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1、第一章 数学模型概论第1页，本讲稿共61页1.1 数学不可勿缺的作用数学不可勿缺的作用 数数学学科科学学（Mathematical Sciences，简简称称数数学学(Mathematics)）是是研研究究数数、量量和和空空间间形形式式的的一一个个庞庞大大的的科科学学体体系系，它它包包含含纯纯粹粹数数学学、应应用用数数学学以以及这两者与其它学科的交叉部分。及这两者与其它学科的交叉部分。第2页，本讲稿共61页 自自古古以以来来，数数学学的的发发展展始始终终与与科科学学技技术术的的发发展展紧紧密密相相连连，反反之之亦亦然然。数数学学研研究究的的成成果果往往往往是是重重大大科科学学发发明明的的催催生
2、生素素（相相对对论论、量量子子力力学学、电电磁磁理理论论、流流体体力力学学、计计算算机机、信信息息论、控制论、现代经济学、生物学、论、控制论、现代经济学、生物学、CT等）等）第3页，本讲稿共61页第4页，本讲稿共61页第5页，本讲稿共61页第6页，本讲稿共61页第7页，本讲稿共61页第8页，本讲稿共61页第9页，本讲稿共61页第10页，本讲稿共61页第11页，本讲稿共61页第12页，本讲稿共61页第13页，本讲稿共61页第14页，本讲稿共61页第15页，本讲稿共61页第16页，本讲稿共61页第17页，本讲稿共61页第18页，本讲稿共61页第19页，本讲稿共61页第20页，本讲稿共61页 202
3、0世纪上半世纪：世纪上半世纪：数学虽然也直接为工程数学虽然也直接为工程技术提供一些工具，但基本方式是间接的；技术提供一些工具，但基本方式是间接的；先促进其他科学的发展，再由这些科学提供先促进其他科学的发展，再由这些科学提供工程原理和设计的基础。数学是幕后的无名工程原理和设计的基础。数学是幕后的无名英雄英雄.第21页，本讲稿共61页 2121世纪世纪:计算机无处不在，数学无处不在，计算机无处不在，数学无处不在，数学和工程技术之间，在更广泛的范围内和数学和工程技术之间，在更广泛的范围内和更深刻的程度上，直接地相互作用着，极大更深刻的程度上，直接地相互作用着，极大地推动了科学和工程科学的发展，也极大
4、地地推动了科学和工程科学的发展，也极大地推动了技术的发展推动了技术的发展.*高技术本质上是数学技术高技术本质上是数学技术*21*21世纪是科学和工程数学化世纪是科学和工程数学化 （MathematizationMathematization）的世纪）的世纪第22页，本讲稿共61页数学不仅是幕后的无名英雄，很多方面开始数学不仅是幕后的无名英雄，很多方面开始走向走向“前台前台”.1.1.密码、电子商务、密码、电子商务、DNADNA研究的一部分问题，完全是数学问题研究的一部分问题，完全是数学问题2.2.数学建模和相伴的计算正成为工程设计的关键工具；大数学建模和相伴的计算正成为工程设计的关键工具；大批
5、数学家、数学系毕业生在科技部门工作，以数学为主批数学家、数学系毕业生在科技部门工作，以数学为主要工具与科技、工程人员结合进行由此及彼、由表及里要工具与科技、工程人员结合进行由此及彼、由表及里的解决实际问题的努力的解决实际问题的努力.3.3.数学已经成为科技工程人员必备的知识，数学软件及其数学已经成为科技工程人员必备的知识，数学软件及其工具箱的越来越重要的作用。数学技术的重要性日益显工具箱的越来越重要的作用。数学技术的重要性日益显示。示。第23页，本讲稿共61页第24页，本讲稿共61页Mathematical ModellingMathematical Modelling数学的塑造艺术数学的塑造
6、艺术数学建模数学建模第25页，本讲稿共61页玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型:模型模型是为了一定目的，对客观事物的是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征我们常见的模型：我们常见的模型：第26页，本讲稿共61页 数学模型数学模型（Mathematical M
7、odel）是是用用数数学学符符号号、数数学学式式子子、程程序序、图图形形等等对对实实际际课课题题 本本质质属属性性的的抽抽象象而而又又简简洁洁的的刻刻划划，它它或或 能能解解释释某某些些客客观观现现象象，或或能能预预测测未未来来的的发发展展规规律律，或或能能为为控控制制某某一一现现象象的的发发展展提提供某种意义下的最优策略或较好策略。供某种意义下的最优策略或较好策略。数学建模数学建模（Mathematical Modeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。1.2 数学模型与数学建模数学模型与数学建模 第27页，本讲稿共61页
8、例例 你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型航行问题航行问题 甲甲乙乙两两地地相相距距750公公里里，船船从从甲甲到到乙乙顺顺水水航航行行需需30小小时时，从从乙乙到到甲甲逆逆水水航航行行需需50小小时时，问问船船的的速速度度是是多多少少？x=20y=5答：船速每小时答：船速每小时20千米千米第28页，本讲稿共61页第29页，本讲稿共61页问题：问题：某仓库要存放某仓库要存放 n 种化学药品，其中有些药品彼此不种化学药品，其中有些药品彼此不能存放在一起，因为相互之间可能发生化学或药物能存放在一起，因为相互之间可能发生化学或药物反应导致危险，所以必须把仓库分成若干区，各区反应导致危险，所以必须把仓
9、库分成若干区，各区之间相互隔离。之间相互隔离。问至少应把仓库分成多少个隔离区，才能确保安问至少应把仓库分成多少个隔离区，才能确保安全？全？例例 图的简单应用图的简单应用第30页，本讲稿共61页问题分析及假设：问题分析及假设：为简单起见，考虑仅有为简单起见，考虑仅有7种药品，分别用种药品，分别用 v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7表示，已知不能存放到一起的药品组合是：表示，已知不能存放到一起的药品组合是：（v1,v2）,(v1,v4),(v2,v3),(v2,v5),(v2,v7),(v3,v4),(v3,v6),(v4,v5),(v4,v7),(v5,v6),(v5,v7),(v6,v7
10、).第31页，本讲稿共61页先先把把各各种种药药品品作作为为一一个个图图的的顶顶点点，即即顶顶点点集集为为V=v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7。然然后后把把不不能能存存放放在在一一起起的的药药品用边相连，构成的无向图如下：品用边相连，构成的无向图如下：问题的求解问题的求解v2v1v4v7v6v5v3第32页，本讲稿共61页设想把仓库划分为若干隔离区，分别用设想把仓库划分为若干隔离区，分别用,表示，根据题意，图中各边的两表示，根据题意，图中各边的两个顶点表示不能存入同一区内的药品。为个顶点表示不能存入同一区内的药品。为了决定分区，要对了决定分区，要对 药品进行分区编号，规药品进行分区编号
11、，规则如下：则如下：（1）各边的两个顶点不能编在同一区号；）各边的两个顶点不能编在同一区号；（2）为使分区数最小，从）为使分区数最小，从,顺次编顺次编号，且优先使用小的区号。号，且优先使用小的区号。第33页，本讲稿共61页V2()v1（）v4v7v6v5v3现任取一个顶点，现任取一个顶点，如如v1，编在，编在区，区，因因v2与与v1有边相连，有边相连，所以把所以把v2编在编在区，区，(如图所示如图所示)第34页，本讲稿共61页v2()v1（）v4()v7v6()v5()v3（）v3与与v2有边相连有边相连但与但与v1无边相连，无边相连，根据第（根据第（2）条规）条规则应把则应把v3编在编在区，
12、如此方法可区，如此方法可得到得到v4,v5,v6所属所属的区，如右的区，如右 图图第35页，本讲稿共61页v2()v1（）v4()v7()v6()v5()v3（）v7与与v6,v5,v2,v4均均有连接所以即有连接所以即不能编在不能编在也也不能编在不能编在,将将其编为其编为。如右图。如右图。第36页，本讲稿共61页最后得到，至少要将仓库分为最后得到，至少要将仓库分为3个区个区,，各种药品在，各种药品在3个区的分布如下：个区的分布如下：（）v1,v3,v5（）v2,v4,v6（）v7经验证这个结果满足题目要求，问题解决。经验证这个结果满足题目要求，问题解决。第37页，本讲稿共61页论文作者：中国
13、科技大学代表队指导教师：孙广中 例例 DNA序列的分类模型序列的分类模型第38页，本讲稿共61页第39页，本讲稿共61页问题的提出：问题的提出：脱氧核糖核酸全序列是由脱氧核糖核酸全序列是由A，T，C，G四种碱基按一定顺序排成长约四种碱基按一定顺序排成长约30亿的亿的序列。分析序列结构对于研究人类的生老病死遗传进化具有非常重大的作用。序列。分析序列结构对于研究人类的生老病死遗传进化具有非常重大的作用。本文作为研究脱氧核糖核酸序列结构的尝试，提出如下对序列集本文作为研究脱氧核糖核酸序列结构的尝试，提出如下对序列集合进行分类的问题：合进行分类的问题：给出给出20个已知类别的人工序列，个已知类别的人工
14、序列，110个个A类类1120个个B类，从中提取类，从中提取A，B两类特征进行分类，并构造判别函数对新样本进行判断。两类特征进行分类，并构造判别函数对新样本进行判断。（具体序列实（具体序列实例例见下页）见下页）第40页，本讲稿共61页人工序列样本举例人工序列样本举例A1:aggcacggaaaacgggaataacggaggaggacttggcacacggcattacacggaggacgaggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttggB1:gtattatattttttattttattattttagaatataatttgaggtatgtg
15、tttaaaaattttttttttttaaaatttataaatttaaA2:cggctggcggacaacggactggcggattccaaaacggaggaggaggcggacggaggctacaccaccgtttcggcggaaaggcggagggctggcaggaggctcattacgggagB2:gttatttttaaatttaattttaattttaaaatacaaaatttttactttctaaaattggtctctggatcgataatgtaaacttattgaatctatagaattacattattgat易见易见A类类g，c含量高，含量高，B类类a，t含量高含量高第41页，
16、本讲稿共61页由于由于DNA同时具有局部性质和全局性质特征。算法不但要对已知同时具有局部性质和全局性质特征。算法不但要对已知的的A，B组能分开而且对新序列也要具有良好的区分性能。因此组能分开而且对新序列也要具有良好的区分性能。因此要求分类办法具有良好的区分性能和鲁棒性要求分类办法具有良好的区分性能和鲁棒性（一）（一）从字母出现的从字母出现的频率出发频率出发（二）（二）从字母出现从字母出现的周期性角的周期性角度出发度出发可以从以下两个角度考虑可以从以下两个角度考虑第42页，本讲稿共61页方法（一）方法（一）蛋白质编码蛋白质编码DNA中中g，c的含量偏高；非编码的含量偏高；非编码DNA中中a，t含
17、量偏高，因此可含量偏高，因此可见见a，t，c，g出现的频率含有很多分类信息。为了能做定量化的分析引入出现的频率含有很多分类信息。为了能做定量化的分析引入内积的概念，将内积的概念，将a，t，c，g四种碱基出现频率作为四维向量的分量构造出四种碱基出现频率作为四维向量的分量构造出（Pa，Pt，Pc，Pg）A、B两组每个序列分别对应一个向量两组每个序列分别对应一个向量Ai，Bi（i=1，210）将未）将未知序列定义为新的向量知序列定义为新的向量C建立判据建立判据,将将C判给判给A或者或者B这里将向量在这里将向量在Hilbert空间意义下进行归一化，然后求空间意义下进行归一化，然后求C与与A，B的的组的
18、平均距离。从而确定分组组的平均距离。从而确定分组第43页，本讲稿共61页为归一化后的向量为归一化后的向量定义内积为欧式距离意义下的普通向量内积定义内积为欧式距离意义下的普通向量内积从而计算内积和从而计算内积和内积小的两个序列有理由认为其相关性小，相应的内积大相关性强；从内积小的两个序列有理由认为其相关性小，相应的内积大相关性强；从而有：当而有：当 时认为时认为C归于归于A类反之归于类反之归于B类类据此我们得出一种判别准则，即比较两个内积和的大小；可以据此我们得出一种判别准则，即比较两个内积和的大小；可以归为一个目标函数表达为：归为一个目标函数表达为：第44页，本讲稿共61页方法方法1的模型讨论
19、的模型讨论本方法是从统计的角度考虑的，采用频率趋向概率的思想。本方法是从统计的角度考虑的，采用频率趋向概率的思想。1、计算每个字母出现的频率、计算每个字母出现的频率2、找出、找出A，B两类脱氧核糖核酸链中的频率特性，两类脱氧核糖核酸链中的频率特性，3、建立四维向量空间，、建立四维向量空间，4、通过内积计算量化关联性、通过内积计算量化关联性5、建立判别函数、建立判别函数F进行分类进行分类模型缺陷：模型缺陷：只考虑了单个字母的特性。忽略了字母所在位置以及字母间的相互关系，只考虑了单个字母的特性。忽略了字母所在位置以及字母间的相互关系，因此对于频率特性不明显的情况本方法不理想。因此对于频率特性不明显
20、的情况本方法不理想。因此因此考虑考虑下述下述方法方法2第45页，本讲稿共61页方法（二）方法（二）从字母的周期性来考虑，例如字母从字母的周期性来考虑，例如字母“a”可设其在序列的第可设其在序列的第t1，t2t k1个位置。个位置。由于我们研究的是脱氧核糖核酸的片断所以不同的片断选择会导由于我们研究的是脱氧核糖核酸的片断所以不同的片断选择会导致同一个致同一个“a”对应不同的对应不同的ti。因此为了抵消这种线性位移的影响考虑如下表达：因此为了抵消这种线性位移的影响考虑如下表达：siti1ti。它表达了它表达了“a”出现的间距。即序列出现的间距。即序列s1，s2，sn表达了表达了“a”的的稠密度。稠
21、密度。考虑考虑s1，s2，sn的波动幅度，认为幅度越小的波动幅度，认为幅度越小si（i1，n）的值越统一，而的值越统一，而“a”的出现周期性越大。为此我们考虑方差。的出现周期性越大。为此我们考虑方差。第46页，本讲稿共61页同理可以求出同理可以求出Varg、Vart、Varc根据计算经验，根据计算经验，Varg、Vart具有很高的区分力，因此建立判别具有很高的区分力，因此建立判别函数表达式如下：函数表达式如下：F Varg/Vart间隔方差间隔方差计算结果计算结果的分布图的分布图第47页，本讲稿共61页方法二讨论方法二讨论本方法从字母的周期性进行分析，它统计了字母在序列中两次出现本方法从字母的
22、周期性进行分析，它统计了字母在序列中两次出现的间隔，并且用方差来度量间隔的波动大小由此也得到了较好的判的间隔，并且用方差来度量间隔的波动大小由此也得到了较好的判别函数。本法的最大特点就是考虑了全局和局部的性质。别函数。本法的最大特点就是考虑了全局和局部的性质。总结：总结：本文用两种方法从不同角度来考虑同样的脱氧核糖核酸分类问题。本文用两种方法从不同角度来考虑同样的脱氧核糖核酸分类问题。两种方法都用到了统计的思想但法一从单个字母的出现频率考虑两种方法都用到了统计的思想但法一从单个字母的出现频率考虑局部性质，法二则在前者基础上考虑到了全局性质。局部性质，法二则在前者基础上考虑到了全局性质。二者差别
23、在于不同的特征提取角度，从而实现了不同的分类办法。二者差别在于不同的特征提取角度，从而实现了不同的分类办法。第48页，本讲稿共61页问题分析：问题分析：模型假设：模型假设：通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地。四只脚着地。四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线 呈正方形呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。例例 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗?第49页，本讲稿共61
24、页建立模型：建立模型：用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称的对称性性xBADCODC B A 用用(对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位表示椅子位置置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性第50页，本讲稿共6
25、1页用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是是连续连续函数函数对任意对任意,f(),g()至少一个为至少一个为0数学问题：数学问题：已知：已知：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且 g(0)=0，f(0)0.证明：存在证明：存在 0，使，使f(0)=g(0)=0.地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地第51页，本讲稿共61页模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转将椅子旋转900，对角线，对角线AC和和
26、BD互换。互换。由由g(0)=0，f(0)0，知，知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由 f,g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数,据连续函数的基本性质据连续函数的基本性质,必存在必存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因为因为f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本质假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f(),g()的确的确定定第52页，本讲稿共61页 例例（万有引力定律的发现万有引力定律的发现）十五世
27、纪中期十五世纪中期，哥白尼哥白尼 提出了震惊世界的提出了震惊世界的 日心说日心说。丹麦著名的实验天文学丹麦著名的实验天文学 家家第谷第谷花了二十多年时间花了二十多年时间 观察观察纪录下了当时已发现的五大纪录下了当时已发现的五大 行星的运动情况行星的运动情况。第谷的学生和助手第谷的学生和助手 开普勒开普勒对这些资料进行了九年时间的对这些资料进行了九年时间的分析计算后分析计算后 得出著名的得出著名的Kepler三定律三定律。牛顿牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律万有引力定律。1.行星
28、轨道是一个椭圆，太行星轨道是一个椭圆，太 太阳位于此椭圆的一个焦太阳位于此椭圆的一个焦 点上。点上。2.行星在单位时间内扫过的行星在单位时间内扫过的 面积不变。面积不变。3.行星运行周期的平方正比行星运行周期的平方正比 于椭圆长半轴的三次方于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变比例系数不随行星而改变（绝对常数）（绝对常数）开普勒三大定律开普勒三大定律 这其中必这其中必 定是某一定是某一 力学力学规律规律 的反映，哼哼，我的反映，哼哼，我 要找出它。要找出它。第53页，本讲稿共61页如图，有椭圆方程如图，有椭圆方程:矢径所扫过的面矢径所扫过的面 积积A的微分为的微分为:由开普勒第二定由开普
29、勒第二定 律律:常数常数立即得出立即得出:即即:椭圆面积椭圆面积由此得出由此得出常数常数简单推导如下：简单推导如下：行星行星r太阳太阳第54页，本讲稿共61页我们还需算出行星的加速度，为此需要建立两种我们还需算出行星的加速度，为此需要建立两种不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记轴方向的单位向量记 为为i,沿短轴方向的单位向量记沿短轴方向的单位向量记 为为j，于是：，于是：进而有进而有 加速度加速度以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是是因
30、此得出因此得出由于由于第55页，本讲稿共61页也就是说行星的加速度为也就是说行星的加速度为由开普勒第三定律知由开普勒第三定律知为常数。若记为常数。若记那么就导出著名的那么就导出著名的 万有引力定律：万有引力定律：再将椭圆方程再将椭圆方程 两边微分两次，得两边微分两次，得将前面得到的结果将前面得到的结果和焦参数和焦参数代入，即得代入，即得第56页，本讲稿共61页 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。要的数据资料。2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计的分析计
31、 算，算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。提出若干符合客观实际的假设。3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。即建立数学模型。尽量尽量采用简单的数学工具采用简单的数学工具 4.模型求解。模型求解。5.模型的分析与检验。模型的分析与检验。在难以得出解析解时，也在难以得出解析解时，也应当借助应当借助 计算机计算机 求出数值求出数值解。解。1.31.3 数学建模的一般步骤数学建模的
32、一般步骤实体信实体信息息(数据数据)假设假设建模建模求解求解验证验证应用应用第57页，本讲稿共61页1.4 数学模型的分类数学模型的分类分类标准分类标准分类标准分类标准具体类别具体类别具体类别具体类别对某个实际问题对某个实际问题了解的深入程度了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特模型中变量的特征征连续型模型、离散型模型或确定性连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等模型、随机型模型等建模中所用的数建模中所用的数学方法学方法初等模型、微分方程模型、差分方初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等程模型、优化模型等研究课题的实际研究课题的
33、实际范畴范畴人口模型、生人口模型、生 态系统模型态系统模型、交通、交通流模型、经流模型、经 济模型、济模型、基因模型等基因模型等第58页，本讲稿共61页1.5 数学建模的难点数学建模的难点 观观察察、分分析析实实际际问问题题，作作出出合合理理的的假假设设，明明确确变变量量和和参参数数，形形成成明明确确的的数数学学问问题题.不不仅仅是翻译的问题；仅仅是翻译的问题；涉涉及及的的数数学学问问题题可可能能是是复复杂杂、困困难难的的，求求解解也也许许涉涉及及深深刻刻的的数数学学方方法法。如如何何作作出出正正确确的判断，寻找合适的（解析或近似）解法；的判断，寻找合适的（解析或近似）解法；如何验证模型如何验
34、证模型第59页，本讲稿共61页1.6 数学建模的基本方法数学建模的基本方法 机机理理分分析析 根根据据对对客客观观事事物物特特性性的的认认识识，找出反映内部机理的数量规律；找出反映内部机理的数量规律；测测试试分分析析 将将研研究究对对象象看看作作“黑黑箱箱”，通通过过对对量量测测数数据据的的统统计计分分析析，找找出出与与数数据据拟拟合合最好的模型最好的模型 二二者者结结合合 机机理理分分析析建建立立模模型型结结构构，测测试试分析确定模型参数分析确定模型参数 机机理理分分析析没没有有统统一一的的方方法法，只只要要通通过过实实例例研究来学习，建模主要指机理分析研究来学习，建模主要指机理分析第60页，本讲稿共61页1.7 怎样学习数学建模怎样学习数学建模第61页，本讲稿共61页