331函数的单调性与导数.ppt

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1、判断函数单调性有哪些方法？判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数比如：判断函数 的单调性。的单调性。yx 2 (,0) (0,)33 ?yxxxyo2yx 函数在函数在 上为上为_函数，函数，在在 上为上为_函数。函数。图象法图象法定义法定义法减减增增如图：如图：动态动态演示演示单调性单调性导数的正负导数的正负函数及图象函数及图象 (,0)在在上上递递减减 (0,)在在上上递递增增xyoyf x ( )abxyoyf x ( )ab切线斜率切线斜率 的正负的正负kxyo2( )f xx a b( , )在在某某个个区区间间内内, ,fx ( )0f xa b( )( , )在在内内单单调调递

2、递增增fx ( )0f xa b( )( , )在在内内单单调调递递减减注意：注意：应正确理解应正确理解 “ 某个区间某个区间 ” 的含义，的含义， 它必它必是定义域内的某个区间。是定义域内的某个区间。1 1应用导数求函数的单调区间应用导数求函数的单调区间(选填选填:“增增” ,“减减” ,“既不是增函数既不是增函数,也不是减函数也不是减函数”)(1) 函数函数y=x3在在3，5上为上为_函数。函数。 (2) 函数函数 y = x23x 在在2，+)上为上为_函数，函数， 在在(,1上为上为_函数，在函数，在1,2上为上为_ _函数。函数。基础训练：基础训练：既不是增函数,也不是减函数求函数求

3、函数 的单调区间。的单调区间。变变1：求函数求函数 的单调区间。的单调区间。3233yxx 233yxx 理解训练：理解训练：63yx 解解：110,022yxyx 令令得得 令令得得233yxx 1( ,)2 的单调递增区间为的单调递增区间为单调递减区间为单调递减区间为1(, )2 解解：2963 (32)yxxxx 2003yxx 令令得得或或2003yx 令令得得3233yxx 的单调递增区间为的单调递增区间为2(,0),( ,)3 总结总结: 当遇到三次或三次以上的当遇到三次或三次以上的,或图象很难或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法

4、。求定义域求定义域求求( )fx令令()0()()0()fxfxfxfx 解解不不等等式式的的递递增增区区间间解解不不等等式式的的递递减减区区间间作出结论作出结论1 1什么情况下，用什么情况下，用“导数法导数法” ” 求函数单调性、求函数单调性、 单调区间较简便？单调区间较简便？2 2试总结用试总结用“导数法导数法” ” 求单调区间的步骤？求单调区间的步骤？cossin335(,)( ,2 )(,)(2 ,3 )22.2.2.yxxxABCD 函函数数在在下下面面哪哪个个区区间间内内是是增增函函数数( ( ) ) (04年全国理年全国理)B ( ,2 )该该函函数数在在上上为为增增函函数数。x

5、xxx ( ,2 )sin0,sin0,如如图图, ,当当时时，yxxxxx cos(cos ) (sin )解解： xxxxxx cossinossincy 0即即：xyo 2 3yx sin已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：23( )0;32( )0;32( )0.xfxxxfxxxfx 当当时时，当当或或时时，当当或或时时，试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。( )f x分析分析：( )f x在在此此区区间间递递减减()fx在在 此此 区区 间间 递递 增增()fxx图图 象象 在在 此此 两两 处处 附附 近近 几几 乎乎 没没 有有 升升 降降 变变 化化

6、 , ,切切 线线 平平 行行轴轴ABxyo23( )yf x 2 2应用导数信息确定函数大致图象应用导数信息确定函数大致图象ABxyo23( )yf x 已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：23( )0;32( )0;32( )0.xfxxxfxxxfx 当当时时，当当或或时时，当当或或时时，试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。( )f x分析分析：( )f x在在此此区区间间递递减减()fx在在 此此 区区 间间 递递 增增()fxx图图 象象 在在 此此 两两 处处 附附 近近 几几 乎乎 没没 有有 升升 降降 变变 化化 , ,切切 线线 平平 行行轴轴AB

7、xyo23( )yf x 2 2应用导数信息确定函数大致图象应用导数信息确定函数大致图象解：解： 的大致形状如右图：的大致形状如右图：( )f x这这里里，称称A A, ,B B两两点点为为“临临界界点点”xyo12( )yf x xyo12( )yf x xyo1 2( )yf x xyo12( )yf x xyo( )yfx 2(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类浙江理工类)设设 是函数是函数 的导函数，的导函数， 的图象如的图象如右图所示右图所示,则则 的图象最有可能的是的图象最有可能的是( )( )f x( )fx( )yfx ( )yf x 通过这堂课的研究，你明确了通过这堂课

8、的研究，你明确了 ，你的收获与感受是你的收获与感受是 ，你存在的疑惑之处有你存在的疑惑之处有 。(课本课本)322( ), ,30( )( )( )( )( )f xxaxbx ca b cabf xRABCD 函函数数其其中中为为常常数数，当当时时，在在 上上( ( ) )增增函函数数 减减函函数数 常常数数 既既不不是是增增函函数数也也不不是是减减函函数数A1.求过曲线求过曲线y=x3-2x上的点上的点(1,-1)的切线方程的切线方程方程方程相切的直线相切的直线且与曲线且与曲线求过点求过点11)1 , 1(. 22 xy求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否求过某点的曲线的切线方程

9、时，除了要判断该点是否在曲线上，还要分在曲线上，还要分“该点是切点该点是切点”和和“该点不是切点该点不是切点”两种两种情况进行讨论，解法复制。若设情况进行讨论，解法复制。若设M(x0,y0)为曲线为曲线y=f(x)上上一点，则以一点，则以M为切点的曲线的切线方程可设为为切点的曲线的切线方程可设为y-y0=f(x)(x-x0)，利用此切线方程可以简化解题，避免，利用此切线方程可以简化解题，避免疏漏。疏漏。1.3.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数对数函数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数指数函数的导数:.)()1(x

10、xee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）.三角函数三角函数 ： xxsin)(cos2）（1）.常函数：常函数：(C)/ 0, (c为常数为常数)； （2）.幂函数幂函数 ： (xn)/ nxn 1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式一、复习回顾：基本初等函数的导数公式函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f

11、( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间G = ( a , b )二、复习引入二、复习引入:oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在（ ，0）和（0, ）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（ ，1）上是减函数，在（1, ）上是增函数。在( ,)上是增函数概念回顾概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间(1)函数的单调性也叫函数的

12、增减性；函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的的前提下前提下,比较比较f(x1)f(x2)与的大小与的大小,在函数在函

13、数y=f(x)比较复杂比较复杂的情况下的情况下,比较比较f(x1)与与f(x2)的大小并不很容易的大小并不很容易.如果利用如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单导数来判断函数的单调性就比较简单.观观 察察: 下图下图(1)表示高台跳水运动员的高度表示高台跳水运动员的高度 h 随时间随时间 t 变化的变化的函数函数 的图象的图象, 图图(2)表示高台跳水运表示高台跳水运动员的速度动员的速度 v 随时间随时间 t 变化的函数变化的函数 的图象的图象. 运动员从起跳到最高点运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别间的运动状态有什么区别?10

14、5 . 69 . 4)(2ttth5 . 69 . 4)(ttvaabbttvhOO 运动员从起跳到运动员从起跳到最高点最高点, ,离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t 的增加而增加的增加而增加, ,即即h(th(t) )是增函数是增函数. .相应相应地地, ,. 0)()(thtv 从最高点到入水从最高点到入水, ,运动员运动员离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t t的的增加而减少增加而减少, ,即即h(th(t) )是减函数是减函数. .相应地相应地, ,. 0)()(thtv(1)(1)(2)(2)xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3xy1 观察下面一些函数

15、的图象观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的关系数正负的关系. 在某个区间在某个区间( (a, ,b) )内内, ,如果如果 , ,那么函数那么函数 在这个区间内单调递增在这个区间内单调递增; ; 如果如果 , ,那那么函数么函数 在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减. .0)( xf)(xfy 0)( xf)(xfy 如果恒有如果恒有 ，则，则 是常数。是常数。)(xf0)(xf题题1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4 , 或或 x 1时时,当当 x = 4 , 或或 x = 1时时,)(xf ; 0)( xf; 0)

16、( xf. 0)( xf试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.)(xf解解: 当当1 x 4 , 或或 x 0(或或f(x)0,即在（0， 1上恒成立f xa-xx31max而 ( )在（0， 1上单调递增，( )(1)=-1g xxg xg 1a -2120 10 1已 知 函 数 （ ），( 若 （ ） 在(上 是 增 函 数 ， 求的 取 值 范 围fxaxx,fxxx,a.增例增例2：322当a1时， ( )f xx 1对x （0， 1）也有 ( ) 0时，（ ）在(0, 1)上是增函数f xa-f x所以a的范围是-1，+ ）在某个区间上，在某个区间上， ，f（x）

17、在这个区间上单调递增）在这个区间上单调递增（递减）；但由（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于是不够的。还有可能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证( )0(或0(或0)f x2120 10 1已知函数（ ），(若（ ）在(上是增函数，求 的取值范围f xaxx, ,f xxx,a.增例增例2：322当a1时， ( )f xx 1对x （0， 1）也有 ( ) 0时，（ ）在(0, 1)上是增函数f

18、 xa-f x所以a的范围是-1，+ ）本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：maxminmf( )恒成立( )( )恒成立( )xmf xmf xmf x320已知函数 ( )=，(0, 1,若 ( )在（0， 1上是增函数，求 的取值范围练。习2f xax - xxaf xa3)2,例例3：方程根的问题：方程根的问题求证：方程求证：方程 只有一个根。只有一个根。102xsin x12110201002f( )在（，）上是单调函数，而当时，（ )=0方程有唯一的根f( x)x-sinx,x(,)f ( x)cos xxxf xxsinxx. 作业：作业：已知函数已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取值范围。的取值范围。