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1、导数的实际应用第1页，共37页，编辑于2022年，星期六第2页，共37页，编辑于2022年，星期六33.3导数的实际应用导数的实际应用第3页，共37页，编辑于2022年，星期六 某城市准备在半径为某城市准备在半径为R的圆形街心花园的中心竖一高杆灯，已知各点的圆形街心花园的中心竖一高杆灯，已知各点亮度与光线的倾角的正弦成正比，与光源距离的平方成反比，当高杆灯亮度与光线的倾角的正弦成正比，与光源距离的平方成反比，当高杆灯距离地面一定高度时，绕在街心花园周围的道路的亮度最大距离地面一定高度时，绕在街心花园周围的道路的亮度最大 问题：为使亮度最大，怎样设计高杆灯离地面的高度？问题：为使亮度最大，怎样设
2、计高杆灯离地面的高度？提示：建立亮度提示：建立亮度y随高度随高度h变化的函数关系式，用导数求变化的函数关系式，用导数求y最大时最大时h的值的值第4页，共37页，编辑于2022年，星期六1最优化问题最优化问题第5页，共37页，编辑于2022年，星期六 2求实际问题的最值的主要步骤求实际问题的最值的主要步骤 (1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数求函数的导数f(x)，解方程，解方程f(x)0，求出，求出 ；(3)比较函数在区间端点和在比较函数在区间端点和在 的取值大小，确定的取值大小，确定
3、其最大其最大(小小)者为最大者为最大(小小)值值极值点极值点极值点极值点第6页，共37页，编辑于2022年，星期六解决生活中的优化问题的思路：解决生活中的优化问题的思路：(1)审题：阅读理解文字表达的题意、分清条件和结论审题：阅读理解文字表达的题意、分清条件和结论(2)建模：利用数学知识建立相应的数学模型建模：利用数学知识建立相应的数学模型(3)解模：把数学问题转化为函数最值问题并求解解模：把数学问题转化为函数最值问题并求解(4)检验检验第7页，共37页，编辑于2022年，星期六第8页，共37页，编辑于2022年，星期六 思路点拨思路点拨设出顶点设出顶点O到底面中心到底面中心O1的距离的距离x
4、后，求出底面后，求出底面边长，表示出帐篷的体积边长，表示出帐篷的体积 例例1请您设计一个帐篷，它下部的形请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为长为3 m的正六棱锥的正六棱锥(如图所示如图所示)试问当帐篷试问当帐篷的顶点的顶点O到底面中心到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？的距离为多少时，帐篷的体积最大？第9页，共37页，编辑于2022年，星期六第10页，共37页，编辑于2022年，星期六第11页，共37页，编辑于2022年，星期六 一点通一点通解决面积，容积的最值问题，要正确引入变量，解决面积，容积的最值问题，要
5、正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值用导数求解函数的最值第12页，共37页，编辑于2022年，星期六第13页，共37页，编辑于2022年，星期六答案：答案：A第14页，共37页，编辑于2022年，星期六2(2011江苏高考江苏高考)请你设计一个包装盒如图所示，请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四
6、个点重四个点重合于图中的点合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)第15页，共37页，编辑于2022年，星期六(1)若广告商要求包装盒的侧面积若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问最大，试问x应取何值？应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问最大，试问x应取何值？并求应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值出此时包装盒的高与底面边长的比值第16页，共37页，编辑于202
7、2年，星期六第17页，共37页，编辑于2022年，星期六 例例2甲、乙两地相距甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过速度不得超过c千米千米/时，已知汽车每小时的运输成本时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米千米/时时)的平方成的平方成正比，比例系数为正比，比例系数为b(b0)；固定部分为；固定部分为a元元 (1)把全程运输成本把全程运输成本y(元元)表示为速度表示为速度v(千米千米/时时)的函数，并指出的函数，并指出这个函数的定义域；这个函
8、数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？第18页，共37页，编辑于2022年，星期六第19页，共37页，编辑于2022年，星期六第20页，共37页，编辑于2022年，星期六第21页，共37页，编辑于2022年，星期六 一点通一点通 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路另外需特别注意：是解题的主要思路另外需特别注意：合理选择变量，正合理选择变量，正确给出函数表达式；确给出函数表达式；与实际问题相联系；与实际问题相联系；必要时注意分必要时注意分类讨论思想的应用类讨论思想
9、的应用第22页，共37页，编辑于2022年，星期六3做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27，且用，且用料最省，则圆柱的底面半径为料最省，则圆柱的底面半径为_答案：答案：3第23页，共37页，编辑于2022年，星期六第24页，共37页，编辑于2022年，星期六第25页，共37页，编辑于2022年，星期六第26页，共37页，编辑于2022年，星期六 例例3 某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(百万元百万元)，可增加销售额约为，可增
10、加销售额约为t25t(百万元百万元)(0t5)(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？第27页，共37页，编辑于2022年，星期六 思路点拨思路点拨收益销售额投入，据此列函数表达式，收益销售额投入，据此列函数表达式，然后求最大值对应的自变量然后求最大值对应的自变量第28页，共37页，编辑于2022年，星期六第29页，共37页，编辑于2022年，星期六第30页，共37页，编辑于2022年，星期六 一点通一点通利润问题相关的变量比较多，如：成本、固
11、定投入、利润问题相关的变量比较多，如：成本、固定投入、生产投入、产品价格、销售量、利润等，正确寻找这些变量间的关生产投入、产品价格、销售量、利润等，正确寻找这些变量间的关系，准确写出函数解析式是解决问题的关键系，准确写出函数解析式是解决问题的关键第31页，共37页，编辑于2022年，星期六第32页，共37页，编辑于2022年，星期六答案：答案：C第33页，共37页，编辑于2022年，星期六第34页，共37页，编辑于2022年，星期六第35页，共37页，编辑于2022年，星期六利用导数解决生活中优化问题的一般步骤利用导数解决生活中优化问题的一般步骤第36页，共37页，编辑于2022年，星期六点击下图进入点击下图进入“应用创新演练应用创新演练”第37页，共37页，编辑于2022年，星期六