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1、1.4.2 正、余弦函数的图像和性质正、余弦函数的图像和性质 1.正弦、余弦函数的图象和性质 y=sinx (x R)y=cosx (x R)定义域值域周期性x Ry -1,1 T=2 xyO1-1y=y=cosxcosxy y-1xO12 23 34 45 56 6-2-2-3-3-4-4-5-5-6-6-y=y=sinxsinx2.2.周期函数的定义周期函数的定义 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果存在一个，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。对于一个周期函数f(x
2、),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。可知：可知：函数函数y=sinsinx和和y=coscosx都是周期都是周期函数，函数，2 2k(kZ(kZ且且 k0)k0)都是它的都是它的周期，最小正周期是周期，最小正周期是 22。由由sin(sin(x+2+2k)=)=sinsinx ;cos(cos(x+2+2k)=)=coscosx(kZkZ)注意：（1）周期T为非零常数。（2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都成立。（3）周期函数f(x)的定义域必为无界数集（至少一端是无界的）（4）周期函数不一定有最小正周期。举例：f(x)=
3、1(xR),任一非零实数都是函数f(x)=1的周期，但在正实数中无最小值，故不存在最小正周期。的最小正周期的最小正周期例例1 1 求下列函数的周期：求下列函数的周期：（1）y=3cosx;xRxR（2）y=sin2x，xR R；3.例题讲解例题讲解 例例1 1、已已知知定定义义在在R R上上的的函函数数f(xf(x)满满足足f(xf(x2)2)f(xf(x)=0)=0，试试判判断断f(xf(x)是是否否为周期函数？为周期函数？4.周期函数应用周期函数应用 结结论论：定定义义在在R R上上的的函函数数f(xf(x)满满足足f(xa)f(x)=0或或f(xa)=-f(x)则则f(x)是周期为是周期
4、为2 2a的周期函数的周期函数.例例2 2、已知定义在、已知定义在R R上的函数上的函数f(xf(x)满足满足f(xf(x1)=1)=f(xf(x1)1)，且且当当x0 x0，22时时，f(xf(x)=x)=x4 4，求，求f(10)f(10)的值的值.结结论论：定定义义在在R R上上的的函函数数f(xf(x)满满足足f(xa)-f(x-b)=0或或f(xa)=f(x-b)则则f(x)是是周期为周期为a+b的周期函数的周期函数.y y-1xO12 23 34 45 56 6-2-2-3-3-4-4-5-5-6-6-y=y=sinxsinxxyO1-1y=y=cosxcosx奇偶性 一般的，如果
5、对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。奇函数的图像关于原点对称。一般的，如果对于一个定义域关于原点关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 sin(-x)=-sinx(x R)y=sinx(x R)是奇函数cos(-x)=cosx(x R)y=cosx(x R)是偶函数定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数的单调性 y=sinx (x R)xyo-1234-2-
6、31 x0 sinx-1 0 1 0-1 余弦函数的单调性 y=y=cosxcosx (x x R R)x0cosx-1 0 1 0-1yxo-1234-2-31单调性y=cosx在每一个闭区间(2k-1),2k(kZ)上都是增函数,其值从-1增大到1；在每一个闭区间2k，(2k+1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到-1.y=sinx在每一个闭区间 +2k,+2k(kZ）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 +2k，+2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到-1.例例3 3 求求下下列列函函数数的的最最大大值值和和最最小小值值，并并写出取最大值、最小值时自变量写出取最大值、最小
7、值时自变量x x的集合的集合 （1 1）y=y=cosxcosx1 1，xRxR；（2 2）y=y=3sin2x3sin2x，xRxR.例例4 4 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小:例例5 5 求函数求函数 ，xx22，22的单调递增区间的单调递增区间.当 cosx=1 即 x=2k（kZ)时，y 取到最大值 3 .解：解：由 cosx0 得：-+2k x +2k （kZ)函数定义域为-+2k，+2k 由 0cosx1 12 +13 函数值域为 1，3练：求函数y=2 +1 的定义域、值域，并求当x为何值时，y取到最大值，最大值为多少？正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇函数偶函数 +2
8、k,+2k,k Z单调递增 +2k,+2k,k Z单调递减 +2k,2k,k Z单调递增2k,2k +,k Z单调递减函数余弦函数正弦函数求函数的单调区间：1.直接利用相关性质2.复合函数的单调性3.利用图象寻找单调区间奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间）正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 例例2 2 求下列函数的单调区间：(1)y=2sin(-x)解：解：y=2sin(-x)=-2sinx函数在函数在 上单调递减上单调递减 +2k,+2k,k Z函数在函数在 上单调递增上单调递增 +2k,+2k,k Z(2)y=3sin(2x-)单调增区间为单调增区间为所以：所以：解：解：单调减区间为单调减区间为 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 解：解：(4)解：解：定义域定义域(3)y=(tan )sin2x单调减区间为单调减区间为单调增区间为单调增区间为当当即即为减区间。为减区间。当当即即为增区间。为增区间。正弦、余弦函数的奇偶性、单调性(5)y=-|sin(x+)|解：令x+=u,则 y=-|sinu|大致图象如下：y=sinuy=|sinu|y=-|sinu|uO1y-1减区间为增区间为即：y为增函数y为减函数