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1、关于周期函数现在学习的是第1页，共27页 1.正弦、余弦函数的图象和性质 y=sinx (x R)y=cosx (x R)定义域值域周期性x Ry -1,1 T=2 xyO1-1222222222222y=cosxy=cosxy y-1xO12233445566-2-2-3-3-4-4-5-5-6-6-y=sinxy=sinx现在学习的是第2页，共27页2.2.周期函数的定义周期函数的定义 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果存在一个，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
2、对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。现在学习的是第3页，共27页可知：可知：函数函数y=sin=sinx和和y=cos=cosx都是周期函都是周期函数，数，2 2k(kZ(kZ且且 k0)k0)都是它的周期，都是它的周期，最小正周期是最小正周期是 22。由由sin(sin(x+2+2k)=sin)=sinx ;cos(cos(x+2+2k)=cos)=cosx(kZ)(kZ)现在学习的是第4页，共27页注意：（1）周期T为非零常数。（2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都成立。（3）周期函数f(x)的定
3、义域必为无界数集（至少一端是无界的）（4）周期函数不一定有最小正周期。举例：f(x)=1(xR),任一非零实数都是函数f(x)=1的周期，但在正实数中无最小值，故不存在最小正周期。现在学习的是第5页，共27页sin(cos(2yAwxyAwxxRT及的最小正周期为sin(cos(yAwxyAwx及()sin()sin()222sin()()f xAxAxAxf x 现在学习的是第6页，共27页例例1 1 求下列函数的周期：求下列函数的周期：（1）y=3cosx;xRxR（2）y=sin2x，xR R；1(3)2sin(),26yxxR3.例题讲解例题讲解24现在学习的是第7页，共27页1sin
4、3123sin24yxxRyxxR课堂练习：求下列函数的周期（），（）（），现在学习的是第8页，共27页1y=cos2x+sin2x练：求证()的周期为()cos2()sin2(f xxx 证明：()fx的 周 期 为cos(22)sin(22xx cos2sin2()xxf x现在学习的是第9页，共27页44(2sincos2yxx)的周期为44()sin(cos222fxxx证明：)（)44cossin()xx f x=()2f x的周期为现在学习的是第10页，共27页(3)sincos2yxx的周期为()sin(cos222cossin()()2f xxxxxf xf x证明：)（)=的
5、周期为。现在学习的是第11页，共27页 例例1 1、已知定义在、已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(xf(x2)2)f(x)=0f(x)=0，试判断，试判断f(x)f(x)是否为周是否为周期函数？期函数？4.周期函数应用周期函数应用 结论：定义在结论：定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(xa)f(x)=0或或f(xa)=-f(x)则则f(x)是周期为是周期为的周期函数的周期函数.现在学习的是第12页，共27页 例例2 2、已知定义在、已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(xf(x1)=f(x1)=f(x1)1)，且当，且当x0
6、x0，22时，时，f(x)=xf(x)=x4 4，求，求f(10)f(10)的值的值.结论：定义在结论：定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(xa)-f(x-b)=0或或f(xa)=f(x-b)则则f(x)是是周期为周期为的周期函数的周期函数.现在学习的是第13页，共27页y y-1xO12233445566-2-2-3-3-4-4-5-5-6-6-y=sinxy=sinx(,0)k所 有 的 对 称 中 心 坐 标 为()2xkkZ所有的对称轴方程为现在学习的是第14页，共27页xyO1-1222222222222y=cosxy=cosx(,0)2k所有对称中心坐标()xk
7、kZ所有的对称轴方程为现在学习的是第15页，共27页奇偶性 一般的，如果对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。奇函数的图像关于原点对称。一般的，如果对于一个定义域关于原点关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。现在学习的是第16页，共27页 1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 sin(-x)=-sinx(x R)y=sinx(x R)是奇函数cos(-x)=cosx(x R)y=cosx(x R)是偶函数定义
8、域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性现在学习的是第17页，共27页 正弦函数的单调性 y=sinx (x R)xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x0 sinx-1 0 1 0-122322,2,()22kkkZ增区间为32,2,()22kkkZ减区间为现在学习的是第18页，共27页 余弦函数的单调性 x0cosx-1 0 1 0-1yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 222,2,()kkkZ增区间为2,2,()kkkZ 减区间为现在学习的是第19页，共27页单调性y=cosx在每一个闭区间(2k-1),2k(kZ)上都是增函数,其值从
9、-1增大到1；在每一个闭区间2k，(2k+1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到-1.y=sinx在每一个闭区间 +2k,+2k(kZ）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 +2k，+2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到-1.223 2 2 现在学习的是第20页，共27页 例例3 3 求下列函数的最大值和最小值，并求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量写出取最大值、最小值时自变量x x的集合的集合 （1 1）y=cosxy=cosx1 1，xRxR；（2 2）y=y=3sin2x3sin2x，xR.xR.现在学习的是第21页，共27页 例例4 4 比较下列
10、各组数的大小比较下列各组数的大小:(1)sin()sin();1810与2317(2)cos()cos().5与 例例5 5 求函数求函数 ，xx22，22的单调递增区间的单调递增区间.1sin()23yx现在学习的是第22页，共27页21cos2(2)sin()14(3)2cos5sin4xyxyxyxx2、求下列函数的最大值，并找出最大值时 的集合（）1cos(2)3sin(3)lgsinyxyxyx 练习1、求下列函数的定义域、值域（）现在学习的是第23页，共27页当 cosx=1 即 x=2k（kZ)时，y 取到最大值 3 .由 cosx0 得：-+2k x +2k （kZ)函数定义域
11、为-+2k，+2k 2 2 2 2 由 0cosx1 12 +13 函数值域为 1，3xcos求函数y=2 +1 的定义域、值域，并求当x为何值时，y取到最大值，最大值为多少？xcos现在学习的是第24页，共27页 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇函数偶函数 +2k,+2k,k Z2 2 单调递增 +2k,+2k,k Z2 23 单调递减 +2k,2k,k Z单调递增2k,2k +,k Z单调递减函数余弦函数正弦函数求函数的单调区间：1.直接利用相关性质2.复合函数的单调性3.利用图象寻找单调区间奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间）现在学习的是第25页，共27页 正弦、余弦函数的奇偶
12、性、单调性 求下列函数的单调区间：(1)y=2sin(-x)解：解：y=2sin(-x)=-2sinx函数在函数在 上单调递减上单调递减 +2k,+2k,k Z2 2 函数在函数在 上单调递增上单调递增 +2k,+2k,k Z2 23 (2)y=3sin(2x-)4 222242kxk838 kxk2324222 kxk8783 kxk单调增区间为单调增区间为83,8 kk所以：所以：解：解：单调减区间为单调减区间为87,83 kk现在学习的是第26页，共27页 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 解解：(4)431cos(2121log xy解解：定义域定义域2243122 kxk(3)y=(tan )89 sin2x189tan0 单调减区间为单调减区间为4,4 kk单调增区间为单调增区间为43,4 kk kxk243122 Zkkxk ,436496 当当即即为减区间为减区间。22432 kxk3366,44kxkkZ 当当即即为增区间为增区间。Zkkxk ,436496 现在学习的是第27页，共27页