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1、第一节多元函数第1页，本讲稿共40页一、平面点集一、平面点集第一节 多元函数 坐坐标标平平面面上上具具有有某某种种性性质质P P的的点点的的集集合合 称称为为平平面面点点集集 记作记作 E(x y)|(x y)具有性质具有性质P 例例如如 平平面面上上以以原原点点为为中中心心、r为为半半径径的的圆圆内内所所有有点点的集合是的集合是 C(x y)|x2 y2r2 或或C P|OP|r 其其中中P表表示示坐坐标标为为(x y)的的点点|OP|表表示示点点P到到原原点点O的的距距离离第2页，本讲稿共40页1.邻域邻域(圆邻域)第3页，本讲稿共40页第4页，本讲稿共40页 在讨论实际问题中也常使用方邻
2、域在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与因为方邻域与圆邻域可以互相包含圆邻域可以互相包含.平面上的方邻域为平面上的方邻域为第5页，本讲稿共40页E 的全体内点所成集合称为的全体内点所成集合称为 E 的内部的内部,记为记为E0.内点、外点、边界点、聚点、孤立点：内点外点 如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)E 则称P为E的外点 第6页，本讲稿共40页边界点 如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边界点聚点 如果点P的任一去心邻域内都含有属于E的点 则称P点为E的聚点聚点本身可能属于E，也可能不属于E.孤立点 如果点P属于E，但不是E的聚点，即存在点P的一
3、个领域U(P),使 则称P是E的孤立点.第7页，本讲稿共40页D 开集、闭集、连通集、区域、有界区域开集、闭集、连通集、区域、有界区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E 的所有聚点都属于E,则称 E 为闭集；若集 E 中任意两点都可用一完全属于 E 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 E 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。第8页，本讲稿共40页 对区域 E,若存在正数 K,使一切点 PE 与某定点 A 的距离 AP K,则称 E 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无第9页，本讲稿共40页例如例如，在平面上在平面上开区域闭区域第10页，本讲稿共4
4、0页二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 球心在原点、半径为a的上半球面方程为第11页，本讲稿共40页1.二元函数的定义二元函数的定义第12页，本讲稿共40页例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为第13页，本讲稿共40页（2）二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）第14页，本讲稿共40页二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.第15页，本讲稿共40页例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,单值分支单值分支:第16页，本讲稿共40页n 元有序实数组的全体称为n 维空间中的每一个元素称为空间中的
5、称为该点的第 记作即一个点点,（3）n维空间维空间 n 维空间维空间,k 个坐标坐标.第17页，本讲稿共40页 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为 n维空间中两点间维空间中两点间距离公式距离公式：第18页，本讲稿共40页4.n元函数的定义元函数的定义 例如 三元函数 定义域为 单位闭球第19页，本讲稿共40页三、多元函数的极限三、多元函数的极限第20页，本讲稿共40页说明：说明：（2）
6、定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（3）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（4）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（1）函数）函数f在点在点P0可以有定义，也可以无定义；可以有定义，也可以无定义；第21页，本讲稿共40页例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立要证 第22页，本讲稿共40页注注 (1)二重极限存在二重极限存在,是指是指P以任何方式趋于以任何方式趋于P0时时,函函数都无限接近于数都无限接近于A.(2)由此我们可以得到由此我们可以得到确定极限确定极限 不存在不存在的方法：的方法：第23页，
7、本讲稿共40页解解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则有k 值不同极限不同值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.例例3.讨论函数讨论函数第24页，本讲稿共40页例例4：证明：证明：当当 时极限不存在时极限不存在.证明：取证明：取 沿直线沿直线 趋于原点的路径趋于原点的路径 所以极限不存在所以极限不存在.第25页，本讲稿共40页例例5 5 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在第26页，本讲稿共40页例例6 6 求极限求极限 解解其中其中第27页，本讲稿共40页与二元函数的极限类似，可以定
8、义与二元函数的极限类似，可以定义n元函数的极限元函数的极限第28页，本讲稿共40页四、多元函数的连续性第29页，本讲稿共40页第30页，本讲稿共40页例例7 7 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解取取第31页，本讲稿共40页故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.当当 时时第32页，本讲稿共40页例例8 8 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续第33页，本讲稿共40页闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续
9、函数，在上的多元连续函数，在D D上上必能取得它的最大值和最小值必能取得它的最大值和最小值 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上比能取得上比能取得介于这两值之间的任何值介于这两值之间的任何值（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理第34页，本讲稿共40页 多元连续函数的和，差，积均连续多元连续函数的和，差，积均连续.分母不分母不为零时，连续函数的商是连续的，多元连续函数为零时，连续函数的商是连续的，多元连续函数的复合的复合函数也是连续的函数也是连续的（
10、3）运算性质）运算性质多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的第35页，本讲稿共40页第36页，本讲稿共40页例例9 9解解第37页，本讲稿共40页1.点集点集 邻域:区域 2.多元函数概念多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数五、小结五、小结第38页，本讲稿共40页有3.多元函数的极限多元函数的极限4.多元函数的连续性多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续第39页，本讲稿共40页思考题思考题第40页，本讲稿共40页