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1、n概述概述n线线性相位性相位FIRDF约约束条件和束条件和频频率响率响应应n窗函数法窗函数法n频频率取率取样样法法nFIR数字数字滤滤波器的波器的实现结实现结构构第五章第五章FIR数字数字滤波器波器设计和和实现1北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院概述：概述：IIR和和FIR比较比较nIIR与与FIR性能比较性能比较IIR数字滤波器数字滤波器幅频特性较好，但相频特性较差幅频特性较好，但相频特性较差 FIR数字滤波器数字滤波器可以严格线性相位，又可任意幅度特性可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统因果稳定系统可用可用 FFT 计算计算(计算两个有限长序列的线性卷积
2、计算两个有限长序列的线性卷积)但阶次比但阶次比 IIR 滤波器要高得多滤波器要高得多2北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院概述：概述：IIR和和FIR比较比较nIIR 与与 FIR 设计方法比较设计方法比较IIRDF无无限限冲冲激激响响应应，H(Z)是是z-1的的有有理理分分式式，借借助助于于模模拟拟滤滤波波器器设设计计方方法法，阶阶数数低低（同同样样性性能能要要求求）。其其优优异异的的幅幅频频特特性性是是以非线性相位为代价的。以非线性相位为代价的。缺点：缺点：只能设计特定类型的滤波器，不能逼近任意的频响。只能设计特定类型的滤波器，不能逼近任意的频响。FIRDF有有限限
3、冲冲激激响响应应，系系统统函函数数H(Z)是是z-1的的多多项项式式，采采用用直直接接逼逼近要求的频率响应近要求的频率响应。设计灵活性强。设计灵活性强。缺点：缺点：设计方法复杂；设计方法复杂；延迟大；延迟大；阶数高。阶数高。(运算量比较大，因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元运算量比较大，因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元)FIRDF的技术要求的技术要求通带频率通带频率p，阻带频率，阻带频率s及最大衰减及最大衰减p，最小衰减，最小衰减s很重要的一条是保证很重要的一条是保证H(z)具有具有线性相位线性相位。3北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院概述：概述：F
4、IRDF设计方法设计方法nFIR数字滤波器数字滤波器设计设计FIR滤波器的任务滤波器的任务给给定定要要求求的的频频率率特特性性，按按一一定定的的最最佳佳逼逼近近准准则则，选选定定h(n)及及阶数阶数N。三种设计方法三种设计方法窗函数加权法窗函数加权法频率采样法频率采样法FIRDF的的CAD-切比雪夫等波纹逼近法切比雪夫等波纹逼近法4北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院概述：概述：FIRDF零极点零极点n FIR滤波器的滤波器的I/O 关系：关系：n FIR 滤波器的系统传递函数：滤波器的系统传递函数：在在 Z 平面上有平面上有 N-1 个零点；在原点处有一个（个零点；在
5、原点处有一个（N-1）阶极点，永远稳定。）阶极点，永远稳定。nFIR 系统定义：系统定义：一个数字滤波器一个数字滤波器 DF 的输出的输出 y(n)，如果仅取决于如果仅取决于有限有限个过去的输入和现在的输入个过去的输入和现在的输入x(n),x(n-1),.,x(n-N+1)，则称之，则称之为为FIRDF。nFIR滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：5北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n FIR DF 的频率响应为：的频率响应为：FIR 滤滤波波器器的的最最重重要要特特点点是是能能实实现现线线性性相相位位。具具有有线线性性相相移移特特性性的的 FIR 滤滤波波器
6、器是是 FIR 滤滤波波器器中中应应用用最最广广泛泛的的一种。一种。Hr()：振幅响应，它是一个取值可正可负的实函数。：振幅响应，它是一个取值可正可负的实函数。()=arg H(ejw)为数字滤波器的相位响应。为数字滤波器的相位响应。概述：概述：FIRDF频率响应频率响应6北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n信信号号通通过过线线性性滤滤波波器器时时，其其幅幅度度和和相相位位可可能能会会发发生生改改变变，滤滤波波器器幅幅频频特特性性|H()|和和相相频频特特性性()可可能能会会随随频频率率的变化而改变。的变化而改变。如：如：输入正弦信号输入正弦信号 Acos(n0)则：
7、则：输出为输出为|H(0)|Acos(n0)，其中相移，其中相移(0)输出频率和输入频率相同，但幅度和相位都发生了变化输出频率和输入频率相同，但幅度和相位都发生了变化输出信号比输入信号滞后的样点数输出信号比输入信号滞后的样点数 n(位移位移)可由下式求得可由下式求得:设：设：n00 滤波器在数字频率滤波器在数字频率0 处的相位延迟（位移）处的相位延迟（位移）由于相位延由于相位延迟 n 的不同，最的不同，最终产生了相位失真。生了相位失真。确保不确保不产生相位失真的生相位失真的办法：使法：使不同频率不同频率的信号通的信号通过滤波器波器时有有相同的延迟相同的延迟 n。概述：概述：相位失真相位失真7北
8、京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n对对不同的频率不同的频率有有恒定的相移恒定的相移，不同的相位延不同的相位延迟n，会产会产生相位失真生相位失真.如：方波如：方波 y(t)可以用无数奇次谐波的正弦波的叠加来得到：可以用无数奇次谐波的正弦波的叠加来得到：若每个正弦波相移若每个正弦波相移/2 弧度：弧度：确保所有确保所有频率具有相同相位延率具有相同相位延迟的的简单方法简单方法：随着随着频率的率的变化而改化而改变相位，使相位，使滤波器具有波器具有线性相位特性，性相位特性，即使所有即使所有频率的相位延率的相位延迟保持恒定，保持恒定，这种方法可通种方法可通过使系使系统的相位函数的
9、相位函数()为频率率的的线性函数来性函数来实现。概述：概述：相位失真相位失真可见相移之后正弦波之和已不再是方波。可见相移之后正弦波之和已不再是方波。8北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移线性相移FIRDF约束条件和频率响应约束条件和频率响应n三个内容三个内容 约束条件约束条件恒延恒延时滤时滤波波h(n)偶偶对对称：恒相延称：恒相延时时和恒群延和恒群延时时同同时时成立成立h(n)奇奇对对称：称：仅仅恒群延恒群延时时成立成立频率响应频率响应TypeI：h(n)偶偶对对称、称、N为为奇数奇数TypeII：h(n)偶偶对对称、称、N为为偶数偶数TypeIII：h(n)奇
10、奇对对称、称、N为为奇数奇数TypeIV：h(n)奇奇对对称、称、N为为偶数偶数FIRDF零极点分布零极点分布9北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院相延时：相延时：群延时：群延时：线性相移线性相移FIRDF约束条件：约束条件：恒延时滤波恒延时滤波n恒延时滤波恒延时滤波 滤波器的延时分为滤波器的延时分为相延时相延时和和群延时群延时两种两种令令恒延时滤波器：恒延时滤波器：p()或或g()是是不随不随变化的常量，变化的常量，这这时滤波器具有线性相位特性。时滤波器具有线性相位特性。10北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院（负号是因为系统必有时延）（负号是
11、因为系统必有时延）由于由于 FIR 滤波器的传递函数为滤波器的传递函数为:w(w)0故故:线性相移线性相移FIRDF约束条件：约束条件：恒延时恒延时n恒相延时和恒群延时同时成立恒相延时和恒群延时同时成立要使要使p、g 都不随都不随 变化变化,()必须是一条过原点直线必须是一条过原点直线11北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院于是于是:线性相移线性相移FIRDF约束条件：约束条件：恒延时恒延时12北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院可以证明，当可以证明，当 线性相移线性相移FIRDF约束条件：约束条件：恒延时恒延时上式成立，此时上式成立，此时恒相延
12、时和恒群延时同时成立时，线性相位恒相延时和恒群延时同时成立时，线性相位滤波器的滤波器的必要条件必要条件是：是：不管不管 N 为偶数，还是为偶数，还是 N 为奇数，系统为奇数，系统冲激响应冲激响应 h(n)都关于中心点都关于中心点(N-1)/2 偶偶对称对称。当。当 N 为奇数时对称中心轴位于整数为奇数时对称中心轴位于整数样点上样点上;当当 N 为偶数时对称中心轴位于非为偶数时对称中心轴位于非整数样点上。整数样点上。h(n)为偶对称，为偶对称，N 为偶数为偶数07nh(n)h(n)为偶对称，为偶对称，N 为奇数为奇数06nh(n)13北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院于
13、是有：于是有：线性相移线性相移FIRDF约束条件：约束条件：恒群延时恒群延时n只要求恒群延时成立只要求恒群延时成立若只要求群延时若只要求群延时g()为一常数，则为一常数，则相移特性为不过原点的直线。相移特性为不过原点的直线。0()故故14北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院可以证明，当可以证明，当 上式成立，此时上式成立，此时故故线性相移线性相移FIRDF约束条件：约束条件：恒群延时恒群延时15北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院FIR滤波器单独满足恒定群延时的必要条件为：滤波器单独满足恒定群延时的必要条件为：冲激响应冲激响应 h(n)对中心点对
14、中心点(N-1)/2 成成奇对称奇对称。此时，无论。此时，无论 N 为奇为奇数或偶数，滤波器的相频特性均为线性，并包含有数或偶数，滤波器的相频特性均为线性，并包含有/2 的固定相移：的固定相移：因此，信号通过此类滤波器时不仅产生因此，信号通过此类滤波器时不仅产生(N-1)/2 个取样点的延迟，还将个取样点的延迟，还将产生产生 90o 的相移，通常这类滤波器又被称为的相移，通常这类滤波器又被称为 90o 移相器，并具有很好的移相器，并具有很好的应用价值。应用价值。当当 N 为奇数奇数时，故，故07h(n)为奇对称，为奇对称，N 为偶数为偶数nh(n)06h(n)为奇对称，为奇对称，N 为奇数为奇
15、数nh(n)线性相移线性相移FIRDF约束条件：恒群延时约束条件：恒群延时16北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n 奇对称：奇对称：()对所有的频率成分都有一个对所有的频率成分都有一个 90相移。相移。因此，因此，有四种类型的有四种类型的 FIR DF：线性相移线性相移FIRDF约束条件约束条件n线性相位约束条件线性相位约束条件对对于于任任意意给给定定的的值值 N，当当 FIR 滤滤波波器器的的 h(n)相相对对其其中中心心点点(N-1)/2 是是对对称称时时，不不管管是是偶偶对对称称还还是是奇奇对对称称，此此时时滤滤波波器器的的相相移移特特性性是是线线性性的的，且群
16、延时都是且群延时都是=(N-1)/2 。n偶对称偶对称：()为过原点的，斜率为为过原点的，斜率为-的一条直线的一条直线17北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移线性相移FIRDF频率响应：频率响应：TypeInh(n)偶对称，偶对称，N 为奇数（恒相时延、恒群时延为奇数（恒相时延、恒群时延此此时时，由由于于h(n)序序列列的的长长度度为为奇奇数数，因因此此滤滤波波器器的的频频率率响响应应函函数数可进行以下可进行以下拆分（前后对称部分、中心点）拆分（前后对称部分、中心点）：h(n)为偶偶对称，称，N 为奇数奇数06nh(n)对上式的第二和式作变量替换（对上式的第二和
17、式作变量替换（n=N-1-m)后得到后得到:由对称条件由对称条件则则H(ej)表示为：表示为：18北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移线性相移FIRDF频率响应：频率响应：TypeI令令则上式为则上式为19北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院 由由此此可可以以看看出出其其线线性性相相位位特特性性。由由于于cos(n)对对于于=0、2都都是是偶偶对对称称，所以所以幅度响幅度响应应Hr()对对=0、2也是偶也是偶对对称称。线性相移线性相移FIRDF频率响应：频率响应：TypeI其中其中振幅响应：振幅响应：相频响应：相频响应：N=9Hr(w)2
18、0北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院nh(n)偶对称，偶对称，N 为偶数（恒相时延、恒群时延为偶数（恒相时延、恒群时延由由于于h(n)序序列列的的长长度度为为偶偶数数，因因此此滤滤波波器器的的频频率率响响应应函函数数可可拆拆分分成如下成如下两部分（前后对称部分，中心点处无值）两部分（前后对称部分，中心点处无值）：线性相移线性相移FIRDF频率响应：频率响应：TypeIIh(n)为偶偶对称，称，N 为偶数偶数07nh(n)对上式的第二和式作变量替换（对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m)后得到后得到:由对称条件由对称条件则则H(ej)表示为：表示为：21北京邮电大
19、学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移线性相移FIRDF频率响应：频率响应：TypeII令令，则上式为：，则上式为：其中其中（注意（注意n从从1开始，即开始，即b(0)=0，或没有定义），或没有定义）22北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移线性相移FIRDF频率响应：频率响应：TypeII 与与所所设设计计的的b(n)或或h(n)无无关关，恒恒为为0。这这种种类类型型（即即h(n)偶偶对对称称，N为为偶偶数数）不不能用于高通或能用于高通或带带阻阻滤滤波器波器。（2）由由于于cos(n-1/2)对对于于=是是奇奇对对称称，所所以以，Hr(w)对
20、对=也也是是奇奇对对称称；以以=0、2为为偶偶对对称称。振幅响应：振幅响应：相频响应：相频响应：N=8n从从1开始开始Hr(w)注意：注意：（1）在在 =处，有：，有：23北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院nh(n)奇对称，奇对称，N 为奇数（恒群时延为奇数（恒群时延h(n)长度为奇数，拆分成前后两部分：长度为奇数，拆分成前后两部分：线性相移线性相移FIRDF频率响应：频率响应：TypeIII对上式的第二和式作变量替换，并利用对称条件对上式的第二和式作变量替换，并利用对称条件h(n)=-h(N-1-n)，得，得:06h(n)为奇对称，为奇对称，N 为奇数为奇数nh(n
21、)24北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院Hr(w)线性相移线性相移FIRDF频率响应：频率响应：TypeIII，则上式为：，则上式为：其中其中令令振幅响应：振幅响应：相频响应：相频响应：n从从1开始开始25北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院与与c(n)或或h(n)的的值值无无关关，因因此此，这这种种类类型型的的滤滤波波器器不不适适用用于于低低通通、带带阻阻或或高高通通滤滤波波器器设设计计，而而且且，这这说说明明jHr(w)是是纯纯虚虚数数，对对于于逼逼近近理理想想数数字字希希尔尔伯伯特特变变换换和和微微分分器器，它它是是很很有有用用的的。理理
22、想想的的希希尔尔伯伯特特变变换换是是一一个个全全通通滤滤波波器器，它它对对输输入入信信号号产产生生90度度的的相相移移，它它频频繁繁用用于于通通信信系系统统中中的的调调制。微分器广泛用于模制。微分器广泛用于模拟拟和数字系和数字系统统中中对对信号求信号求导导。(2)由由于于sin(n)对对于于=0、2都都是是奇奇对对称称，所所以以，Hr(w)以以=0、2为为奇奇对对称称。注意：注意：(1)在在 =0 和和 处，有：，有：线性相移线性相移FIRDF频率响应：频率响应：TypeIII26北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移线性相移FIRDF频率响应：频率响应：Type
23、IVnh(n)奇对称，奇对称，N 为偶数（恒群时延为偶数（恒群时延07h(n)为奇对称，为奇对称，N 为偶数为偶数nh(n)其中其中27北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移线性相移FIRDF频率响应：频率响应：TypeIVHr(w)与与 d(n)或或 h(n)的的取取值值无无关关，因因此此传传输输函函数数 H(z)在在 z=1 处处为为零零点点。显显然然，这这种种类类型型不不能能用用于于实实现现低低通通滤滤波波器器。又又有有，所所以以这这类类滤滤波波器器适适用用于于设设计希尔伯特变换和微分器计希尔伯特变换和微分器。注意：注意：(1)在在 =0 处，有：，有：(2
24、)由由于于 sin(n-1/2)在在=处处偶偶对对称称，在在0、2 是是奇奇对对称称，所所以以，Hr(w)以以=偶对称，偶对称，0、2为奇对称为奇对称。28北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院一般形式：一般形式：偶对称：偶对称：奇对称：奇对称：（两个恒时延条件）（两个恒时延条件）（一个恒时延条件）（一个恒时延条件）(Hr()为为 的实函数的实函数)线性相移线性相移FIRDF频率响应：频率响应：小结小结29北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院四类线性相位FIR滤波器第一类FIR 系统是 的线性组合，在 时，易取得最大值，因此这一类滤波器易体现低通特
25、性，且是偶函数。通过频率移位，又可体现高通、带通、带阻特性。所以，经典的低通、高通、带通和带阻滤波器的 都是偶对称的。第三、四类FIR 系统是 的线性组合，在 时，的值为零，且是奇函数。这一类滤波器都是作为特殊形式的滤波器，如Hilbert变换器、差分器等。请使用时注意。N最好取为奇数奇数，以便以中心点为对称。30北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n 一般的一般的 FIR DF 的零、极点：的零、极点：在在z=0处，有一个（处，有一个（N-1）阶的极点，故滤波器稳定；阶的极点，故滤波器稳定；其其零零点点要要求求 f(z)=0，根根据据代代数数理理论论，它它为为 N-1
26、阶阶多多项项式式，应应有有 N-1 个个根根，所所以以有有 N-1 个个零零点点。如如果果 h(n)为实数值，其根肯定是共轭对称的。为实数值，其根肯定是共轭对称的。线性相移线性相移FIRDF零极点分布零极点分布31北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院令：令：m=N-1-n于是：于是：线性相移线性相移FIRDF零极点分布零极点分布n线性相移线性相移 FIR DF 的零极点：的零极点：如果如果 zi 是是 H(z)的零点，即的零点，即 H(zi)=0 则则 H(z-1)=0，即，即 zi-1 亦为亦为 H(z)的零点。的零点。32北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信
27、息与通信工程学院n上面提到上面提到 zi 肯定是共轭的，故肯定是共轭的，故 zi*亦必为其零点亦必为其零点n于是零点有：于是零点有：1-1Za1Za21/bb线性相移线性相移FIRDF零极点分布零极点分布总结总结:(1)一般情况，一般情况，有四个零点，有四个零点：(2)r=1，单位圆上的零点：，单位圆上的零点：(共轭对共轭对)(3)位于实轴上的实数：位于实轴上的实数：b,1/b(实轴上的倒数对实轴上的倒数对)。(4)zi=1：单零点：单零点 33例例：设设FIR滤波器的系统函数为：滤波器的系统函数为：求出该滤波器的单位取样响应求出该滤波器的单位取样响应h(n)，判断是否具，判断是否具有线性相位
28、，求出其幅度特性和相位特性。有线性相位，求出其幅度特性和相位特性。解解：对对FIR数字滤波器，其系统函数为：数字滤波器，其系统函数为：34所以，该所以，该FIR滤波器具有第一类线性相位特性，设其频滤波器具有第一类线性相位特性，设其频率响应函数为率响应函数为幅度特性函数为：幅度特性函数为：相位特性函数为：相位特性函数为：35北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院思路：思路：理想数字滤波器理想数字滤波器设计的设计的 FIR 数字滤波器数字滤波器要求：要求：线性相位线性相位尽可能降低逼近误差尽可能降低逼近误差FIRDF窗口法（傅里叶级数法）窗口法（傅里叶级数法）hd(n)无限无
29、限长，且非因果，且非因果h(n)有限有限长，且因果，且因果36北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n设设所所要要求求的的DF的的频频率率响响应应是是Hd(ej)，需需要要注注意意：它它可可能能是是低低通通、高高通通、带带通通和和带带阻阻FIRDF，没没有有特特指指某某种种类类型型的数字滤波器。的数字滤波器。n不不管管是是何何种种FIRDF，它它的的频频率率响响应应是是频频域域中中的的周周期期函函数数，周期周期为为2，所以它可以展开，所以它可以展开为为傅氏傅氏级级数形式：数形式：窗口法：窗口法：基本原理基本原理式中式中hd(n)是傅里叶系数，也是是傅里叶系数，也是单位取位
30、取样响响应序列。序列。由傅里叶由傅里叶级数理数理论可得：可得：37北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院因此，所要求的因此，所要求的DF的系统函数便可求得：的系统函数便可求得：显显然然，Hd(z)是是非非因因果果的的，且且hd(n)的的持持续续时时间间为为-+，物物理上不可实现。理上不可实现。n我们可以采用我们可以采用逼近逼近Hd(ej)的方法的方法首先把首先把hd(n)先截短为有限项先截短为有限项，把，把hd(n)截为截为2M+1项，得：项，得：窗口法：窗口法：基本原理基本原理38北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院然后把截短后的然后把截短后的
31、hd(n)右移，使之变成因果性的序列。右移，使之变成因果性的序列。令令 H(z)等于等于 H1(z)乘以乘以 z-M 得：得：令令 h(n)=hd(n-M),n=0,1,2,.,2M，则则 频率响应频率响应 z=ej窗口法：窗口法：基本原理基本原理n显然显然H(z)是是物理可实现物理可实现的的其其冲冲激激响响应应h(n)的的持持续续时时间间也是也是有限有限的的选选择择hd(n)=hd(N-1-n)，保证保证H(z)具有线性相位具有线性相位。39北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院对对 hd(n)的截短必然产生误差，即以的截短必然产生误差，即以|H(ej)|近似近似|Hd
32、(ej)|。定定义逼近逼近误差差为均方误差均方误差：而而 Hd(ej)可以展开为：可以展开为：式中式中:窗口法：窗口法：性能分析性能分析n|H(ej)|对对|Hd(ej)|的逼近的逼近40北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院 因为因为|H(ej)|是对是对 hd(n)截短而产生的，假定：截短而产生的，假定：即当即当|n|M 时，时，An=0,Bn=0。所以把上述两式代入逼近误差中，利用三角函数的正交性可得：所以把上述两式代入逼近误差中，利用三角函数的正交性可得：由于上式中每一项都是正的，由于上式中每一项都是正的，所以，只有当所以，只有当最小。最小。窗口法：窗口法：性能分
33、析性能分析41北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院说明：说明：当用当用|H(ej)|Hd(ej)|时，要使，要使 2=min，|H(ejw)|的的截短后的单位取样响应截短后的单位取样响应 h(n)的系数必须等于所要求的幅频的系数必须等于所要求的幅频响应响应|Hd(ejw)|展成傅里叶级数的系数展成傅里叶级数的系数 hd(n)。有限项傅氏级数是在最小均方意义上对原信号的最佳逼近有限项傅氏级数是在最小均方意义上对原信号的最佳逼近 其逼近误差为：其逼近误差为：截短的截短的长度度M越大，逼近越大，逼近误差差2愈小愈小（因为（因为 hd(n)值愈小）。值愈小）。窗口法：窗口法：性
34、能分析性能分析42北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n将将 hd(n)截短：截短：相当于将相当于将 hd(n)与一窗函数与一窗函数 wR(n)相乘，即相乘，即窗口法：窗口法：Gibbs效应效应其中其中在一定意在一定意义上来看，窗函数决定了我上来看，窗函数决定了我们能能够“看到看到”多少个原来的冲激多少个原来的冲激响响应，“窗窗”这个用个用词的含的含义也就在此。也就在此。43北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n窗函数的频谱窗函数的频谱 窗口法：窗口法：Gibbs效应效应此此矩矩形形窗窗谱为一一钟形形偶偶函函数数，在在+2/N 之之间为其其主主瓣
35、瓣，主主瓣瓣宽度度 =4/N，在在主主瓣瓣两两侧有有无无数数幅幅度度逐逐渐减小的旁瓣减小的旁瓣,见图所示。所示。2/N-2/N主瓣主瓣第第1个旁瓣个旁瓣第第2个旁瓣个旁瓣44北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n 截短，根据时域相乘映射为频域卷积，得：截短，根据时域相乘映射为频域卷积，得：窗口法：窗口法：Gibbs效应效应为便于分析，我便于分析，我们假定假定|Hd(ejw)|是理想低通是理想低通滤波器波器LPF。式中式中积分等于分等于由由 c 到到 c 区区间内内 WNej(w-)下的面下的面积，随着，随着变化，化，窗函数的主瓣和不同正负、不同大小的旁瓣移入和移出积分区
36、窗函数的主瓣和不同正负、不同大小的旁瓣移入和移出积分区间间，使得此面，使得此面积发生生变化，化，也即也即|H(ejw)|的大小的大小产生波生波动。-wc0wc45北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院0WR()-c0cHd()0.50.50.08950.08950.04680.0468卷积卷积窗口法：窗口法：Gibbs效应效应-wc0wc-Hd()46北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n现在分析几个特殊频率点的滤波器性能现在分析几个特殊频率点的滤波器性能 =0 时：时：由由于于一一般般情情况况下下都都满满足足 c 2/N，因因此此，H(0)的的值
37、值近近似似等等于于窗谱函数窗谱函数 WR(ejw)与与轴围出的轴围出的整个面积整个面积。窗口法：窗口法：Gibbs效应效应0WR()-wc0wc-Hd()=c 时时：此此时窗窗谱主瓣一半在主瓣一半在积分区分区间内一半在区内一半在区间外，因此，窗外，因此，窗谱曲曲线围出的出的面面积，近似，近似为=0 时所围面积的一半所围面积的一半，即，即 。-wc0wcHd()w=wcWR(w-)47=c-2/N 时，正肩峰时，正肩峰 此此时时窗窗谱谱主主瓣瓣全全部部处处于于积积分分区区间间内内，而而其其中中一一个个最最大大负负瓣瓣刚刚好好移移出出积积分分区区间间，这这时时得得到到最最大大值值，形形成成正正肩肩
38、峰峰。之之后后，随随着着值值的的不不断断增大，增大，H(ejw)的值迅速减小，此时进入滤波器过渡带。的值迅速减小，此时进入滤波器过渡带。=c+2/N 时，负肩峰时，负肩峰 此此时时窗窗谱谱主主瓣瓣刚刚好好全全部部移移出出积积分分区区间间，而而其其中中一一个个最最大大负负瓣瓣仍仍全全部部处处于于区区间间内内，因因此此得得到到最最小小值值，形形成成负负肩肩峰峰。之之后后，随随着着值值的的继继续增大，续增大，H(ejw)的值振荡并不断减小，形成滤波器阻带波动。的值振荡并不断减小，形成滤波器阻带波动。-wc0wcHd()WR(w-)-wc0wcHd()WR(w-)48北京邮电大学信息与通信工程学院北京
39、邮电大学信息与通信工程学院 理想理想滤波器的不波器的不连续点演化点演化为过渡渡带 通通带与阻与阻带内出内出现起伏起伏过渡渡带：正负肩峰之间的频带正负肩峰之间的频带。其。其宽度等于窗口度等于窗口频谱的主瓣的主瓣宽度。度。对于矩形窗于矩形窗 WR(ejw),此此宽度度为 4/N。肩峰及波肩峰及波动：这是由窗函数的旁瓣引起的是由窗函数的旁瓣引起的。旁旁瓣瓣越越多多，波波动越越快快、越越多多。相相对值越越大大，波波动越越厉害害，肩肩峰峰越越强。肩肩峰峰和和波波动与与所所选窗窗函函数数的的形形状状有有关关，要要改改善善阻阻带的的衰衰减减特特性性只只能能通通过改改变窗函数的形状。窗函数的形状。n 加窗处理
40、对理想矩形频率响应的影响加窗处理对理想矩形频率响应的影响窗口法：窗口法：Gibbs效应效应49北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院 Gibbs 现象象在在对对hd(n)截截短短时时，由由于于窗窗函函数数的的频频谱谱具具有有旁旁瓣瓣，这这些些旁旁瓣瓣在在与与Hd(ejw)卷卷积时产积时产生了通生了通带带内与阻内与阻带带内的波内的波动动，称，称为为吉布斯吉布斯现现象象。长长度度N的的改改变变只只能能改改变变坐坐标标的的比比例例及及窗窗函函数数WR(ejw)的的绝绝对对大大小小，但但不不能能改改变变肩肩峰峰和和波波动动的的相相对对大大小小（因因为为不不能能改改变变窗窗函函数数
41、主主瓣瓣和和旁旁瓣瓣的的相相对对比比例例，波波动动是是由由旁旁瓣瓣引引起起的的），即即增增加加N，只只能能使使通通、阻阻带带内振内振荡荡加快，加快，过过渡渡带带减小，但相减小，但相对对振振荡荡幅度却不减小。幅度却不减小。结论：结论：过渡带宽度与窗的宽度过渡带宽度与窗的宽度 N N 有关，随之增减而变化。有关，随之增减而变化。阻带最小衰减（与旁瓣的阻带最小衰减（与旁瓣的相对幅度相对幅度有关）只由窗函数有关）只由窗函数 决定，与决定，与 N N 无关。无关。窗口法：窗口法：Gibbs效应效应50北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院GibbsGibbs现象；现象；现象；现象；
42、窗口法：窗口法：Gibbs效应效应51北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n设设计计FIRDF时时，窗窗函函数数不不仅仅可可以以影影响响过过渡渡带带宽宽度度，还还能能影影响响肩肩峰峰和和波波动动的的大大小小(阻阻带带的的衰衰减减)，因因此此，选选择择窗窗函函数数应使其频谱：应使其频谱：主瓣宽度尽量小，以使过渡带尽量陡。主瓣宽度尽量小，以使过渡带尽量陡。旁旁瓣瓣相相对对于于主主瓣瓣越越小小越越好好，这这样样可可使使肩肩峰峰和和波波动动减减小小，即即能能量量尽尽可能集中于主瓣内。可能集中于主瓣内。对对于于窗窗函函数数，这这两两个个要要求求是是相相互互矛矛盾盾的的，要要根根据
43、据需需要要进进行行折折衷衷的的选择，选择，窗口法：窗口法：常用窗函数常用窗函数w020lg|W(w)/W(0)|B3dBAD(dB/Oct)n为为了了定定量量地地比比较较各各种种窗窗函函数数的的性性能能，给出三个频域指标：给出三个频域指标：3db带带宽宽B，单单位位为为（最最大大可可能能的频率分辨力）的频率分辨力）最最大大旁旁瓣瓣峰峰值值A(dB)，A越越小小，由由旁旁瓣引起的谱失真越小瓣引起的谱失真越小旁瓣谱峰渐进衰减速度旁瓣谱峰渐进衰减速度D（dB/oct）一一个个好好的的窗窗口口，应应该该有有最最小小的的B、A及最大的及最大的D。52北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工
44、程学院n以下介绍的窗函数以下介绍的窗函数均为偶对称函数，都具有线性相位特性。均为偶对称函数，都具有线性相位特性。设设窗窗的的宽宽度度为为N，窗窗函函数数的的对对称称中中心心点点在在(N-1)/2处处。因因此此，均均为因果函数。为因果函数。n矩形窗矩形窗最简单的窗函数，从阻带衰减的角度看，其性能最差。最简单的窗函数，从阻带衰减的角度看，其性能最差。它的频率响应函数为：它的频率响应函数为：窗口法：窗口法：基本窗函数基本窗函数_矩形窗矩形窗振幅响振幅响应53北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院为为了了对对过过渡渡带带和和阻阻带带衰衰减减进进行行精精确确分分析析，对对窗窗振振幅
45、幅响响应应进进行行连连续续积积分分（或累积振幅响应），即（或累积振幅响应），即矩形窗函数矩形窗函数w(n)以及它的振幅响应、累积振幅响应如下图所示。以及它的振幅响应、累积振幅响应如下图所示。窗口法：窗口法：基本窗函数基本窗函数_矩形窗矩形窗n性能指标性能指标3dB带宽带宽B=0.89最大旁瓣峰值最大旁瓣峰值A=-13dB旁瓣谱峰渐进衰减速度旁瓣谱峰渐进衰减速度D=-6dB/oct在在 Matlab 中，实现矩形窗中，实现矩形窗的函数为的函数为 w=boxcar(n)。54北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院振幅响应振幅响应在在=1处具有第一个零点：处具有第一个零点：因而
46、主瓣的宽度为因而主瓣的宽度为2，所以过渡带宽也近似为，所以过渡带宽也近似为2。大约在大约在=3/N处，出现第一个旁瓣（即主旁瓣），其幅度为：处，出现第一个旁瓣（即主旁瓣），其幅度为：将它与主瓣振幅将它与主瓣振幅N比较，则最大旁瓣峰值比较，则最大旁瓣峰值A(dB)为为A=-13db。累积振幅响应累积振幅响应第一个旁瓣为第一个旁瓣为21dB，这个这个21dB的阻带衰减与窗长度的阻带衰减与窗长度N无关无关。根据最小阻带衰减，可以根据最小阻带衰减，可以精确地计算出过渡带宽精确地计算出过渡带宽为：为：它大约是近似带宽的一半。它大约是近似带宽的一半。窗口法：窗口法：基本窗函数基本窗函数_矩形窗矩形窗55北
47、京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n三角窗（或三角窗（或 巴特利特巴特利特 Bartlett 窗）窗）由由于于矩矩形形窗窗从从 0 到到 1（或或 1 到到 0）有有一一个个突突变变的的过过渡渡带带，这这造造成成了了吉吉布布斯斯现现象象。Bartlett 提提出出了了一一种种逐逐渐渐过过渡渡的的三三角角窗窗形形式式，它是两个矩形窗的卷积。它是两个矩形窗的卷积。B=1.28,A=-27dB,D=-12dB/oct，近近似似过过渡渡带带宽宽8/N，精精确确过过渡渡带带宽宽6.1/N，最最小小阻阻带带衰衰减减25dB。与与矩矩形形窗窗来来比比较较，阻阻带带衰衰减性能有所改善，
48、但代价是减性能有所改善，但代价是过过渡渡带带的加的加宽宽。窗口法：窗口法：基本窗函数基本窗函数_三角窗三角窗56北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n在在 Matlab Matlab 中中，函函数数 bartlett(n)bartlett(n)和和 triang(n)triang(n)用用来来计计算算相相似似的的三三角角窗窗，但但它它们们有有两两个个重重要要的的区区别别：bartlett bartlett 函函数数返返回回的的序序列列两两端端总总是是 0 0，因因此此，对对于于奇奇数数 n n，语语句句 bartlett(n+2)bartlett(n+2)的的中中间间部
49、部分分等等于于 triang(n)triang(n)；对对于于偶偶数数 n n，bartlett bartlett 仍然是两个矩形序列的卷积，但仍然是两个矩形序列的卷积，但 n n 为偶数时的三角窗没有标准定义。为偶数时的三角窗没有标准定义。5.3.3窗口法：窗口法：基本窗函数基本窗函数_三角窗三角窗57北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n余弦窗余弦窗B=1.2,A=-23dB,D=-12dB/oct。近近似似过过渡渡带带宽宽8/N，精精确确过过渡渡带宽带宽6.5/N，最小阻带衰减，最小阻带衰减34dB。窗口法：窗口法：基本窗函数基本窗函数_余弦窗余弦窗或或其中其中频
50、率响率响应58北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院窗口法：窗口法：基本窗函数基本窗函数_余弦窗余弦窗59北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院n升余弦窗函数升余弦窗函数汉汉宁宁窗窗、汉汉明明窗窗、布布莱莱克克曼曼窗窗都都是是升升余余弦弦窗窗的的特特例例。它它们们都都是是频频率率为为 0 2/(N-1)和和 4/(N-1)的的余余弦弦序序列列的的组组合合。升升余余弦弦窗窗的频率特性比矩形窗有很大改善。的频率特性比矩形窗有很大改善。其中其中 A、B、C 为常数。为常数。当当A=0.5，B=0.5，C=0时时，为为汉汉宁宁(Hanning)窗窗。Matl