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1、第八章第八章第八章第八章 粘性粘性粘性粘性不可压缩流体的流动不可压缩流体的流动不可压缩流体的流动不可压缩流体的流动8-18-1 粘性流体中的应力粘性流体中的应力粘性流体中的应力粘性流体中的应力8-28-2 不可压缩粘性流体运动的基本方程不可压缩粘性流体运动的基本方程不可压缩粘性流体运动的基本方程不可压缩粘性流体运动的基本方程8-38-3 纳维纳维纳维纳维-斯托克斯方程的解析解斯托克斯方程的解析解斯托克斯方程的解析解斯托克斯方程的解析解8-48-4 层流边界层流动的基本方程层流边界层流动的基本方程层流边界层流动的基本方程层流边界层流动的基本方程8-58-5 平板层流边界层的相似性解平板层流边界层
2、的相似性解平板层流边界层的相似性解平板层流边界层的相似性解8-68-6 边界层动量积分方程边界层动量积分方程边界层动量积分方程边界层动量积分方程8-78-7 湍流边界层与混合边界层湍流边界层与混合边界层湍流边界层与混合边界层湍流边界层与混合边界层一、粘性流体中的应力一、粘性流体中的应力pzzpyypxxpyzpzypxzpxypzxpyx 8-1 8-1 8-1 8-1 粘性流体中的应力粘性流体中的应力粘性流体中的应力粘性流体中的应力i 应力作用面方向应力作用面方向j 应力方向应力方向应力应力应力应力正方向正方向正方向正方向的规定的规定的规定的规定:应力的符号应力的符号应力的符号应力的符号 p
3、 pij ijij ij （或（或（或（或 ij ijij ij ）二、二、广义牛顿内摩擦定律广义牛顿内摩擦定律 正的正应力沿作用面外法向；正的正应力沿作用面外法向；若作用面外法向逆坐标轴方向若作用面外法向逆坐标轴方向,则正的切应力逆坐标轴方向；则正的切应力逆坐标轴方向；若若作作用用面面外外法法向向沿沿坐坐标标轴轴方方向向,则正的切应力沿坐标轴方向；则正的切应力沿坐标轴方向；第八章第八章 粘性粘性不可压缩流体的流动不可压缩流体的流动流体内一点的应力有九个分量流体内一点的应力有九个分量由微元体的力矩平衡可证切应力的由微元体的力矩平衡可证切应力的对称性对称性8.1 8.1 粘性流体中的应力粘性流体
4、中的应力其中其中应力张量应力张量切应力互等定律切应力互等定律例如例如:xoy平面内的切应力与角变形速度关系平面内的切应力与角变形速度关系即有即有角变形速度角变形速度1.1.建立应力与变形速度的关系建立应力与变形速度的关系2.2.测量速度比测量应力方便测量速度比测量应力方便意义：意义：8.1 8.1 粘性流体中的应力粘性流体中的应力二、二、广义牛顿内摩擦定律广义牛顿内摩擦定律 牛顿流体切应力牛顿流体切应力牛顿流体切应力牛顿流体切应力牛顿流体正应力牛顿流体正应力牛顿流体正应力牛顿流体正应力（流体的本构方程）（流体的本构方程）其中其中不可压缩流体的正应力不可压缩流体的正应力?8.1 8.1 粘性流体
5、中的应力粘性流体中的应力二、二、广义牛顿内摩擦定律广义牛顿内摩擦定律 1.1.粘性流体微团受力分析粘性流体微团受力分析8-2 8-2 8-2 8-2 不可压缩粘性流体运动的基本方程不可压缩粘性流体运动的基本方程不可压缩粘性流体运动的基本方程不可压缩粘性流体运动的基本方程2.应力形式的运动方程应力形式的运动方程3.3.N-S方程方程第八章第八章 粘性粘性不可压缩流体的流动不可压缩流体的流动一、一、Navier-Stokes(N-S)方程方程2.2.应力形式的运动方程应力形式的运动方程应力形式的运动方程应力形式的运动方程代入本构关系式后得到运动方程代入本构关系式后得到运动方程8.2 不可压缩粘性流
6、体运动的基本方程不可压缩粘性流体运动的基本方程连续性方程连续性方程3.N-S3.N-S3.N-S3.N-S方程方程方程方程不可压缩粘性流体的运动方程不可压缩粘性流体的运动方程8.2 不可压缩粘性流体运动的基本方程不可压缩粘性流体运动的基本方程二、求解二、求解N-SN-S方程的定解条件方程的定解条件 8.2 不可压缩粘性流体运动的基本方程不可压缩粘性流体运动的基本方程2 2、近似解、近似解1 1、精确解、精确解3 3、数值解、数值解求解求解N-SN-S方程的途径方程的途径定解条件定解条件2 2、边界条件、边界条件1 1、非定常流动的初始场、非定常流动的初始场在特殊条件下可得到在特殊条件下可得到N
7、-SN-S方程的解析解方程的解析解例如例如:两平行平板间的定常层流流动两平行平板间的定常层流流动第八章第八章 粘性粘性不可压缩流体的流动不可压缩流体的流动8-3 8-3 纳维纳维纳维纳维-斯托克斯方程的解析解斯托克斯方程的解析解斯托克斯方程的解析解斯托克斯方程的解析解一、斜平面上液膜的定常流动一、斜平面上液膜的定常流动 边界条件边界条件忽略液面摩擦力忽略液面摩擦力壁面流体无滑移壁面流体无滑移液体液体上表面上表面与板同速与板同速U U二阶偏微分方程二阶偏微分方程需要两个边界条件需要两个边界条件4.10 边界层流动、边界层流动、边界边界 层分离及物体阻力层分离及物体阻力4-9 4-9 缝隙流动缝隙
8、流动习题习题习题习题8-58-5：解：解：解：解N-SN-SN-SN-S方程求平板间的速度分布方程求平板间的速度分布方程求平板间的速度分布方程求平板间的速度分布由流动的特性由流动的特性充分发展流动充分发展流动 ，由连续性方程由连续性方程二维、定常二维、定常u 仅是仅是 y 的函数的函数8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解需要求解的方程组成为需要求解的方程组成为需要求解的方程组成为需要求解的方程组成为边界条件边界条件边界条件边界条件已知已知已知已知u u 仅是仅是仅是仅是 y y 的函数，而的函数，而的函数，而的函数，而 p/p/x x 仅是仅是仅是仅是x x 的函数的函数的函数的函数8.3 纳维
9、-斯托克斯方程的解析解二、无限长同心圆柱面之间的定常流动。二、无限长同心圆柱面之间的定常流动。8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解边界条件边界条件u=0，r=R2外外壁面无滑移壁面无滑移u=R1，r=R1内壁面同速内壁面同速vr=vz=0,v=u(r)fr=f=fz=0/=0r、方向运动方程8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解三、无限大平板在自身平面内启动所带动的流体运动三、无限大平板在自身平面内启动所带动的流体运动p=C v=w=0,u=u(y,t)/x=/z=0 定解条件定解条件x方向运动方程方向运动方程量纲分析量纲分析 u/U=f(,y,t)8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解三、无限大平板在
10、自身平面内启动所带动的流体运动三、无限大平板在自身平面内启动所带动的流体运动常微分方程常微分方程边界条件边界条件用相似性变量用相似性变量相似性解相似性解由于板的运动产生的流动由于板的运动产生的流动由于压强梯度产生的流动由于压强梯度产生的流动例：例：两平行平板间的定常层流流动两平行平板间的定常层流流动均质不可压缩均质不可压缩,不计质量力不计质量力由于板的运动和压强梯度产生的流动由于板的运动和压强梯度产生的流动8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解解解解解N-SN-SN-SN-S方程求平板间的速度分布方程求平板间的速度分布方程求平板间的速度分布方程求平板间的速度分布由流动的特性由流动的特性充分发展流动
11、充分发展流动 ，由连续性方程由连续性方程二维、定常、不计质量力二维、定常、不计质量力u 仅是仅是 y 的函数的函数8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解需要求解的方程组成为需要求解的方程组成为需要求解的方程组成为需要求解的方程组成为边界条件边界条件边界条件边界条件已知已知已知已知u u 仅是仅是仅是仅是 y y 的函数，而的函数，而的函数，而的函数，而 p p 仅是仅是仅是仅是x x 的函数的函数的函数的函数8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解3 3 3 3、若、若、若、若dpdp/dxdx 0 0 0 0，U U 0 0 1 1 1 1、若、若、若、若dpdp/dxdx=0=0，U U 0 02
12、2 2 2、若、若、若、若dpdp/dxdx 0 0 0 0，U U=0=0库特流动库特流动关于常数关于常数关于常数关于常数C C 和和和和U U泊肃叶流动泊肃叶流动库特库特-泊肃叶流动泊肃叶流动8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解由连续性方程由连续性方程已知已知需要求解的方程组成为需要求解的方程组成为例例.以常速以常速U垂直向上运动的皮带表面油膜厚度垂直向上运动的皮带表面油膜厚度h。设油设油膜在皮带及自身重力作用下作定常层流运动，忽略空气膜在皮带及自身重力作用下作定常层流运动，忽略空气与油膜表面的切应力，求油膜内的速度分布。与油膜表面的切应力，求油膜内的速度分布。解解在液面压强不随在液面压强不
13、随x变化变化需要求解的方程组成为需要求解的方程组成为边界条件边界条件积分得积分得 8-4 8-4 8-4 8-4 层流边界层流动的基本方程层流边界层流动的基本方程层流边界层流动的基本方程层流边界层流动的基本方程一、边界层厚度一、边界层厚度、位位移厚度、动量损失厚度移厚度、动量损失厚度物面绕流物面绕流 根据粘性作用大小区分根据粘性作用大小区分 为边界层流和外部势流为边界层流和外部势流Prandtl(1904)Prandtl(1904)具有很小摩擦的流体运动具有很小摩擦的流体运动第八章第八章 粘性粘性不可压缩流体的流动不可压缩流体的流动2.2.边界层厚度边界层厚度 3.3.边界层排移厚度边界层排移
14、厚度*4.4.边界层动量损失厚度边界层动量损失厚度*1.1.边界层的概念边界层的概念层流边界层外部势流过渡区湍湍流边界层粘性作用显著，属于粘性流有旋流动区。粘性作用显著，属于粘性流有旋流动区。边界层外部流动边界层外部流动边界层外部流动边界层外部流动边界层内部流动边界层内部流动边界层内部流动边界层内部流动不受壁面影响，粘性力很小，可用势流理论。不受壁面影响，粘性力很小，可用势流理论。U8.4 层流边界层流动的基本方程例：层流例：层流Re的物理意义的物理意义:惯性力惯性力/粘性力粘性力&流态判断准则流态判断准则 外部势流外部势流U xy02.边界层厚度边界层厚度 u=0.99U圆管流与圆管流与边界
15、层流速度剖面相似边界层流速度剖面相似8.4 层流边界层流动的基本方程流态判断准则流态判断准则雷诺数雷诺数3.3.位移厚度位移厚度*u(x,y)yxU(x)物物理理意意义义外外层层流流体体被被边边界界层层排排挤挤的距离的距离例例.风洞的壁面阻塞效应风洞的壁面阻塞效应8.4 层流边界层流动的基本方程4.4.动量损失厚度动量损失厚度*U(x)u(x,y)yx*物理意义物理意义边界边界 层流体的动量损失层流体的动量损失8.4 层流边界层流动的基本方程1.1.边界层的基本特征边界层的基本特征（1 1）L（2 2）（3 3）边界层厚度沿着流动方向增加）边界层厚度沿着流动方向增加（4 4）边界层内粘性力与惯
16、性力同数量级）边界层内粘性力与惯性力同数量级yx0L 二、二、边界层边界层方程方程8.4 层流边界层流动的基本方程外部势流外部势流U xy0L边界层流边界层流例：例：水，水，L=0.5m，U=0.2m/s，Re=1 105，3mm8.4 层流边界层流动的基本方程8.4 层流边界层流动的基本方程2.2.边界层微分边界层微分方程方程根据边界层的特征进行量级分析以简化方程根据边界层的特征进行量级分析以简化方程根据边界层的特征进行量级分析以简化方程根据边界层的特征进行量级分析以简化方程二元不可压缩定常流动边界层二元不可压缩定常流动边界层二元不可压缩定常流动边界层二元不可压缩定常流动边界层方程（不计质量
17、力）方程（不计质量力）方程（不计质量力）方程（不计质量力）（1）（2）边界层内边界层内 U xy0p(x)p8.4 层流边界层流动的基本方程（2）固定壁面的边界条件为固定壁面的边界条件为二元不可压缩定常二元不可压缩定常层流边界层的微分方程层流边界层的微分方程零压梯度边界层零压梯度边界层8.4 层流边界层流动的基本方程（1）例例.密密度度为为常常数数的的均均匀匀流流速速度度U，平平行行流流过过宽宽b 的的平平板板。平平板板尾尾缘缘速速度度由由零零线线性性变变化化至至U，不不计计质质量量力力求求平平板板上上表面总摩擦力。设表面总摩擦力。设 y=h处处 y方向的速度分量远小于方向的速度分量远小于U。
18、解解.定常二元不可压缩流，应用动量方程求阻力定常二元不可压缩流，应用动量方程求阻力控制体控制体F F平板所受总切向力平板所受总切向力质量流量质量流量8.4 层流边界层流动的基本方程F F动量流量动量流量边界层内的压强为常数边界层内的压强为常数8.4 层流边界层流动的基本方程一、零压梯度层流边界层一、零压梯度层流边界层yx0L 二、二、层流边界层的层流边界层的相似性解相似性解第八章第八章 粘性粘性不可压缩流体的流动不可压缩流体的流动8-58-5 平板层流边界层的相似性解平板层流边界层的相似性解平板层流边界层的相似性解平板层流边界层的相似性解相似性变量相似性变量相似性解相似性解边界层常微分方程边界
19、层常微分方程边界条件边界条件边界层内的粘性力边界层内的粘性力与惯性力为同量级与惯性力为同量级 2x/U如果以如果以U和和 度量速度量速度度u与距离与距离y，各断，各断面的速度分布相似面的速度分布相似u/U=f(y/)8.5 平板层流边界层的相似性解平板层流边界层的相似性解边界层厚度边界层厚度壁剪应力壁剪应力摩擦力和摩擦系数摩擦力和摩擦系数（单面、单位宽度）（单面、单位宽度）,8-6 8-6 8-6 8-6 边界层动量积分方程边界层动量积分方程边界层动量积分方程边界层动量积分方程yx0AdxDxCUB 一、二元不可压缩定常边界层一、二元不可压缩定常边界层一、二元不可压缩定常边界层一、二元不可压缩
20、定常边界层（不计质量力）（不计质量力）（不计质量力）（不计质量力）建立壁面切应力与速度分布的积分关系：建立壁面切应力与速度分布的积分关系：1.1.已知外部势流条件；已知外部势流条件；2.2.对控制体应用动量方程对控制体应用动量方程质量流量质量流量由由AC控制面流入的控制面流入的 x方向方向动量等于动量等于第八章第八章 粘性粘性不可压缩流体的流动不可压缩流体的流动yx0AdxDxCB U动量流量动量流量对控制体应用动量定理对控制体应用动量定理对控制体应用动量定理对控制体应用动量定理，x x方向动量方程方向动量方程方向动量方程方向动量方程8.6 边界层动量积分方程边界层动量积分方程yx0AdxDx
21、CUB x x方向动量方程方向动量方程方向动量方程方向动量方程 略去高阶小量略去高阶小量略去高阶小量略去高阶小量8.6 边界层动量积分方程边界层动量积分方程应用外部势流条件应用外部势流条件二、零压强梯度、二、零压强梯度、二、零压强梯度、二、零压强梯度、定常二元边界层定常二元边界层定常二元边界层定常二元边界层8.6 边界层动量积分方程边界层动量积分方程层流、湍流边界层都适用的层流、湍流边界层都适用的动量积分关系式动量积分关系式应用动量积分关系式解平板边界层，应用动量积分关系式解平板边界层，应用动量积分关系式解平板边界层，应用动量积分关系式解平板边界层，U U=C C（1 1）根据边界条件根据边界
22、条件U()构造近似的构造近似的速度分布速度分布（2）将将壁面切应力壁面切应力表示为表示为的函数的函数零压强梯度边界层零压强梯度边界层解解的动量积分方程得摩擦阻力的动量积分方程得摩擦阻力*的函数的函数8.6 边界层动量积分方程边界层动量积分方程三、三、三、三、层流平板边界层层流平板边界层层流平板边界层层流平板边界层由边界条件定系数由边界条件定系数1.y=0，u=0 2.y=0，u=0，v=0，边界层方程在壁面给出 c0=0c2=04.y=，=0 3.y=，u=U&得速度分布和壁面切应力表达式得速度分布和壁面切应力表达式设设8.6 边界层动量积分方程边界层动量积分方程动量损失厚度为动量损失厚度为代
23、入动量积分关系式代入动量积分关系式由由x=0，=0，积分得积分得应用动量积分关系式确定应用动量积分关系式确定(x)8.6 边界层动量积分方程边界层动量积分方程壁面切应力（层流）壁面切应力（层流）长长 l，单位宽度的平板单面所受阻力单位宽度的平板单面所受阻力(积分积分)平板摩擦阻力系数平板摩擦阻力系数比较：湍流平板边界层比较：湍流平板边界层例例.Re=106 Cfl=0.0013，Cft=0.00438.6 边界层动量积分方程边界层动量积分方程例例.20 C空气以空气以5m/s流过流过长长2m宽宽1m平板。设为层流边平板。设为层流边界层，已知速度分布界层，已知速度分布 （1）应用动量积分关系式求
24、平板尾缘的边界层厚度）应用动量积分关系式求平板尾缘的边界层厚度;（2）求平板阻力）求平板阻力。解解(1)&代入动量积分关系式求出代入动量积分关系式求出平板尾缘平板尾缘(x=2m)边界层厚度为边界层厚度为例例题题(2)求平板单侧受到摩擦阻力求平板单侧受到摩擦阻力 例例题题8.6 边界层动量积分方程边界层动量积分方程8-7 8-7 8-7 8-7 湍流边界层与混合边界层湍流边界层与混合边界层湍流边界层与混合边界层湍流边界层与混合边界层应用动量积分关系式解平板边界层，应用动量积分关系式解平板边界层，U=C1.1.根据边界条件构造近似的根据边界条件构造近似的速度分布速度分布2.2.将将壁面切应力壁面切
25、应力表示为表示为的的函数函数零压强梯度边界层零压强梯度边界层解解的动量积分方程得摩擦阻力的动量积分方程得摩擦阻力*的函数的函数第八章第八章 粘性粘性不可压缩流体的流动不可压缩流体的流动8.7 湍流边界层与混合边界层一、一、湍流平板边界层湍流平板边界层动量积分需补充速度分布和壁面切应力公式动量积分需补充速度分布和壁面切应力公式动量积分需补充速度分布和壁面切应力公式动量积分需补充速度分布和壁面切应力公式切应力切应力 实验证明，平板边界层湍流和圆管湍流相似实验证明，平板边界层湍流和圆管湍流相似R,Uumax对应，速度分布对应，速度分布(参考参考4.6)4.6)应用动量积分得平板（单侧、长应用动量积分
26、得平板（单侧、长l）摩阻系数摩阻系数二、平板混合边界层二、平板混合边界层转捩临界雷诺数转捩临界雷诺数Ux0层流边界层层流边界层湍流边界层湍流边界层xClAB从从O O点算起点算起8.7 湍流边界层与混合边界层长长l，单位宽度混合边界层的阻力单位宽度混合边界层的阻力长长l，单位宽度平板的摩阻系数单位宽度平板的摩阻系数其中其中xCl8.7 湍流边界层与混合边界层例例.飞机在飞机在10km高空飞行，将机翼视为无攻角绕流平高空飞行，将机翼视为无攻角绕流平板，板，求求机翼的机翼的摩擦阻力。已知摩擦阻力。已知 V=50m/s，l=1.5m，Recr=5 105。解解.确定确定Re表表1-3外插标准大气压下
27、外插标准大气压下 50 C 空气空气：由：由2-5公式计算得公式计算得10km高空温度高空温度例例题题机翼表面按层流边界层或湍流边界层计算机翼表面按层流边界层或湍流边界层计算例例题题混合边界层，混合边界层，长长l单位宽度平板的摩阻系数单位宽度平板的摩阻系数其中其中当当Recr=5 105，A=1700机翼表面有层流边界层和湍流边界层两部分机翼表面有层流边界层和湍流边界层两部分机翼表面有层流边界层和湍流边界层两部分机翼表面有层流边界层和湍流边界层两部分8.7 湍流边界层与混合边界层层流边界层层流边界层速度型速度型湍流边界层湍流边界层布拉修斯解布拉修斯解三次多项式三次多项式四次多项式四次多项式8.
28、7 湍流边界层与混合边界层习题习题习题习题 8-18-1 8-4 8-4(旧旧旧旧8-58-58-58-5)第八章第八章 粘性粘性不可压缩流体的流动不可压缩流体的流动习题习题习题习题 8-128-12(旧旧旧旧8-8)8-8)8-8)8-8)8-13 8-13(旧旧旧旧8-9)8-9)8-9)8-9)习题习题习题习题 8-16 8-16(旧旧旧旧8-12)8-12)8-12)8-12)8-17 8-17(旧旧旧旧8-13)8-13)8-13)8-13)（平平平平板板板板边边边边界界界界层层层层转转转转捩捩捩捩雷诺数雷诺数雷诺数雷诺数Re 5Re 5 101055）8-18 8-18(旧旧旧旧旧旧8-14)8-14)8-14)8-14)8-14)8-14)