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1、医药数学模型 1.1.1.1.药物动力学的房室模型药物动力学的房室模型药物动力学的房室模型药物动力学的房室模型 2.2.2.2.药物服用模型药物服用模型药物服用模型药物服用模型 3.3.3.3.传染病的传播模型传染病的传播模型传染病的传播模型传染病的传播模型中中 国国 药药 科科 大大 学学 言方荣言方荣 等等等等 编制编制编制编制 I know that it will happen,Because I believe in the certainty of chance.药物动力学的房室模型药物动力学的房室模型一、问题的背景与提出一、问题的背景与提出在医学中有关药物的作用过程一般认为，从给
2、在医学中有关药物的作用过程一般认为，从给药到产生药效，须经历三个主要过程药到产生药效，须经历三个主要过程:药剂学药剂学过程、药物动力学过程和药效动力学过程。过程、药物动力学过程和药效动力学过程。(如下图所示如下图所示)通过药剂学过程，药物转化为可吸收的状态。通过药剂学过程，药物转化为可吸收的状态。接着，经历药物动力学过程，药物被吸收进入接着，经历药物动力学过程，药物被吸收进入体循环，并在体内分布、代谢和排泄，使血液体循环，并在体内分布、代谢和排泄，使血液中有一定的药物浓度。当药物依度达到一定水中有一定的药物浓度。当药物依度达到一定水平时，药物就可能产生效应。平时，药物就可能产生效应。图图1 药
3、物作用的过程图药物作用的过程图 药剂学过程药剂学过程 剂剂 剂型的崩解剂型的崩解量量 活性物质的活性物质的 溶出溶出 药物动力学过程药物动力学过程 药物的吸收、药物的吸收、供吸收的药物供吸收的药物 分布、代谢分布、代谢 及排泄及排泄 药剂动力学过程药剂动力学过程 药物与受体药物与受体 血药浓度血药浓度 相互作用相互作用 效应效应 药物动力学药物动力学药物动力学：研究药物、毒物及其代谢物在体药物动力学：研究药物、毒物及其代谢物在体内的吸收、分布、代谢和排泄的动态过程及这内的吸收、分布、代谢和排泄的动态过程及这些过程与药理反应间的定量规律的学科分支。些过程与药理反应间的定量规律的学科分支。对于新药
4、研制、剂量确定、给药方案设计等药对于新药研制、剂量确定、给药方案设计等药理学和临床医学的发展都具有重要的指导意义理学和临床医学的发展都具有重要的指导意义和实用价值。和实用价值。房室模型房室模型(Compartment model)房室模型是药物动力学研究上述动态过程的基本房室模型是药物动力学研究上述动态过程的基本步骤之一。步骤之一。药物在人体的分布过程中，可近似地把人体看成药物在人体的分布过程中，可近似地把人体看成由有限个部分组成，每个部分称为一个房室。由有限个部分组成，每个部分称为一个房室。房室具有以下特点房室具有以下特点:(1)每个房室有固定的容量，并且每一时刻的每个房室有固定的容量，并且
5、每一时刻的药物浓度都是均匀分布的。药物浓度都是均匀分布的。(2)各房室间及各房室与外部环境间均可按照各房室间及各房室与外部环境间均可按照一定的规律进行药物交换。一定的规律进行药物交换。房室说明房室说明将一个机体分为几个房室，要看不同药物的吸将一个机体分为几个房室，要看不同药物的吸收、分布、排泄过程的具体情况以及研究对象收、分布、排泄过程的具体情况以及研究对象所要求的精度而定。所要求的精度而定。为了讨论方便，这里以为了讨论方便，这里以二二房室模型房室模型为例。为例。即将机体分为即将机体分为血液较丰富的中心室血液较丰富的中心室(包括心、肺、肾等器官包括心、肺、肾等器官)血液较贫乏的周边室血液较贫乏
6、的周边室(如肌肉组织等如肌肉组织等)。二、模型假设二、模型假设 (1)机体分为中心室和周边室，两室容积机体分为中心室和周边室，两室容积(即血即血液体积或药物分布容积液体积或药物分布容积)在过程中保持不变。在过程中保持不变。(2)药物从一室向另一室的转移速率及向体外药物从一室向另一室的转移速率及向体外的排泄速率与该室的血药浓度成正比。的排泄速率与该室的血药浓度成正比。(3)只有中心室与体外有药物交换，即药物从只有中心室与体外有药物交换，即药物从体外进入中心室，最后又从中心室排出体外。体外进入中心室，最后又从中心室排出体外。(4)相对于转移和排泄的数量来说，忽略掉药相对于转移和排泄的数量来说，忽略
7、掉药物的吸收数量。物的吸收数量。三、建模与分析三、建模与分析 对于二房室系统来说，中心室用对于二房室系统来说，中心室用l标记，标记，周边室用周边室用2标记，周围环境用标记，周围环境用0标记标记,xi(t)：第第i室的药量室的药量 Ci(t)：第：第i室的血药浓度室的血药浓度Vi：第第i室的容积室的容积 (i=1，2)，k12和和k21：两室之间的药物转移速率系数，两室之间的药物转移速率系数，k10：1室向体外排泄的速率系数，室向体外排泄的速率系数，f0(t):体外给药速率体外给药速率 图图2 二房室系统模型示意图二房室系统模型示意图 血液较丰富血液较丰富 血液较贫乏血液较贫乏 f0(t)中心室
8、中心室 k12 周边室周边室 C1(t),x1(t)C2(t),x2(t)V1 k21 V2 排泄排泄 k10 xi(t)=Ci(t)Vi (i=1,2)药物二房室系统数学模型药物二房室系统数学模型根据物质平衡法则，从根据物质平衡法则，从t到到t十十t时刻，第时刻，第i房室房室的药量增加量的药量增加量 xi=xi(t+t)xi(t)应等于其余各室和环境流入应等于其余各室和环境流入i房室的药量之和再房室的药量之和再减去从第减去从第i房室流向环境和其余各室的药量之和。房室流向环境和其余各室的药量之和。因此，我们有因此，我们有 x1(t+t)x1(t)=tk21x2(t)f0(t)k12x1(t)k
9、10 x1(t)x2(t+t)x2(t)=tk12x1(t)k21x2(t)两边除以两边除以t，再令，再令t0 可得可得 dx1/dt=k12x1k10 x1k21x2f0 dx2/dt=k12x1k21x2由于由于xi(t)=Ci(t)Vi,i=1,2,整理可得到整理可得到 dC1/dt=(k12k10)C1+(V2/V1)k21C2+f0/V1 dC2/dt=(V1/V2)k12C1 k21C2 (1)这是线性常系数的非齐次微分方程组，这是线性常系数的非齐次微分方程组，它对应的齐次方程的通解它对应的齐次方程的通解 C1(t)=A1e-atB1e-bt，C2(t)=A2e-atB2e-bt
10、其中其中a，b满足满足 a+b=k12k10+k21，ab=k21k10 不同给药方式的讨论不同给药方式的讨论 下面，针对几种常见的给药方式和初始下面，针对几种常见的给药方式和初始条件，具体给出方程条件，具体给出方程(1)的解。的解。l.快速静脉注射模型快速静脉注射模型 这种注射可理解为在初始时刻快速将剂量这种注射可理解为在初始时刻快速将剂量D的药物注入中央室，于是初始条件为的药物注入中央室，于是初始条件为:f0(t)=0,C1(0)=D/V1,C2(0)=0，公式公式(1)的解为的解为 C1(t)=D(ak21)/V1(ab)e-at D(bk21)/V1(ba)e-bt，C2(t)=Dk1
11、2/V2(ba)(e-ate-bt)2.恒速静脉注射恒速静脉注射(点滴点滴)模型模型某些药物因溶解度低、刺激性过大，不宜快速某些药物因溶解度低、刺激性过大，不宜快速注射。则采用恒速静脉注射注射。则采用恒速静脉注射(点滴点滴)。初始条件为初始条件为:f0(t)=k0,C1(0)=0,C2(0)=0，那么那么(1)的解为的解为 C1(t)=A1e-atB1e-bt+k0/k10V1，C2(t)=A2e-atB2e-bt+k12k0/k21k10V2其中其中 A1=k0(k10b)/V1k10(ab),B1=k0(ak10)/V1k10(ab)A2=V1(k12+k10a)/k21V2A1,B2=V
12、1(k12+k10b)/k21V2B1 一旦在一旦在t=T时停止滴注时停止滴注,那么那么C1(t)、C2(t)在在t T后将按指数规律衰减并趋于零。后将按指数规律衰减并趋于零。3.口服或肌肉注射模型口服或肌肉注射模型口服或肌肉注射与静脉注射的重要区别之一，口服或肌肉注射与静脉注射的重要区别之一，就表现在药物的吸收过程，即在给药部位和药就表现在药物的吸收过程，即在给药部位和药物进入中心室之间有一个将药物吸收入血液的物进入中心室之间有一个将药物吸收入血液的过程。这就相当于有一个吸收室，如图过程。这就相当于有一个吸收室，如图3所示。所示。图图3 口服或肌肉注射时口服或肌肉注射时药物的吸收模式药物的吸
13、收模式 吸收室吸收室 中心室中心室 x0(t)f0=k01x0 x1(t)药物进入中心室的速率药物进入中心室的速率记记x0(t)为吸收室的药量，为吸收室的药量，k01为药物由吸收室为药物由吸收室进入中心室的转移速率系数，进入中心室的转移速率系数，于是有于是有:dx0/dt=k01x0 x0(0)=D 其中其中D是给药量。是给药量。此时药物进入中心室的速率此时药物进入中心室的速率 f0(t)=Dk01exp(k01t)那么那么(1)的解为如下形式的解为如下形式:C1(t)=Ae-atBe-bt+Eexp(-k01t)C2(t)=Fe-atGe-bt+Hexp(-k01t)借助待定系数法和初始条件
14、借助待定系数法和初始条件 C1(0)=C2(0)=0，可得系数可得系数A、B、E、F、G、H的值。的值。四、参数估计四、参数估计 从上可知，中心室的血药浓度从上可知，中心室的血药浓度C1(t)与转移速与转移速率系数率系数k12、k21，排除速率系数，排除速率系数k10、房室容积、房室容积V1、V2以及输入参数以及输入参数D、k0等因素有关等因素有关而房室模型恰恰是通过对而房室模型恰恰是通过对C1(t)的测量来确定一的测量来确定一些对药理学及临床医学最为重要的参数，如转些对药理学及临床医学最为重要的参数，如转移速率系数移速率系数kij，特别是以中心室向体外排除的，特别是以中心室向体外排除的速率系
15、数速率系数k10，显然这是微分方程的反问题，或，显然这是微分方程的反问题，或称为系统辩识的问题。称为系统辩识的问题。下面以下面以快速静脉注射给药方式快速静脉注射给药方式为例来介绍估计为例来介绍估计诸参数的方法。诸参数的方法。参数估计过程参数估计过程从中心室采取血样，并获得血药浓度从中心室采取血样，并获得血药浓度 C1(t1),C1(t2),C1(t3)，C1(tn)我们将参数估计过程分成两步我们将参数估计过程分成两步:(1)先计算先计算a、b、A、B，其中，其中:A=D(ak21)/V1(ab)，B=D(bk21)/V1(ba)(2)再确定再确定k12、k21、k10。1.计算计算a、b、A、
16、B 因为因为C1(t)=Ae-atBe-bt，不妨设，不妨设a0为常数为常数,k值取决于药品的种类。值取决于药品的种类。其解为其解为 y(t)=y0 e-kt，t 0，T)当当t=T时，由于经过时间间隔时，由于经过时间间隔T，患者第二次服，患者第二次服药，剂量仍为药，剂量仍为y0，所以，所以t=T时时 y(T)=y0+y0e-kT 则当则当t T，2T)时，体内药品浓度时，体内药品浓度:y(t)=(y0+y0e-kT)e-kt,t T，2T)当当t=2T时，患者第三次服药仍为时，患者第三次服药仍为y0，所以，所以 y(2T)=y0十十(y0+e-kT)e-kT=y0(1+e-kT+e-2kT)
17、则则 y(t)=y0(1+e-kT+e-2kT)e-kt,t 2T，3T)以此类推，则当以此类推，则当t=nT时，体内药品浓度时，体内药品浓度 y(nT)=y0(1+e-kT+e-2kT+e-nkT)上式右边为一等比数列之和，求和得上式右边为一等比数列之和，求和得 y(nT)=y0(1-e-(n+1)kT)/(1-e-kT)则则 y(t)=y0(1-e-(n+1)kT)/(1-e-kT),t nT，(n+1)T当当n时时,lim n y(nT)=y0/(1-e-kT)药物剂量的确定药物剂量的确定如果治疗患者病情所需药物剂量水平接近如果治疗患者病情所需药物剂量水平接近yc，我，我们近似地有们近似
18、地有 yc=y0/(1-e-kT)。如果间隔时间如果间隔时间T为确定量，那么剂量为确定量，那么剂量y0可由可由 y0=(1-e-kT)yc 所确定，所确定，体内药品浓度的分布，可由图体内药品浓度的分布，可由图1说明，由图说明，由图1可可看出患者多次服药后，体内药品浓度缓慢趋于看出患者多次服药后，体内药品浓度缓慢趋于极限值极限值yc。图图1 体内药物浓度的分布图体内药物浓度的分布图 浓度浓度 yc 方法方法2 方法方法1 y0 0 T 2T 3T 4T 5T 6T t(时间时间)服药方法服药方法2假设假设 患者开始服药，就采用剂量患者开始服药，就采用剂量yc(身体所身体所需量需量)且每间隔时间且
19、每间隔时间T继续服药，使体内药品继续服药，使体内药品浓度达到浓度达到yc，若药品浓度变化仍遵循若药品浓度变化仍遵循dy/dt=ky的规律的规律那么那么t0，T)时，体内药品浓度时，体内药品浓度 y(t)=yc e-kT 当当t=T时，根据假设，需加剂量时，根据假设，需加剂量y1，使，使 y1十十yce-kT=yc,所以所以 y1=(1-e-kT)yc 由上式可知，每间隔时间由上式可知，每间隔时间T,患者服用剂量为患者服用剂量为y1(事实上事实上y1=y0)，药品在体内分布由，药品在体内分布由 图图1标标出。出。图图1 体内药物浓度的分布图体内药物浓度的分布图 浓度浓度 yc 方法方法2 方法方
20、法1 y0 0 T 2T 3T 4T 5T 6T t(时间时间)服药方法服药方法2的特点的特点优点：使药品在体内浓度从一开始就满足所需优点：使药品在体内浓度从一开始就满足所需水平水平缺点：以大的初始剂量作为开始，可能会使身缺点：以大的初始剂量作为开始，可能会使身体不适应，产生副作用体不适应，产生副作用通常采用的方法：通常采用的方法：初始时刻，令患者服药剂量为初始时刻，令患者服药剂量为2y0，以后每间隔时间以后每间隔时间T，继续服药，继续服药y0。进一步讨论进一步讨论 若患者体内药品浓度的减少遵守规律若患者体内药品浓度的减少遵守规律 dy/dt=ke y （k为正常量），为正常量），仍以时间间隔
21、仍以时间间隔T为周期服药，在第二次服药前，为周期服药，在第二次服药前，浓度浓度yl由下式给出由下式给出 yl=ln(kTe-y0)在第三次服药前在第三次服药前 y2=lnkT(le-y0)+e-2y0以此类推，在第以此类推，在第n十十l次服药前次服药前:yn=lnkT(l+e-y0+e-(n-1)y0)+e-ny0则当则当ynyc时时 T=e-yc(le-y0)/k 由该式我们也可以确定服药时间间隔。由该式我们也可以确定服药时间间隔。传染病的传播模型传染病的传播模型 问题背景问题背景随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花
22、等曾经肆类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制,但是在世界的某些地区，特别是贫穷的发展中但是在世界的某些地区，特别是贫穷的发展中国家，还不时出现传染病流行的情况。国家，还不时出现传染病流行的情况。同时，一种更为险恶的传染病同时，一种更为险恶的传染病爱滋病，则爱滋病，则在全球范围内蔓延。在全球范围内蔓延。2000年底，世界各地的艾年底，世界各地的艾滋病患者和病毒携带者高达滋病患者和病毒携带者高达3610万人，全球死万人，全球死于艾滋病的总人数已达到于艾滋病的总人数已达到2180万。万。长期以来，建立数学模型来描述传染病的传
23、播长期以来，建立数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等等，一直是各国关注的课题。病高潮的到来等等，一直是各国关注的课题。问题提出问题提出被传染的人数与哪些因素有关被传染的人数与哪些因素有关?如何预报传染病高潮的到来了如何预报传染病高潮的到来了?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变人数大致不变?传染病的传播涉及因素很多，不可能通过一次传染病的传播涉及因素很多，不可能通过一次简单的假设就能建立起完善的数学模型简单的假设就能建立起完善的数学模型这里的方法是
24、，先做出最简单的假设，看看会这里的方法是，先做出最简单的假设，看看会得到什么结果，然后针对不合理或不完善处，得到什么结果，然后针对不合理或不完善处，逐步修改和增加假设，得到比较满意的模型。逐步修改和增加假设，得到比较满意的模型。传染病模型一传染病模型一 模型一假设模型一假设 1)每个病人在单位时间内传染的人数为常数每个病人在单位时间内传染的人数为常数k0 2)一人得病后，经久不愈，人在传染期内不一人得病后，经久不愈，人在传染期内不 会死亡。会死亡。模型一的建立模型一的建立 记时刻记时刻t的得病人数为的得病人数为i(t)，开始时有，开始时有i0个传染个传染病人，则在病人，则在t,t+t时间内增加
25、的病人数为时间内增加的病人数为 i(t十十t)i(t)=k0i(t)t于是得于是得 di(t)/dt=k0i(t)i(0)=i0 （1）其解为其解为 i(t)=i0 模型一的评注模型一的评注 该结果表明，病人人数将按指数规律无限增加，该结果表明，病人人数将按指数规律无限增加，当当t时，时，i(t)，显然与实际不符。，显然与实际不符。事实上，一个地区的总人数大致可视为常数事实上，一个地区的总人数大致可视为常数(不考虑传染病传播时期出生和迁移的人数不考虑传染病传播时期出生和迁移的人数)。在传染病传播期间，一个病人单位时间能传染在传染病传播期间，一个病人单位时间能传染的人数的人数k0则是在改变的。在
26、初期，则是在改变的。在初期，k0较大，随较大，随着病人的增多，健康者减少，被传染机会也将着病人的增多，健康者减少，被传染机会也将减少，于是减少，于是k0就会变小。就会变小。所以应该对模型一的假设进行修改。所以应该对模型一的假设进行修改。传染病模型二传染病模型二 记时刻记时刻t的健康者人数为的健康者人数为s(t)，当总人数不变，当总人数不变时，时，k0应随应随s(t)减少而变小。减少而变小。模型二假设模型二假设 1)总人数为常数总人数为常数n，且，且 i(t)+s(t)=n 2)单位时间内一个病人能传染的人数与当时健单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为康者人数成正比，
27、比例系数为k(传染强度传染强度)。3)一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。死亡。模型二的建立模型二的建立据假设据假设2)，方程，方程(1)中的中的k0应变为应变为ks(t),即即 di(t)/dt=ks(t)i(t)i(0)=i0 (2)将将s(t)=n-i(t)代入上式代入上式,得得 di(t)/dt=ki(t)n-i(t)i(0)=i0 (3)其解为其解为 i(t)=n/1+(n/i0-1)e-knt (4)传染病曲线传染病曲线 i(t)t曲线见图曲线见图1，这个模型可用来预报传染，这个模型可用来预报传染病较快的疾病前期传染病高峰到来的时间，病
28、较快的疾病前期传染病高峰到来的时间，医学上称医学上称di/dtt为传染病曲线。它反映了传为传染病曲线。它反映了传染病人的变化率与时间的关系，如图染病人的变化率与时间的关系，如图2所示。所示。图图1 i(t)t曲线曲线 图图2 di/dtt 传染病曲线传染病曲线传染病曲线传染病曲线 i(t)di/dt n n/2 i0 0 t1 t 0 t1 t传染病高峰时刻传染病高峰时刻由由 i(t)=n/1+(n/i0-1)e-knt 可得可得 di(t)/dt=kn2(n/i0-1)e-knt/1+(n/i0-1)e-knt2令令 d2i/dt2=0,得得di(t)/dt的极大值点为的极大值点为 t1=l
29、n(n/i0-1)/kn由此可见，当传染强度由此可见，当传染强度k或或n增加时增加时,t1都将变都将变小，即传染病高峰来得快，这与实际吻合。小，即传染病高峰来得快，这与实际吻合。此处的此处的k可由经验和统计数据估计可由经验和统计数据估计模型二的评注模型二的评注 由由(4)式式:i(t)=n/1+(n/i0-1)e-knt 当当t时，时，i(t)n。这意味着最终人人都将。这意味着最终人人都将被传染，显然这与实际不符被传染，显然这与实际不符其原因是其原因是 假设假设3)不合理，应进一步改进。不合理，应进一步改进。传染病模型三传染病模型三有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，有些传染病如伤风、痢疾
30、等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人康者，健康者还可以被感染再变成病人模型三假设模型三假设1)总人数为常数总人数为常数n，且，且 i(t)+s(t)=n 2)单位时间内一个病人能传染的人数与当时健单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为康者人数成正比，比例系数为k(传染强度传染强度)。3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为病人每天被治愈的占病人总数的比例为，称称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。康者。考虑到条件考虑到条件3，
31、模型二的，模型二的(2)式应改为式应改为 di(t)/dt=ks(t)i(t)-i(t)i(0)=i0 (5)将将s(t)=n-i(t)代入上式代入上式,得得 di(t)/dt=ki(t)n-i(t)-i(t)i(0)=i0 (6)其解为其解为 i(t)=(kt+n/i0)-1 (k=)和和i(t)=k/(k-)+(n/i0-k/(k-)exp(-(k-)t)-1 (k)i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数i00ti 11-1/i0t 1di/dt 0 传染病模型四传染病模型四大多数传染病如天花、流感、肝炎
32、、麻疹等治大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者，也非病人康者，也非病人(已感染者已感染者)，他们已经退出传，他们已经退出传染系统，称为移出者染系统，称为移出者 我们将人员分成我们将人员分成3类类:第一类是传染者第一类是传染者(i)类类;第二类是健康者第二类是健康者(易受传染者易受传染者)(s)类类;第三类是移出者第三类是移出者(r)类，类，(包括患病死去的人、痊愈后具有长期免包括患病死去的人、痊愈后具有长期免疫力的人以及在痊愈以前被隔离起来的人疫力的人以及在痊愈以前被隔离起来的人)令令i(t)，s(t)和和
33、r(t)分别表示在时刻分别表示在时刻t的第一、二、的第一、二、三类的人数。三类的人数。模型四的假设模型四的假设 1)总人数为常数总人数为常数n，则，则 i(t)十十s(t)十十r(t)=n (5)2)单位时间内一个病人能传染的人数与当时健单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为康者人数成正比，比例系数为k(传染强度传染强度)。3)单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人数成正比，比例系数为数成正比，比例系数为a(恢复系数恢复系数)。模型四的建立模型四的建立由假设由假设3)，有，有 dr/dt=ai(t)(6)由于引入了由于引入了r(t
34、)，则模型，则模型2的方程的方程(2)式应改为式应改为 di(t)/dt=ks(t)i(t)-dr/dt (7)上式表示单位时间内病人人数的增加应等于被上式表示单位时间内病人人数的增加应等于被传染的人数减去病愈的人数。传染的人数减去病愈的人数。从从(5)(7)式中消去式中消去di/dt，并设，并设 r(0)=0，s(0)=s0。得得 ds/dt=-ks(t)i(t)dr/dt=ai(t)r(0)=0,s(0)=s0 i(t)十十s(t)十十r(t)=n (8)模型四的求解模型四的求解记记p=a/k，称为特征指标，对同一地区，同一，称为特征指标，对同一地区，同一种传染病种传染病,p是常数。由方程
35、是常数。由方程(8)可得可得 ds/dt=-(1/p)s(t)(dr/dt)其解为其解为 s(t)=s0e-(1/p)r(t)s01-(1/p)r(t)+(1/2p2)r2(t)于是于是 dr/dt=ai(t)=an-r(t)-s(t)a(n-s0)+(s0/p-1)r(t)-(s0/2p2)r2(t)再解上式再解上式,经过整理简化得经过整理简化得 lim tr(t)(2p2/s0)(s0/p1)上式表明上式表明:当当s0很小很小(p)时，才存在传染问题。时，才存在传染问题。今设今设s0=p十十h(h0,只有这时才有传染问题只有这时才有传染问题)，且且hp,则则 lim tr(t)2p2/(p
36、+h)(h/p)2h 因因lim r(t)表示最终免疫的人数，也即最终痊表示最终免疫的人数，也即最终痊愈的人数。显然，这也就是传染病传染的人数，愈的人数。显然，这也就是传染病传染的人数，于是由上式可得下列结论于是由上式可得下列结论 模型四的评注模型四的评注 (1)对于同一地区，同一传染病所传染的人数对于同一地区，同一传染病所传染的人数大体上是常数大体上是常数2h，该结论与统计结果一致。，该结论与统计结果一致。(2)当恢复系数当恢复系数a变大，传染强度变大，传染强度k变小时，变小时，p=a/k变大，相应变大，相应h变小变小,从而传染病传染的人从而传染病传染的人数数2h也就减小。也就减小。(3)由于由于s0可视为总人数，所以传染病传染的可视为总人数，所以传染病传染的人数是人数是p以上人数以上人数h的两倍。的两倍。