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1、5.6 5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律5.6 5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律数学组数学组 刘洋刘洋5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律问题问题sF 一个物体在力一个物体在力F F 的作用下产生的位移的作用下产生的位移s s，那么力那么力F F 所做的功应当怎样计算？所做的功应当怎样计算？其中力其中力F F 和位移和位移s s 是向量，是向量，是是F F 与与s s 的夹角，而功是数量的夹角，而功是数量.5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量已知
2、两个非零向量a 和和b，它们的夹角为它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 叫做叫做a 与与b 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作a b ，即即规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 0 （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量。）两向量的数量积是一个数量，而不是向量。（2）a b不能写成不能写成ab 5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律例题讲解例题讲解例例1已知已知|a|=5，|b|=4，a与与b的夹角的夹角 ，求，求a b.解：解：a b=|a|b|cos 练习:已知|p p|=8,|q q|=6,p p和q q的夹角是
3、 ,求p p q.q.5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律向量的夹角向量的夹角 两个非零向量两个非零向量a 和和b，作作 ，则，则 叫做向量叫做向量a 和和b 的夹角的夹角OABabOABba若若 ，a 与与b 同向同向OABba若若 ，a 与与b 反向反向OABab若若 ，a 与与b 垂直，垂直，记作记作5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功向上的力做功sF，过点，过点B作作垂直于直线垂
4、直于直线OA，垂足为垂足为 ，则，则|F|cosOABabOABab|b|cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的方向上的投影投影为锐角时，为锐角时，|b|cos0为钝角时，为钝角时，|b|cos0为直角时，为直角时，|b|cos=0BOAab5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律练习：练习：1 1e e=cos 2若若a 0，则对任一非零向量则对任一非零向量b,有有a b03 3若若a 00，a b b=0，则则b=04 4若若a b=0，则则a b中至少有一个为中至少有一个为07 7若若b0，a b=b c，则则a=c5 5若若a b=a c,则则bc,当且仅当当且仅当a=
5、0 时成立时成立6对任意向量对任意向量 a 有有8.|a|b|a b 已知已知|a a|=3|=3，|b b|=4|=4（且（且a a与与b b不共线），当且仅不共线），当且仅当当k k为何值时，向量为何值时，向量a+kba+kb与与a-kba-kb互相垂直？互相垂直？5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律解：解：a+a+kb b与a a-kb b互相垂直的充要条件是 5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律（a+k）（a-kb）=0即即已知|a a|=6，|b b|=4，a a与b b的夹角为 ，求（a a+2b b）（a-a-3b b）5.6 平面向量的数
6、量积及运算律平面向量的数量积及运算律已知向量已知向量a、b、c和实数和实数 ，则向量的数量，则向量的数量积满足下列运算律：积满足下列运算律：5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律（2）（）（a）b=（a b）=a（b）；）；（3）（）（a+b）c=a c+b c 。（1）a b=b a （交换律）；（交换律）；5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律讨论总结性质：讨论总结性质：（1 1）e a=a e=|a|cos（2 2）ab a b=0 (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据)（3 3）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b=|a|b|，当当a 与与b 反向反向 时，时，a b=|a|b|特别地特别地（4）（5）a b|a|b|