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1、13.2命题与证明（三）命题与证明（三）张集中学 魏俊廷学习目标:重点：难点：1、会证明三角形内角和定理及理解其两个推论。2、会应用三角形内角和定理及其推论进行计算；(求三角形的角的度数)3、能通过动手实践去验证三角形的内角和定理。1、能用多种方法证明三角形内角和定理 2、会在证明中添加合适的辅助线。通过对三角形内角和定理及其推论内容的学习，会利用它解决生活实际中一些简单的有关角度计算的问题。回顾：如何证明一个真命题？证明真命题需要哪些步骤?在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“
2、不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了”“为什么？”老二很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?想一想:任意三角形的三个内角之和也为180度吗?30+60+90=18045+45+90=180思考与探索三角形的三个内角和是多少?把三个角拼在一起试试看？你有什么办法可以验证呢?从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?180实践操作证明：三角形的内角和等于1801800 0.已知：求证：A+B+C=180A+B+C=180请同学们开动脑筋，想一想有多少种方法证明此真命题探究：探究：21EDCBA三角形的内
3、角和等于1800.延长BC到D，于是CEBA(内错角相等，两直线平行).B=2(两直线平行，同位角相等).1+2+ACB=180A+B+ACB=180在ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作1=A，证法一21EDCBA三角形的内角和等于1800.延长BC到D，过C作CEBA，A=1(两直线平行，内错角相等)B=2(两直线平行，同位角相等)1+2+ACB=180A+B+ACB=180证法二F21ECBA三角形的内角和等于1800.过A作EFBC，B=2(两直线平行,内错角相等)C=1(两直线平行,内错角相等)2+1+BAC=180B+C+BAC=180证法三开启 智慧你还有其他方法来证明三你
4、还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？角形内角和定理吗？添加辅助线思路：添加辅助线思路：1、构造平角、构造平角2、构造同旁内角、构造同旁内角ABCE图1EABCDF图2（ABCEDF（1234（图3 提高训练提高训练辅助线辅助线及作用及作用：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做添画的线叫做辅助线辅助线。在平面几何里，辅助。在平面几何里，辅助线通常画成线通常画成虚线虚线。它的作用它的作用是把分散的条件集中，把隐含是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用添加辅助线添加辅助线目的目的，可构造新图
5、形，形成可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定的规律，要根据需要而定,平时做题时平时做题时要注意总结要注意总结.为了证明三个角的和为为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁转化为一个平角或同旁内角互补内角互补,这种这种转化思想转化思想是数是数学中的常用方法学中的常用方法.思路总结思路总结据三角形内角和定理得：据三角形内角和定理得：直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余CAB已知：如图，在直角三角形ABC中，求证：证明：又在一个三角形中有一
6、个角是在一个三角形中有一个角是90，其余两角之和，其余两角之和是多少？是多少？思考：思考：明确明确：由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论推论如图,C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向。求下面各题.（1）DAC_ DAB_ EBC_ CAB _ A(2)从C岛看A、B两岛的视角C是多少?508040DBCE北北解：ADBE DABABE180 ABE 180DAB 180 80 100 在在ABC中中,C 180 CAB ABC 18030 60 90（即为即为RtABC)ABCABE CBE30 100 4060例题讲解例题讲解1 1明确：明确
7、：有两个有两个角互余的三角角互余的三角形是直角三角形是直角三角形。形。DCE北A50B40 北MN在AMC中 AMC=90,MAC=50解：过点C画MNAD分别交AD、BE于点M、N12例:如图,C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向。1=180-90-50=40 ADBE AMC+BNC=180 BNC=90同理得2=50 ACB=180 -1-2=180-40-50=90例题讲解例题讲解2 2BDCE北A 你能想出一个更简捷的方法来求C的度数吗？125040解：解：过点过点C画画CFAD 1DAC50,F CFAD,又又AD BE CF BE2C
8、BE 40 ACB1 2 50 40 90 例题讲解例题讲解3 3解解：在在ACD中中 CAD 30 D 90 DABC ACD=180 -30 -90=6 0 在在BCD中中 CBD=45 D 90 BCD=180-90-45=45 ACB=ACD-BCD=6 0-45 巩固练习1.如图,从A处观测C处时仰角CAD30,从B处观测C处时仰角CBD45.从C处观测A、B两处时视角ACB是多少?2.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ()(A)带带去去(B)带带去去(C)带带去去(D)带带和和去去C巩固练习3.如图ABC中,C
9、D平分ACB,DEBC,A70,ADE50,求BDC的度数.ABCDE解:A70 ACB=180-A-B=180-70-50=60DE/BCB=ADE50 CD平分ACB巩固练习甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？甲甲乙乙16米米450？45016米米解:由题意知ABCBC=AB=16答:两楼的距离是16米.拓展与思考12、在中，如果=B=C，那么是什么三角形？解:设A=x,那么B=2x,C=3x根据题意得:解得A=30,B=60,C=90所以是直角三角形拓展与思考2小结1、三角形三个内角之和为180的证明3、由三角形内角和定理，得出两个推论(1)、推论1：直角三角形的两锐角互余。(2)、推论推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。：有两个角互余的三角形是直角三角形。(4)、任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；(5)、一个三角形中至少有一个角小于或等于60（3）、一个三角形最多有一个直角或钝角；2、由基本事实、定理直接得出的真命题叫做由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论推论作业作业:1，课本课本P84习题习题13.2 第第8、9题题2，同步训练，同步训练13.2（四）（四）祝同学们学习进步