《刚体的转动》PPT课件.ppt

《《刚体的转动》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《刚体的转动》PPT课件.ppt（84页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、1第五章第五章 刚体的转动刚体的转动（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）25.1 刚体的运动刚体的运动5.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 转动定律应用举例转动定律应用举例5.6 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系5.5 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律本章目录本章目录3 刚刚体体是是特特殊殊的的质质点点系系，其其上上各各质质点点间间的的相相对对位位置置保保持不变。持不变。5.1 刚体的运动刚体的运动一一.刚体刚体（rigid body）的概念的概念我们把这种不能

2、变形的物体称为我们把这种不能变形的物体称为刚体。刚体。质质点点系系的的规规律律都都可可用用于于刚刚体体，而而且且考考虑虑到到刚刚体体的的特特点，规律的表示还可较一般的点，规律的表示还可较一般的质点质点系有所简化。系有所简化。显然，刚体是个理想化的模型，但是它有实际的意义。显然，刚体是个理想化的模型，但是它有实际的意义。4的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。二二.刚体的运动形式刚体的运动形式1.平动平动（translation）：）：连接刚体内任意两点连接刚体内任意两点O mi mj选取参考选取参考点点O，则：，则：对（对（1）式求导：）式求导：5 刚刚体

3、体做做平平动动时时，它它的的各各质质元元运运动动轨轨迹迹都都一一样样，而而且且在在同同一一时时刻刻，它它们们的的速速度度和和加加速速度度也也都都相相等等。因因此此可可用用质质心心或或其其上上任任何何一一点点的的运运动动来来代代表整体的运动。表整体的运动。2.转动转动（rotation）：）：转转动动也也是是刚刚体体的的基基本本运运动动形形式式之之一一，它它又又可可分为分为定轴转动定轴转动和和定点转动。定点转动。定轴转动：定轴转动：圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。运动中各质元均做圆周运动，且各运动中各质元均做圆周运动，且各6 定点转动：定点转动：整个刚体绕

4、过该定点的某一瞬时轴线转动。整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。运动中刚体上只有一点固定不动，运动中刚体上只有一点固定不动，如陀螺。如陀螺。73.一般运动：一般运动：刚体不受任何限制的的任意运动。刚体不受任何限制的的任意运动。它可分解为以下两种刚体的基本运动它可分解为以下两种刚体的基本运动：随随基点基点O（可任选）的（可任选）的平动平动 绕通过基点绕通过基点O的瞬时轴的的瞬时轴的定点转动定点转动O O OO 转动与基点的选取无关。转动与基点的选取无关。两种分解，基点选取不同，两种分解，基点选取不同，例如：例如：平动可以不同，平动可以不同，动力学中，常选动力学中，常选质心质心为基点。为基点。转

5、动却相同，转动却相同，或或8三三.刚体转动的描述（运动学问题）刚体转动的描述（运动学问题）1.定点转动定点转动（rotation about a fixed point）（1）角量的描述）角量的描述 为反映为反映瞬时轴瞬时轴的方向及刚体转动的快慢的方向及刚体转动的快慢和转向，引入和转向，引入角速度矢量角速度矢量与转向成右螺旋关系。与转向成右螺旋关系。基点基点OP瞬时轴瞬时轴刚体刚体的方向的方向沿瞬时轴，沿瞬时轴，转向转向9（不一定沿着瞬时轴）（不一定沿着瞬时轴）为反映为反映 的变化情况，引入的变化情况，引入角加速度矢量角加速度矢量 。（2）线量和角量的关系）线量和角量的关系vrrP 基点基点O

6、瞬时轴瞬时轴刚体刚体旋转加速度旋转加速度 向轴加速度向轴加速度10 O刚体刚体vPrr定轴定轴参参考考方方向向z 2.定轴转动定轴转动（rotation about a fixed axis）转轴固定，转轴固定，。和和和和退化为退化为代数量代数量115.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律121314因为各质元角动量因为各质元角动量方向相同方向相同，所以合矢，所以合矢量的大小就是分矢量量的大小就是分矢量大小的直接相加大小的直接相加15165.3 转动惯量的计算转动惯量的计算dmrm转轴转轴 J 由质量对轴的分布决定。由质量对轴的分布决定。17例例1 求质量为求质量为m、半径为半径为R的均的

7、均匀圆环的转动惯量。匀圆环的转动惯量。轴与圆环轴与圆环平面垂直并通过圆心。平面垂直并通过圆心。解解:J J 是可加的，所是可加的，所以若为薄圆筒以若为薄圆筒（不计厚度）结（不计厚度）结果相同。果相同。ROORZdmdm18例例2 求质量为求质量为m、半径为半径为R、厚厚为为h 的均匀圆盘的转动惯量。轴的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。与盘平面垂直并通过盘心。解：解：取半径为取半径为r 宽为宽为dr 的薄圆环的薄圆环 可见，转动惯量与可见，转动惯量与 h 无关。所以，实心圆柱对无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是其轴的转动惯量也是mR2/2。rdr19例例3 求长为求长为l、质

8、量为质量为m 的均匀的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。细棒对图中不同轴的转动惯量。ABlXABl/2l/2CX解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm=dxdxxdxx同一刚体对不同的轴转动惯量不同！同一刚体对不同的轴转动惯量不同！20lR圆柱体圆柱体(沿几何轴沿几何轴)R薄圆环薄圆环(沿几何轴沿几何轴)R球球(沿直径沿直径)R1R2圆筒圆筒l一一.常用的几种转动惯量表示式常用的几种转动惯量表示式 21二二.计算转动惯量的几条规律计算转动惯量的几条规律1.对同一轴对同一轴J具有可叠加性具有可叠加性如如图图所所示示的的大大圆圆盘盘，质质量量为为M M，半半径径为为R R，对对于于过过圆圆心心o o点

9、点且且垂垂直直于于盘盘面面的的转转轴轴的的转转动动惯惯量量为为 。如如果果在在大大圆圆盘盘中中挖挖去去图图示示的的一一个个小小圆圆盘盘，其其质质量量为为m m，半半径径为为r r，且且2r=R2r=R。已已知知挖挖去去的的小小圆圆盘盘相对于过相对于过o o点且垂直于盘点且垂直于盘面的转轴的面的转轴的转动惯量为转动惯量为 ，则挖去小圆盘后剩余部分，则挖去小圆盘后剩余部分对于过对于过o o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为多少？为多少？答案：答案：22 2.平行轴定理平行轴定理刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平等于对通过质心的平行转轴的

10、转动惯量行转轴的转动惯量Jc加上刚体质量加上刚体质量m乘以两平行转乘以两平行转轴间距离轴间距离d的平方。的平方。23例3.对薄平板刚体的正交轴定理对薄平板刚体的正交轴定理 ri mi x z yi y xiO即即如图如图24 例例 求求对薄圆盘的一条直径的转动惯量，对薄圆盘的一条直径的转动惯量，已知已知圆盘圆盘 yx z 圆盘圆盘 R C m 解：解：思考思考下图中的下图中的 Jz 如何求？如何求？zlDmCaazm25用求导的方法用求导的方法积分加初始条件积分加初始条件刚体定轴转动的两类问题：刚体定轴转动的两类问题：5.4 转动定律应用举例转动定律应用举例26已知：已知：R=0.2m，m=1

11、kg，v0=0，h=1.5m，滑动，滑动，下落时间下落时间 t=3s。求：求：轮对轮对 O 轴轴 J=？解：解：动力学关系：动力学关系：对轮：对轮：T=TmgmaRGTN对对m：运动学运动学关系：关系：(3)(4)(1)(2)绳轮间无相对绳轮间无相对定轴定轴 ORthmv0=0 绳绳（不可伸长）（不可伸长）例例1.27(1)(4)联立解得：联立解得：分析结果：分析结果：h、m 一定，一定，J t，若若J=0，得，得 代入数据：代入数据：正确。正确。合理；合理；此为一种用实验测转动惯量的方法。此为一种用实验测转动惯量的方法。28例例2.一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆

12、盘），绳的两端分别视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量悬有质量 为为 m1 和和 m2 的物体的物体，m1 m2 ，滑轮的滑轮的 质量为质量为 m，半径为，半径为 R，所受的摩擦阻，所受的摩擦阻 力矩为力矩为 Mr，绳与滑轮间无相对滑动。，绳与滑轮间无相对滑动。试求：物体的加速度和绳的张力。试求：物体的加速度和绳的张力。已知：已知：m1，m2，m，R，Mr求：求：.29解解:研究对象研究对象 m1 ，m2 ，m 建立坐标，受力分析建立坐标，受力分析 如图如图.对各隔离体写出运动方程：对各隔离体写出运动方程：对对m1：对对m2：对对m：又：又：30联立求得：联立求得：注意：注意：当不计滑轮的质量当

13、不计滑轮的质量及摩擦阻力时：及摩擦阻力时：这便是中学所熟知的结果这便是中学所熟知的结果问：如何求角加速度？问：如何求角加速度？根据根据 可求得可求得31例例3 3 电电风风扇扇在在开开启启电电源源后后，经经过过 时时间间达达到到了了额额定定转转速速，此此时时相相应应的的角角速速度度为为 。当当关关闭闭电电源源后后，经经过过 时时间间风风扇扇停停转转。已已知知风风扇扇转转子子的的转转动动惯惯量量为为J J，并并假假定定摩摩擦擦阻阻力力矩矩和和电电机机的的电电磁磁力力矩矩均均为为常常量量，试试根根据据已知量推算电机的电磁力矩。已知量推算电机的电磁力矩。32在在 内内解：解：关闭电源后，关闭电源后，

14、经过经过 时间时间结果：结果：电磁电磁摩擦摩擦33例例4 4 转动着的飞轮的转动惯量为转动着的飞轮的转动惯量为J J，在，在时角速度为时角速度为 。此后飞轮经历制动过程。此后飞轮经历制动过程。阻力矩的大小与角速度的平方成正比，比阻力矩的大小与角速度的平方成正比，比例系数为例系数为 （为大于零的常数）。当为大于零的常数）。当 时，飞轮的角加速度时，飞轮的角加速度 从开始制从开始制动到动到 所经历的时间所经历的时间34解：解：（1 1）当）当 时，飞轮的角加速时，飞轮的角加速 度度时时（2 2）从开始制动到）从开始制动到 所经历的时间所经历的时间35设开始制动的时刻为设开始制动的时刻为36例例5

15、5 有有一一半半径径为为R R的的圆圆形形平平板板平平放放在在水水平平桌桌面面上上，平平板板与与水水平平桌桌面面的的摩摩擦擦系系数数为为 ，若若平平板板绕绕通通过过其其中中心心且且垂垂直直板板面面的的固固定定轴轴以以角角速速度度 开开始始旋旋转转，它它将将在在旋旋转几圈后停止？转几圈后停止？37解：解：38作业：作业：P P286 287286 287 5.2 5.9 5.12 5.15 5.2 5.9 5.12 5.15395.5 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律和角动量守恒定律讨论讨论力矩对时间的积累效应。力矩对时间的积累效应。质点系：质点系：对点：对点：

16、对轴：对轴：刚体：刚体：刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理40刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体定轴转动的角动量守恒定律：对刚体系，对刚体系，M外外z=0 时，时，此此时时角角动动量量可可在在系系统统内内部部各各刚刚体体间间传传递递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。定轴转动角动量守恒定律：定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。时，刚体对转轴的角动量保持不变。41滑冰运动员的旋转滑冰运动员的旋转mm茹科夫斯基转椅茹科夫斯基转椅42克服直升飞机机身

17、反转的措施：克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大装置尾浆推动大气产生克服机身气产生克服机身反转的力矩反转的力矩装置反向转动的双装置反向转动的双旋翼产生反向角动旋翼产生反向角动量而相互抵消量而相互抵消431.适用于刚体，非刚体和物体系。适用于刚体，非刚体和物体系。说明：说明：2.质点质点角动量角动量刚体刚体角动量角动量3.有刚体时有刚体时切忌切忌用用动量动量守恒，守恒，只能只能用用角角 动量动量守恒守恒44例例45465.6 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系一一.力矩的功力矩的功 力矩的空间积累效应：力矩的空间积累效应：力矩的功：力矩的功：d zx 轴轴rF47二二.定轴转动动能定

18、理定轴转动动能定理令令转动动能：转动动能：刚体定轴转刚体定轴转动动能定理：动动能定理：类比：类比：内内A内力矩内力矩？48三三.刚体的重力势能刚体的重力势能ChChiEp=0mi一个不太大的刚体的重力势能一个不太大的刚体的重力势能 =它的全部它的全部质量集中在质心时所具有的势能质量集中在质心时所具有的势能 ：刚体：刚体质心质心与重力势能零点（与重力势能零点（地面）地面）的高度差的高度差49四四.刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。将重力矩作的功用重力势能差表示：将重力矩作的功用重力势

19、能差表示：若刚体转动过程中只有重力矩作功，则机械能守恒若刚体转动过程中只有重力矩作功，则机械能守恒。50例例1已知：已知：如图示，如图示，。轴轴OCABl,ml/4求：求：杆下摆到杆下摆到 角时，角时，解：解：（杆（杆+地球）系统，地球）系统，(1)(2)(1)、(2)解得：解得：只有重力作功，只有重力作功，E守恒。守恒。角速度角速度轴对杆作用力轴对杆作用力均匀直杆质量为均匀直杆质量为m，长为，长为l，初始水平静止。初始水平静止。轴光滑，轴光滑，51 应用质心运动应用质心运动(3)(4)(5)(6)BCOAl,mNlNtNmgaCtaCllt定理求轴力：定理求轴力：52 由由(3)(4)(5)

20、(6)解得：解得：COABl,mNlNtNlt53m(黏土块黏土块)yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘（水平）（水平）R例例2 如图示，如图示，求：求：碰撞后的瞬刻盘碰撞后的瞬刻盘 P 转到转到 x 轴时盘轴时盘 解：解：m下落：下落：(1)mPhv对对（m+盘），盘），碰撞中重力对碰撞中重力对O 轴力矩可忽略，轴力矩可忽略，(2)已知：已知：h，R，M=2m，=60 系统角动量守恒：系统角动量守恒：54(3)对对（m+M+地球）系统，地球）系统，mmgOMR令令P、x 重合时重合时 EP=0，则：，则：(5)由由(3)(4)(5)得：得：由由(1)(2)(3)得：得：(4)只有重力作功

21、，只有重力作功，E守恒。守恒。（m+盘）角动量盘）角动量55例例3 3 质点与质量均匀的细棒相撞质点与质量均匀的细棒相撞(如图如图)解：过程解：过程1 质点与细棒相碰撞质点与细棒相碰撞 碰撞过程中系统对碰撞过程中系统对o 点点 的合力矩为的合力矩为设，完全非弹性碰撞设，完全非弹性碰撞求：棒摆的最大角度求：棒摆的最大角度所以，系统对所以，系统对o点的角动量守恒。点的角动量守恒。即，即，56细棒势能细棒势能质点势能质点势能过程过程2 质点、细棒上摆质点、细棒上摆 系统中包括地球，系统中包括地球，只有保守内力作功，所以机械能守恒。只有保守内力作功，所以机械能守恒。设末态为势能零点设末态为势能零点两式

22、联两式联立得解立得解57例例4 4 一一质质量量均均匀匀分分布布的的圆圆盘盘，质质量量为为M M，半半径径为为R R，放放在在一一粗粗糙糙水水平平面面上上，圆圆盘盘可可绕绕通通过过其其中中心心O O的的竖竖直直固固定定光光滑滑轴轴转转动动。开开始始时时，圆圆盘盘静静止止，一一质质量量为为m m的的子子弹弹以以水水平平速速度度V V0 0垂垂直直于于圆圆盘盘半半径径打打入入圆圆盘盘边边缘缘并并嵌嵌在在盘盘边上，求边上，求 （1 1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2 2）经过多少时间后，圆盘停止转动？（忽略子）经过多少时间后，圆盘停止转动？（忽略子 弹重力

23、造成的摩擦阻力矩）弹重力造成的摩擦阻力矩）58（1 1）解：解：子弹击中圆盘后，圆盘子弹击中圆盘后，圆盘所获得的角速度所获得的角速度子弹和圆盘在碰撞前子弹和圆盘在碰撞前后后角动量守恒角动量守恒59（2 2）经过多少时间后，圆盘停止转动）经过多少时间后，圆盘停止转动解一：解一：根据定轴转动定律根据定轴转动定律60解二：解二：对（圆盘对（圆盘+子弹）应用角动量定理子弹）应用角动量定理61例例5 5 一一匀匀质质细细棒棒长长为为2L2L，质质量量为为m m。以以与与棒棒长长方方向向相相垂垂直直的的速速度度V V0 0，在在光光滑滑水水平平面面内内平平动动。与与前前方方一一固固定定的的光光滑滑支支点点

24、O O发发生生完完全全非非弹弹性性碰碰撞撞。碰碰撞撞点点位位于于棒棒中中心心的的一一方方L/2L/2处处，如如图图所所示示。求求棒棒在在碰碰撞撞后后的的瞬瞬时时绕绕O O点点转转动动时时的的角角速度速度？62解：解：碰撞前后碰撞前后角动量角动量守恒。守恒。计算碰撞计算碰撞前前瞬时，杆对瞬时，杆对点点O O的角动量大小的角动量大小 棒上所有点棒上所有点角速度不角速度不同同但有相等的但有相等的平动平动速度。速度。在棒上任意处取质量元在棒上任意处取质量元特点：特点：质量元相对质量元相对O O点的点的角动量角动量大小大小63 棒上所有点棒上所有点平动平动速度速度不同不同，但有相等的但有相等的角速度角速

25、度。计算碰撞计算碰撞后后瞬时，杆对点瞬时，杆对点O O的的角动量大小角动量大小特点：特点：64例例6 6 一一质质量量为为m m长长为为L L的的均均匀匀细细棒棒OAOA可可绕绕通通过过其其一一端端的的光光滑滑轴轴O O在在竖竖直直平平面面内内转转动动，今今使使棒棒从从水水平平位位置置开开始始自自由由下摆，求细棒摆到竖直位置时下摆，求细棒摆到竖直位置时（1 1）质心）质心C C和端点和端点A A的线速度；的线速度；（2 2）质心）质心C C的线加速度。的线加速度。解法一（解法一（1 1）研究对象：细棒研究对象：细棒受力分析：受力分析：（不考虑）不考虑）力矩力矩零势面零势面动能定理：动能定理：=

26、065方向：向左方向：向左零势面零势面因竖直位置因竖直位置M=0 M=0 =0=0（2）66研究对象：细棒研究对象：细棒受力分析：受力分析：mg （不考虑（不考虑N）解法二解法二 用机械能守恒：（刚体只有重力矩作功）用机械能守恒：（刚体只有重力矩作功）解法三解法三 用运动方程用运动方程（转动定律）求解：（转动定律）求解：运动方程：运动方程：零势面零势面67例例7 7 空空心心圆圆环环可可绕绕光光滑滑的的竖竖直直固固定定轴轴ACAC自自由由转转动动，转转动动惯惯量量为为J J0 0，环环的的半半径径为为R R，初初始始时时环环的的角角速速度度为为 0 0。质质量量为为m m的的小小球球静静止止在

27、在环环内内最最高高处处A A点点，由由于于某某种种微微小小干干扰扰，小小球球沿沿环环向向下下滑滑动动，问问小小球球滑滑到到与与环环心心O O在在同同一一高高度度的的B B点点和和环环的的最最低低处处的的C C点点时时，环环的的角角速速度度及及小小球球相相对对与与环环的速度各为多少？的速度各为多少？68（设设环环的的内内壁壁和和小小球球都都是是光光滑滑的的，小小球球可可视为质点，环截面半径视为质点，环截面半径 ）小球受力：小球受力：环受力：环受力：重力、与轴、与小球重力、与轴、与小球之间作用力之间作用力对所有力的力矩分析可知：对所有力的力矩分析可知：两物体所受力两物体所受力关于关于轴轴 的力矩的

28、力矩均等于均等于零零。69对对B B点有点有:选选小小球球和和环环为为系系统统，由由于于他他们们在在运运动动过过程程中中，在在OOOO轴轴向向所所受受合合外外力力矩矩为为零零，OOOO轴轴方方向向角角动动量量守恒。守恒。70选（小球选（小球+环环+地球）地球）为系统，为系统，则系统机械则系统机械能守恒。能守恒。取过环心的水取过环心的水平面为势能零点。平面为势能零点。71对于对于C点有点有72例例8 8 如如图图所所示示，一一半半径径为为R R，质质量量为为m m的的水水平平圆圆台台，正正以以角角速速度度0 0绕绕通通过过其其中中心心竖竖直直且且固固定定的的光光滑滑轴轴转转动动，转转动动惯惯量量

29、为为 。台台上上原原站站有有两两人人，质质量量各各等等于于转转台台质质量量的的一一半半，一一人人站站于于台台边边A A处处，另另一一人人站站于于距距台台中中心心 的的B B处处。今今A A处处的的人人相相对对于于原原台台以以速速率率V V顺顺着着圆圆台台转转向向沿沿圆圆周周走走动动，同同时时B B处处的的人人相相对对于于原原台台以以速速率率2V2V逆逆圆台转向沿圆周走动。求圆台这时的角速度圆台转向沿圆周走动。求圆台这时的角速度。73例例8 8 解答解答（转台（转台+二人）对转二人）对转轴角动量守恒轴角动量守恒走动前走动前台台A A处人处人B B处人处人74走动后台A处人B处人 结果：75刚体定

30、轴转动与质点一维运动的对比刚体定轴转动与质点一维运动的对比位移位移角位移角位移速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度质点一维运动质点一维运动刚体定轴转动刚体定轴转动质量质量转动惯量转动惯量力力力矩力矩运动定律运动定律转动定律转动定律角动量角动量角动量角动量动量定理动量定理角动量定理角动量定理动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律动量动量动量动量76质点一维运动质点一维运动刚体定轴转动刚体定轴转动力的功力的功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能动能定理动能定理转动动能定理转动动能定理重力势能重力势能重力势能重力势能机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律77作业：作业：P287288 5.17 5.19 5.2078作业解答P225 227 4.2 794.3 80 4.4 814.9 当以物体的平衡位置为竖直y轴的坐 标原点，且物体的位置坐标为y时828384