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1、第一节函数极限与连续第1页，本讲稿共25页 第一章 二、函数 一、集合第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 映射与函数第2页，本讲稿共25页元素 a 属于集合 M,记作元素 a 不属于集合 M,记作一、一、集合集合1.定义及表示法定义及表示法定义定义 1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集,记作 .(或).注注:M 为数集 表示 M 中排除 0 的集;表示 M 中排除 0 与负数的集.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页，本讲稿共25页表示法表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例例:有限集合自然数集(
2、2)描述法：x 所具有的特征例例:整数集合或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数开区间闭区间机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，本讲稿共25页无限区间点的 邻域邻域其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心 邻域邻域左左 邻域邻域:右右 邻域邻域:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，本讲稿共25页是 B 的子集子集,或称 B 包含 A,2.集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2.则称 A若且则称 A 与 B 相等相等,例如,显然有下列关系:,若设有集合记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，本讲稿共25页定义定义 3.给定
3、两个集合 A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集机动 目录 上页 下页 返回 结束 或第7页，本讲稿共25页定义域三、函数三、函数1.函数的概念函数的概念 定义定义4.设数集则称映射为定义在D 上的函数,记为 f(D)称为值域 函数图形函数图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量因变量第8页，本讲稿共25页(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值 定义域：定义域：对应规律对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值 域机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，本讲稿共25页
4、例例4.已知函数求 及解解:函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 值 域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，本讲稿共25页2.函数的几种特性函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性有界性使称 使称 说明说明:还可定义有上界、有下界、无界(2)单调性单调性为有界函数.在 I 上有界.使若对任意正数 M,均存在 则称 f(x)无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界当时,称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数;单调减函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页，本讲稿共25页(3)奇偶性奇偶性且有若则称 f(x)为偶函数;若则称 f(x)为奇函数.说明说明:若在 x=
5、0 有定义,为奇函数奇函数时,则当必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，本讲稿共25页(4)周期性周期性且则称为周期函数,若称 l 为周期(一般指最小正周期).周期为 注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页，本讲稿共25页3.反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增且也单调递增 性质:第14页，本讲稿共25页2)函数与其反函数
6、的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数第15页，本讲稿共25页(2)复合映射机动 目录 上页 下页 返回 结束 手电筒D引例.复合映射 第16页，本讲稿共25页定义.则当由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复设有映射链记作合映射,时,或机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意:构成复合映射的条件 不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.第17页，本讲稿共25页(2)复合函数 则设有函数链称为由,确定的复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合映射的特例 u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件
7、不可少.例如例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合第18页，本讲稿共25页机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:第19页，本讲稿共25页4.初等函数初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，本讲稿共25页非初等函数举例:符号函数当 x 0当 x=0当 x 0取
8、整函数当机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页，本讲稿共25页例例5.求的反函数及其定义域.解解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，本讲稿共25页内容小结内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构 作业 P13 4、5、6(1),(3)、8、9(1),(3)、10(1),(3)2.函数的定义及函数的二要素第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第23页，本讲稿共25页且备用题备用题证明证证:令则由消去得时其中a,b,c 为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页，本讲稿共25页 2.设函数的图形与均对称,求证是周期函数.证证:由的对称性知于是故是周期函数,周期为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页，本讲稿共25页