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1、（4）.对数函数的导数对数函数的导数:（5）.指数函数的导数指数函数的导数:（3）.三角函数三角函数：（1）.常函数：常函数：(C)/0,(c为常数为常数)；（2）.幂函数幂函数：(xn)/nxn 1一复习回顾：一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式函数函数 y=f(x)在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f(x 1)f(x 2)，则则 f(x)在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f(x 1)f(x 2)，则则 f(x)在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x)在在G上是增函
2、数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x)在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间G=(a,b)二、复习引入二、复习引入:观观 察察:下图下图(1)表示高台跳水运动员的高度表示高台跳水运动员的高度 h 随时间随时间 t 变化变化的函数的函数 的图象的图象,图图(2)表示高台跳水表示高台跳水运动员的速度运动员的速度 v 随时间随时间 t 变化的函数变化的函数 的图的图象象.运动员从起跳到最高点运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO 运动员从起跳到运动员从起跳
3、到最高点最高点,离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t 的增加而增加的增加而增加,即即h(th(t)是增函数是增函数.相应相应地地,从最高点到入水从最高点到入水,运动员运动员离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t t的的增加而减少增加而减少,即即h(th(t)是减函数是减函数.相应地相应地,(1)(1)(2)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的关系数正负的关系.在某个区间在某个区间(a,b)内内,如果如果 ,那么函数那么函数 在这个区间内单调递增在这个区间内单调递增;如果
4、如果 ,那么那么函数函数 在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减.yx0abc 观察曲线上升的时候观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的每一点的切线的斜率的大小大小;曲线下降的时候曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小每一点的切线的斜率的大小,你你发现发现了什么规律了什么规律?yx0abc考察函数的考察函数的单调性单调性与与导数导数的关系：的关系：2yx0.观察函数观察函数y=x2 24 4x3 3的图象：的图象：总结总结:该函数在区间该函数在区间(,2)2)上单调递减上单调递减,切线斜切线斜率小于率小于0,0,即其导数为负即其导数为负;该函数在区间该函数在区间(2(2,+)+)上单调递
5、增上单调递增,切线切线斜率大于斜率大于0,0,即其导数为正即其导数为正.而当而当x=2x=2时其切线斜率时其切线斜率为为0,0,即导数为即导数为0.0.我们称它我们称它为为“临界点临界点”(或或驻点驻点).).例例1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4,或或 x 1时时,当当 x=4,或或 x=1时时,试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.解解:当当1 x 4,或或 x 1时时,可知可知 在此在此区间内单调递减区间内单调递减;当当 x=4,或或 x=1时时,综上综上,函数函数 图象图象的大致形状如右图所示的大致形状如右图所示.xyO14例例2 判断下列
6、函数的单调性判断下列函数的单调性,并求出单调区间并求出单调区间:解解:(1)因为因为 ,所以所以因此因此,函数函数 在在 上单调递增上单调递增.(2)因为因为 ,所以所以当当 ,即即 时时,函数函数 单调递增单调递增;当当 ,即即 时时,函数函数 单调递减单调递减.所以函数的单调递增区间为（所以函数的单调递增区间为（1，+）；递减区间为（）；递减区间为（-，1 1）。）。例例2 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性,并求出单调并求出单调区间区间:解解:(3)因为因为 ,所以所以因此因此,函数函数 在在 上单调递减上单调递减.(4)因为因为 ,所以所以 当当 ,即即 时时,函数函数 单调递增
7、单调递增;当当 ,即即 时时,函数函数 单调递减单调递减.求函数的单调区间的一般步骤:(1)求出函数 f(x)的定义域A；(2)求出函数f(x)的导数 ；(3)不等式组 的解集为f(x)的单调增区间；(4)不等式组 的解集为f(x)的单调减区间；例3、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。一般地一般地,如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快,这时这时,函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”(向
8、上或向上或向下向下);反之反之,函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些.如图如图,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”,在在 或或 内的图象内的图象平缓平缓.证明可导函数证明可导函数f(x)在在(a,b)内的单调性的内的单调性的方法：方法：(1)求求f(x)(2)确认确认f(x)在在(a,b)内的符号内的符号(3)作出结论作出结论练习练习1.判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性,并求出单调区间并求出单调区间:练习练习2.函数函数 的图象如图所示的图象如图所示,试画出导函数试画出导函数 图象图象的大致形状的大致形状练习练习3 3设设f/(x)是是函函数数f(x)的的导导函
9、函数数,y=/(x)的的图图象象如如左左图图所示所示,则则y=(x)的图象最有可能的是的图象最有可能的是()xyO12(B)xyO12(A)xyO12yx12(C)OOxyO12(D)C练习练习4.讨论二次函数讨论二次函数 的单调区间的单调区间.解解:由由 ,得得 ,即函数即函数 的递增区的递增区间是间是 ;相应地相应地,函数的递减区间是函数的递减区间是 由由 ,得得 ,即函数即函数 的递增区的递增区间是间是 ;相应地相应地,函数的递减区间是函数的递减区间是练习练习5.求证求证:函数函数 在在 内是内是减函数减函数.解解:由由 ,解得解得 ,所以函数所以函数 的递减区间是的递减区间是 ,即函数
10、即函数 在在 内是减内是减函数函数.求参数的取值范围问题求参数的取值范围问题例例2：解：由已知得解：由已知得因为函数在（因为函数在（0，1上单调递增上单调递增例例2：在某个区间上，在某个区间上，f（x）在这个区间上单调递增）在这个区间上单调递增（递减）；但由（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于是不够的。还有可能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证例例2：本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：例例3：方程根的问题：方程根的问题求证：方程求证：方程 只有一个根。只有一个根。作业：作业：已知函数已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取的取值范范围。