无穷大量和负无穷大量.去掉绝对值符号去掉绝对值符号会怎么样？会怎么样？由无穷大量与无界量的定义是否可得出:无穷大量一定是无界量无穷大量一定是无界量,反之反之,无界量一定是无穷大量无界量一定是无穷大量?无穷大量一定是无界量无穷大量一定是无界量.无界量不一定是无穷大量无界量不一定是无穷大量.几个问题几个问题考察例题考察例题结结 论论几个问题几个问题结结 论论 无穷大量的运算性质无穷大量的运算性质无穷大量的运算性质无穷大量的运算性质