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1、 一、命题的四种形式及真假判断一、命题的四种形式及真假判断 四种命题的形式在数学中经常出现，其中原命题与逆四种命题的形式在数学中经常出现，其中原命题与逆命题都是真命题时，就像数学中的定理和逆定理；原命题命题都是真命题时，就像数学中的定理和逆定理；原命题与其逆否命题的等价关系，可以进行命题的等价转化，即与其逆否命题的等价关系，可以进行命题的等价转化，即当直接证明或求解原命题比较复杂、困难时，证明或求解当直接证明或求解原命题比较复杂、困难时，证明或求解其逆否命题往往比较简单其逆否命题往往比较简单.命题的四种形式和真假判断是高考的常考点之一，题命题的四种形式和真假判断是高考的常考点之一，题目常考常新
2、，一般是结合各个知识点进行考查，考查基本目常考常新，一般是结合各个知识点进行考查，考查基本概念和基本性质，通常以选择题和填空题的形式出现概念和基本性质，通常以选择题和填空题的形式出现.例例1 1 用用a a、b b、c c表示三条不同的直线，表示三条不同的直线，表示平面，给出表示平面，给出下列命题：下列命题：若若abab，bcbc，则，则acac；若若abab，bcbc，则，则acac；若若aa，bb，则，则abab；若若aa，bb，则，则abab.其中真命题的序号是其中真命题的序号是()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)【解析解析】选选C.C.根据公理根据公理4 4直线平行
3、的传递性可知直线平行的传递性可知为真命题；为真命题；在长方体的模型中，可以观察出在长方体的模型中，可以观察出中的中的a,ca,c还可能平行与不还可能平行与不垂直，垂直，中的中的a a，b b还可能相交或异面；还可能相交或异面；为垂直于同一个为垂直于同一个平面的两条直线平行，为真命题，故选平面的两条直线平行，为真命题，故选C.C.例例2 2 关于平面向量关于平面向量 ，有下列三个命题：，有下列三个命题：若若 则则 若若 =(1,k)=(1,k)，=(-2,6)=(-2,6)，则，则k=-3k=-3；非零向量非零向量 和和 满足满足|=|=|-|=|=|-|，则，则 与与 +的夹角为的夹角为606
4、0.其中真命题的序号为其中真命题的序号为_.(_.(写出所有真命题的序号写出所有真命题的序号)【解析解析】根据平面向量的有关概念、公式、性质进行判断根据平面向量的有关概念、公式、性质进行判断.命题命题则则 (-)(-)或或 -=(-=(即即 =)=)，命题为假命题；，命题为假命题；命题命题，因为，因为 ，所以所以 =m =m ，即，即(1,k)=m(-2,6)(1,k)=m(-2,6)，所以，所以解得解得k=-3k=-3，此命题为真命题；命题，此命题为真命题；命题，根据平面向量的加，根据平面向量的加法法则，可知法法则，可知 ,和和 -构成了一个正三角形，构成了一个正三角形，是该是该三角形一内角
5、平分线上的向量，所以三角形一内角平分线上的向量，所以 与与 的夹角为的夹角为3030，该命题为假命题，该命题为假命题.综上可知，真命题的序号是综上可知，真命题的序号是.答案：答案：二、命题的否定及真假判断二、命题的否定及真假判断 命题的否定包括简单命题的否定和含有一个量词的命命题的否定包括简单命题的否定和含有一个量词的命题的否定；简单命题的否定，只要把结论否定即可；含有题的否定；简单命题的否定，只要把结论否定即可；含有一个量词的命题的否定，注意把所含的量词改变，即把全一个量词的命题的否定，注意把所含的量词改变，即把全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词称量词变为存在量词，存在量词变为全称量
6、词.命题与其否定的真假正好相反，即原命题为真，则其命题与其否定的真假正好相反，即原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真否定为假；原命题为假，则其否定为真.例例3 3 已知命题已知命题p p：xRxR，2 2x x00，则命题，则命题 p p是是()()(A)(A)xR,2xR,2x x00为真命题为真命题(B)(B)xR,2xR,2x x0”变为变为“”，即，即x xR R，2 2x x0 0，根据指，根据指数函数的性质可知数函数的性质可知2 2x x00恒成立，所以恒成立，所以 p p是假命题，故选是假命题，故选C.C.三、充分条件和必要条件三、充分条件和必要条件 充分条件和必要
7、条件是用来判断命题的条件和结论之间的充分条件和必要条件是用来判断命题的条件和结论之间的关系的概念关系的概念.在判断时，一定要明确命题的条件在判断时，一定要明确命题的条件p p是什么，结论是什么，结论q q是什么是什么.对于否定形式的命题的充分条件和必要条件的判断，对于否定形式的命题的充分条件和必要条件的判断，要运用相关概念及互为逆否的等价命题来处理要运用相关概念及互为逆否的等价命题来处理.充分条件和必要条件的判定是高考的热点之一，且大多以充分条件和必要条件的判定是高考的热点之一，且大多以选择题的形式出现；在高考中充分条件和必要条件也常出现在选择题的形式出现；在高考中充分条件和必要条件也常出现在
8、填空题和解答题中填空题和解答题中.例例4 4 “x0 x0”是是“”成立的成立的()()(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件 (B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 (D)(D)充要条件充要条件【解析解析】选选A.A.当当x0 x0时，时，x x2 200，所以，所以 ，是充分条件；，是充分条件；因为因为 所以所以x=-10 x=-10 x0”是是“”成立的充分不必要条件，故成立的充分不必要条件，故选选A.A.例例5 (20115 (2011安溪高三检测安溪高三检测)使使“loglog2 2m1m1”成立的一个必要不成立的一个必要不充分
9、条件是充分条件是()()(A)m(0,1)(B)m(A)m(0,1)(B)m0,3)0,3)(C)m(0,2)(D)m(-,1)(C)m(0,2)(D)m(-,1)【解析解析】选选B.logB.log2 2m1m1loglog2 2mlogmlog2 22 20m20m2，条件，条件m m(0,2)(0,2)是是loglog2 2m1m0+x+m0，则，则m m ；命题；命题q q：若若“p p且且q q”为假命题，则为假命题，则p p、q q均为假命题，则均为假命题，则()()(A)p(A)p真真q q真真 (B)B)“p p且且q q”为真为真 (C)C)“p p或或 q q”为假为假 (
10、D)p(D)p假假 q q真真【解析解析】选选D.D.先对命题先对命题p p，q q的真假作出判断，从而得出的真假作出判断，从而得出 p p，q q的真假，然后再对照选项进行判断的真假，然后再对照选项进行判断.命题命题p p，因为不等式，因为不等式x x2 2+x+m0+x+m0恒成立，恒成立，所以所以=1-4m0=1-4m m ，所以命题，所以命题p p为真；为真；命题命题q q显然为假，所以显然为假，所以 p p是假命题；是假命题；q q是真命题，故选是真命题，故选D.D.例例7 7 命题命题p p：函数：函数y=xy=x2 2+3x+4+3x+4的图象与的图象与x x轴有公共点；命题轴有
11、公共点；命题q q：函数函数 的定义域是的定义域是(-,-1(-,-13,+)3,+)，则，则()()(A)A)“p p或或q q”为假为假 (B)(B)“p p且且q q”为真为真 (C)pC)p真真q q假假 (D)pD)p假假q q真真【解析解析】选选D.D.因为函数因为函数y=xy=x2 2+3x+4=(x+)+3x+4=(x+)2 2+0+0，所以函，所以函数数y=xy=x2 2+3x+4+3x+4的图象在的图象在x x轴的上方，与轴的上方，与x x轴没有公共点，所以轴没有公共点，所以命题命题p p为假命题；由为假命题；由|x-1|-2|x-1|-20 0得得|x-1|x-1|2 2
12、，解得，解得x x3 3或或x x-1-1，所以函数，所以函数 的定义域是的定义域是(-(-,-1,-13,+3,+)，命题，命题q q是真命题；所以选是真命题；所以选D.D.五、本章知识在应用中所包含的数学思想方法五、本章知识在应用中所包含的数学思想方法 本章各个知识点在与其他知识点综合应用时，除了各本章各个知识点在与其他知识点综合应用时，除了各个知识点的应用外，还要用到各种数学思想方法个知识点的应用外，还要用到各种数学思想方法.例如等价例如等价转化的思想，分类讨论的思想方法，补集的思想等转化的思想，分类讨论的思想方法，补集的思想等.例例8 8 原命题：已知等比数列原命题：已知等比数列aan
13、 n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，若，若S Sm m，S Sm+2m+2，S Sm+1m+1成等差数列，则成等差数列，则a am m,a,am+2m+2,a,am+1m+1成等差数列成等差数列.(1)(1)写出该命题的逆命题；写出该命题的逆命题；(2)(2)判断逆命题的真假，给出证明过程判断逆命题的真假，给出证明过程.【解析解析】(1)(1)逆命题是：已知等比数列逆命题是：已知等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，若若a am m,a,am+2m+2,a,am+1m+1成等差数列，则成等差数列，则S Sm m，S Sm+2m+2，S Sm+1m+1 成等差数列
14、成等差数列.(2)(2)设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q q，首项为，首项为a a，因为因为a am m,a,am+2m+2,a,am+1m+1成等差数列，成等差数列，所以所以2a2am+2m+2=a=am m+a+am+1m+1，即，即2aq2aqm+1m+1=aq=aqm-1m-1+aq+aqm m，因为因为a0a0，q0q0，所以，所以2q2q2 2-q-1=0-q-1=0，解得解得q=1q=1或或q=q=；当当q=1q=1时，时，S Sm m=ma,S=ma,Sm+2m+2=(m+2)a,S=(m+2)a,Sm+1m+1=(m+1)a=(m+1)a，所以所以S Sm m+S+Sm+1m+1=(2m+1)a2S=(2m+1)a2Sm+2m+2，所以所以S Sm m，S Sm+2m+2，S Sm+1m+1不成等差数列；不成等差数列；当当q=q=时，时，所以所以2S2Sm+2m+2=S=Sm m+S+Sm+1m+1，所以所以S Sm m，S Sm+2m+2，S Sm+1m+1成等差数列；成等差数列；综上可得，当综上可得，当q=1q=1时，逆命题为假命题；时，逆命题为假命题；当当q=q=时，逆命题为真命题时，逆命题为真命题.