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1、FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计7/10/2022 无限长单位冲激响应（无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的）滤波器的优点优点是可以用模拟滤是可以用模拟滤波器设计的结果来实现，且可用较少的阶数达到所要求的波器设计的结果来实现，且可用较少的阶数达到所要求的幅度特性，实时所需的运算次数及存储单元都比较少，十幅度特性，实时所需的运算次数及存储单元都比较少，十分适用于对相位要求不严格的场合。分适用于对相位要求不严格的场合。 但但图像处理图像处理以及以及数据传输数据传输要求信道具有要求信道具有线性相位特性线性相位特性，而，而有限长冲激响应（有限长冲激响应（FIR）滤波器很容易做成严格的线性相位）滤
2、波器很容易做成严格的线性相位特性，且特性，且h(n)是有限长的，可用是有限长的，可用FFT算法来实现过滤信号，算法来实现过滤信号，从而大大提高效率。从而大大提高效率。 主要不足之处：其较好的性能是主要不足之处：其较好的性能是以较高的阶数为代价以较高的阶数为代价换来换来的。（的。（IIR的设计中各种变换对的设计中各种变换对FIR滤波器不适用。）滤波器不适用。）7/10/2022 实际应用中的实际应用中的FIR总是具有总是具有线性相位线性相位特性的，对非线性的特性的，对非线性的FIR滤波器，一般用滤波器，一般用IIR滤波器实现（阶数少，运算次数少，滤波器实现（阶数少，运算次数少，存储单元少等）。存
3、储单元少等）。一、一、线性相位线性相位FIR滤波器条件滤波器条件 FIR滤波器的频率响应：滤波器的频率响应：)(10| )(|)()( jjNnjnjeeHenheH要使要使 ( )=argH(ej)满足线性相位，要从满足线性相位，要从恒时延恒时延考虑。考虑。（ h(n)为实序列）为实序列）7/10/2022 )()(p群延时为群延时为 d)(d)(g 所谓所谓恒延时滤波恒延时滤波就是要求就是要求 p( )或或 g( )是不随是不随 变化的常量。变化的常量。2、相位条件推导相位条件推导 有两类准确的线性相位，分别满足要求：有两类准确的线性相位，分别满足要求： ( )=，（同时满足恒相延时与恒群
4、延时），（同时满足恒相延时与恒群延时） ( )=b b，（只满足，（只满足恒群延时）恒群延时）1、恒时延滤波恒时延滤波定义：滤波器的相延时为定义：滤波器的相延时为7/10/2022 1010sincos)()()(NnNnjnjnjnnhenheH故有故有 0 ( ) 1010cos)(sin)(arctan)(argNnNnjnnhnnheH cossincos)(sin)()tan(1010NnNnnnhnnh )(、 ( )= 图像是经过原点的一条斜线。图像是经过原点的一条斜线。7/10/2022 1010sincos)(cossin)(NnNnnnhnnh 0)(sin)(10 Nnn
5、nh式式7.1是使是使FIR滤波器具有滤波器具有 ( )=线性相位的线性相位的必要且充分条件必要且充分条件。可以证明，要使上式成立，必须满足可以证明，要使上式成立，必须满足 10 )1()(2/ )1(NnnNhnhN式式7.17/10/2022h(n)以以(N-1)/2为轴呈偶对称为轴呈偶对称nN-10(N-1)/2h(n)N为偶数为偶数N为奇数为奇数nN-10(N-1)/2h(n)h(n)=h(N-1-n)称为称为偶对称序列偶对称序列。要求要求h(n)序列以序列以n=(N-1)/2为偶对称中心，时间延时为偶对称中心，时间延时 =(N-1)/2个抽样周期。（无论个抽样周期。（无论N为奇数或偶
6、数都应满足为奇数或偶数都应满足h(n)以以n=(N-1)/2轴为偶对称中心。）轴为偶对称中心。）7/10/2022 0)(sin)(10 b b Nnnnh式式7.2是使是使FIR滤波器具有滤波器具有 ( )=b b（ b b=p p/2）线性相位）线性相位的的必要且充分条件必要且充分条件。 可以证明，要使上式成立，必须满足可以证明，要使上式成立，必须满足式式7.2 p p b b 10 )1()(/2 2/ )1(NnnNhnhN/2-/2、 ( )=b b 图像为不过原点的一条斜线图像为不过原点的一条斜线按方法按方法做同样推导，得做同样推导，得0()7/10/2022要求要求h(n)序列以
7、序列以n=(N-1)/2为奇对称中心，时延为奇对称中心，时延 =(N-1)/2个个抽样周期。抽样周期。当当n=(N-1)/2时代入式时代入式7.2h(n)以以(N-1)/2为轴呈奇对称为轴呈奇对称0)21()211()21( NhNNhNhh(n)=h(N-1-n)称为称为奇对称序列奇对称序列。N为偶数为偶数nN-10(N-1)/2h(n)N为奇数为奇数nN-10(N-1)/2h(n)7/10/2022 10)()(NnnznhzH 1121211210)()21()(NNnnNNnnznhzNhznh直接画网络结构，有直接画网络结构，有N次乘法与次乘法与N-1次加法次加法总体来说，当总体来说
8、，当FIR滤波器的冲激响应滤波器的冲激响应h(n)为为偶对称或奇对称偶对称或奇对称时，时，此滤波器的此滤波器的相位相位特性是特性是线性线性的，且群时延恒定的，且群时延恒定=(N-1)/2。二、二、线性相位线性相位FIR数字滤波器的网络结构及其频率响应数字滤波器的网络结构及其频率响应 (由于由于h(n)有奇对称、偶对称以及有奇对称、偶对称以及N为奇数、偶数区别，为奇数、偶数区别，故分为故分为4种情况讨论。种情况讨论。) 1、偶对称，偶对称，N为奇数为奇数 h(n)=h(N-1-n)网络结构网络结构将其分解将其分解7/10/2022 1121)(NNnnznh令令n=N-1-m 1210)1()1
9、(NmmNzmNh将将m换成换成n 1210)1()1(NnnNznNh则则 1210)1(211210)1()21()()(NnnNNNnnznNhzNhznhzH211210)1()21()()( NNnnNnzNhzznhzH由于由于h(n)=h(N-1-n)经化简后的经化简后的H(z)共有共有N次加法，次加法，(N+1)/2次乘法。次乘法。（可减少约一半乘法器）（可减少约一半乘法器）7/10/2022图图7.3 线性相位线性相位FIR滤波器网络结构（直接型）滤波器网络结构（直接型）h(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数为奇数y(n)x(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1
10、z-1z-1)21N(h h(0)h(1)h(2)23N(h )25N(h 211210)1()21()()( NNnnNnzNhzznhzH画出网络结构图画出网络结构图7/10/2022211210)1()21()()( NNnnNnzNhzznhzH)21()(1210)21(2121 NhzznhzNnnNnNN将将z=ej 代入，并利用欧拉公式代入，并利用欧拉公式)21()21cos(2)()(121021 NhnNnheeHNnNjj令令m=(N-1)/2-n，则，则)21(cos2)21()(21121 NhmmNheeHNmNjj提出因子提出因子21Nz 频率响应频率响应7/10
11、/2022)21(cos2)21()(21121 NhnnNheeHNnNjj其中其中 0 )21(20 )21()(nnNhnNhna)()()( jjeHeH与与比较比较幅度函数幅度函数相位函数相位函数 210cos)()(NnnnaH 21)(N将将m换成换成n 21021cos)()(NnNjjnnaeeH7/10/202220H( )( 20-(N-1)可看出当可看出当h(n)为为偶对称、偶对称、N为奇数为奇数时：时：由于由于cos(n )对于对于 =0、p p、2p p皆为偶对称，皆为偶对称，所以所以H( )对对 =0、p p、2p p，也呈偶对称。，也呈偶对称。7/10/2022
12、 10)()(NnnznhzH 12120)()(NNnnNnnznhznh直接画出网络结构，有直接画出网络结构，有N次乘法与次乘法与N次加法次加法 120)1()1(NmmNzmNh将将m换成换成n 120)1()1(NnnNznNh又由于又由于h(n)=h(N-1-n) 120)1()()(NnnNnzznhzH经变化后经变化后H(z)共有共有N次加法，次加法，N/2次乘法（可减少一半乘法器）次乘法（可减少一半乘法器）2、偶对称，偶对称，N为偶数为偶数，h(n)=h(N-1-n)网络结构网络结构令令n=N-1-m7/10/2022图图7.4 线性相位线性相位FIR滤波器网络结构滤波器网络结
13、构h(n)为偶对称，为偶对称，N为偶数为偶数x(n)y(n)z-1h(0)z-1z-1h(1)z-1z-1h(2)z-1z-1z-1z-1)12N(h )22N(h 120)1()()(NnnNnzznhzH7/10/2022 120)1()()(NnnNnzznhzH提出因子提出因子21 Nz频率响应频率响应 2121)21cos()()(NnNjjnnbeeH并将并将z=ej 代入，并利用欧拉公式，代入，并利用欧拉公式，以及进行变量代换，得以及进行变量代换，得)2(2)(nNhnb )()()( jjeHeH与与比较比较幅度函数幅度函数相位函数相位函数 21)21cos()()(Nnnnb
14、H 21)(N7/10/2022注意：注意：这种滤波器不能用于这种滤波器不能用于高通与带阻高通与带阻，因为因为H(p p)=0 ，而以上二者在，而以上二者在 =p p处不为处不为0。)( 20-(N-1)20H( )可看出当可看出当h(n)为为偶对称、偶对称、N为偶数为偶数时，时，H( )的特点如下：的特点如下：当当 =p p时，时，cos(n-1/2)p p=0，故，故H(p p)=0即即H(z)在在z=-1处有一零点。处有一零点。由于由于cos(n-1/2) 对对 =p p奇对称，对奇对称，对 =0、2p p偶对称，偶对称，所以所以H( )对对 =p p呈奇对称，对呈奇对称，对 =0、2p
15、 p呈偶对称呈偶对称7/10/2022211210)1()21()()( NNnnNnzNhzznhzH此时此时0)21( Nh 1210)1()()(NnnNnzznhzH3、奇对称，奇对称，N为奇数为奇数 h(n)=h(N-1-n)网络结构网络结构 化简方法同偶对称，化简方法同偶对称，N为奇数为奇数7/10/2022图图7.5 线性相位线性相位FIR滤波器网络结构滤波器网络结构h(n)为奇对称，为奇对称，N为奇数为奇数 1210)1()()(NnnNnzznhzH-1-1-1-1x(n)y(n)z-1h(0)z-1z-1h(1)z-1z-1h(2)z-1z-1z-1z-1z-1)23N(h
16、 )25N(h -17/10/2022 1210)1()()(NnnNnzznhzH进行化简进行化简提出因子提出因子21 Nzjjej p p p p p p)2sin()2cos(2频率响应频率响应 p p 211)212(sin)()(NnNjjnnceeH)21(2)(nNhnc 幅度函数幅度函数相位函数相位函数 210sin)()(NnnncH p p 212)(N注意：注意：7/10/2022注意：注意：这种滤波器同样不能用于这种滤波器同样不能用于高通与带阻高通与带阻滤波器。滤波器。)( 20p p )23N(/220H( )可看出当可看出当h(n)为为奇对称、奇对称、N为奇数为奇数
17、时，时，H( )的特点如下：的特点如下： sin(n )在在 =0，p p，2p p处都为处都为0，因此，因此H( )在在 =0，p p ，2p p处也都为处也都为0，即，即H(z)在在z=1处有零点。处有零点。 sin(n )在在 =0、 p p、2p p处都呈奇对称，故处都呈奇对称，故H( )对对 =0、p p 、2p p也呈奇对称。也呈奇对称。7/10/2022 120)1()()(NnnNnzznhzH图图7.6 线性相位线性相位FIR滤波器网络结构滤波器网络结构h(n)为奇对称，为奇对称，N为偶数为偶数x(n)y(n)z-1h(0)z-1z-1h(1)z-1z-1h(2)z-1z-1
18、z-1z-1)12N(h )22N(h -1-1-1-1-14、奇对称，奇对称，N为偶数为偶数 h(n)=h(N-1-n)网络结构网络结构化简方法同偶对称，化简方法同偶对称，N为偶数为偶数7/10/2022 p p 21)212()21sin()()(NnNjjnndeeH)2(2)(nNhnd 幅度函数幅度函数相位函数相位函数 21)21sin()()(NnnndH p p 212)(N可看出当可看出当h(n)为奇对称、为奇对称、N为偶数时，为偶数时，H()的特点如下：的特点如下： sin(n-1/2) 在在 =0，2p p处为处为0，故，故H( )在在 =0，2p p处也为处也为0，即，即
19、H(z)在在z=1处有零点。处有零点。频率响应频率响应7/10/2022任何一种线性相位任何一种线性相位FIR滤波器的群时延恒定。滤波器的群时延恒定。)( 20p p )23N(/22p pp p0H( )21)()( Ndd sin(n-1/2) 在在 =0、2p p处呈奇对称，在处呈奇对称，在 =p p呈偶对称呈偶对称故故H( )在在 =0、2p p 处呈奇对称，在处呈奇对称，在 =p p呈偶对称。呈偶对称。7/10/2022则则 1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH令令m=N-1-n，则，则 10)1()()(NmmNzmhzH 10)1()()(NmmNzmhzzH三、
20、三、线性相位线性相位FIR滤波器的零极点分布滤波器的零极点分布 在第五章介绍过，在第五章介绍过，FIR滤波器系统函数滤波器系统函数H(z)在在z=0处有处有N-1阶极点阶极点，在有限，在有限z平面上有平面上有N-1个零点个零点，那么如果滤波器是，那么如果滤波器是线性相位的，则此线性相位的，则此N-1个零点的分布是有规律的。个零点的分布是有规律的。 一个线性相位一个线性相位FIR滤波器有滤波器有h(n)=h(N-1-n)(1)1( zHzN7/10/2022)()(1)1( zHzzHN)()()1(1zHzzHN 或或 若若z=zi 是是H(z)的零点，即的零点，即 H(zi)=0，则，则 H
21、(zi-1)=0即即z=1/zi=zi-1也一定是也一定是H(z)的零点，的零点， 由于由于h(n)是实序列，所以是实序列，所以H(z)零点必然以零点必然以共轭对共轭对形形式存在，即式存在，即 zi*与与(zi*)-1 也是也是H(z)的零点的零点结论结论：线性相位：线性相位FIR滤波器的零点必是滤波器的零点必是互为倒数的共轭对互为倒数的共轭对。因而得到因而得到7/10/2022ijiierz 零点零点 zi 既不在实轴上，也不在既不在实轴上，也不在单位圆上单位圆上，如图，如图ri1， i0jIm(z)z平面平面Re(z)10zizi*zi-1(zi*)-1)(1)1)(1)(1()(1111
22、11 zzzzzzzzzHiiiii这四个这四个零点是两组互为倒数的共轭对零点是两组互为倒数的共轭对。因而他们的基本因子为：因而他们的基本因子为：ijiierz ijiierz ijiierz 1)(1ijiierz 11分以下几种情况分以下几种情况 设零点设零点7/10/202243211)( zazbzazzHiiiirra cos)1(22iiirrb cos412其中其中上式可用线性相位上式可用线性相位FIR滤波器滤波器直接型结构直接型结构实现实现 (N=5)(1)1)(1)(1()(111111 zzzzzzzzzHiiiii或化成两个实系数二阶多项式（把共轭对因子相乘）或化成两个实
23、系数二阶多项式（把共轭对因子相乘）用线性相位用线性相位FIR滤波器滤波器级联型结构级联型结构实现实现化简后为化简后为xi(n)z-1z-1abyi(n)z-1z-1a7/10/2022jIm(z)z平面平面Re(z)10zizi*ijiez ijiez ij1ie)z( ij1iez 这时这时零点的共轭值就是它的倒数零点的共轭值就是它的倒数。因而他们的基本因子为：因而他们的基本因子为：)1)(1()(11 zzzzzHiii21cos21 zzi用线性相位用线性相位FIR滤波器滤波器直接型结构直接型结构实现实现 (N=3) 零点零点zi在单位圆上，但不在实轴上在单位圆上，但不在实轴上如图如图r
24、i1， i0 xi(n)z-1z-1-2cos iyi(n)7/10/2022iirz iirz i1ir1)z( i1ir1z 这时这时零点为实数，共轭值就是本身零点为实数，共轭值就是本身。因而他们的基本因子为：因而他们的基本因子为：21111)1(1)1)(1()( zzrrzzzzzHiiiii用线性相位用线性相位FIR滤波器滤波器直接型结构直接型结构实现实现 (N=3)Re(z)jIm(z)z平面平面10zizi-1 i0“”号表示零点在负半轴，号表示零点在负半轴，“”号表示零点在正半号表示零点在正半轴轴 零点零点zi在实轴上，但不在单位圆上在实轴上，但不在单位圆上如图如图 ri1，
25、i0或或 i7/10/2022jIm(z)z平面平面Re(z)10-1这时零点只能有两种情况，这时零点只能有两种情况，z=1 或或z= -1，因而他们的基本因子为：因而他们的基本因子为：)z1()z(H1i “”号表示零点在号表示零点在z=-1处，处，“”号表示零点在号表示零点在z=1 用线性相位用线性相位FIR滤波器滤波器直接型结构直接型结构实现实现 (N=2) 零点零点zi既在实轴上，又在单位圆上既在实轴上，又在单位圆上如图如图ri1， i0或或 i7/10/2022线性相位线性相位FIR滤波器的零点滤波器的零点只能有以上四种情况只能有以上四种情况 那么线性相位那么线性相位FIR滤波器的系
26、统函数滤波器的系统函数H(z)也可能由以上这也可能由以上这四种因子组合四种因子组合而构成。而构成。 至此，了解了线性相位至此，了解了线性相位FIR滤波器的各种特性。在应用时，滤波器的各种特性。在应用时，可根据实际需要选用合适类型的可根据实际需要选用合适类型的FIR滤波器，同时设计时滤波器，同时设计时要遵循有关的要遵循有关的约束条件约束条件。 后续讨论线性相位后续讨论线性相位FIR滤波器的滤波器的设计方法设计方法。7/10/2022一、一、设计思路设计思路 一个理想的低通数字滤波器的频率响应如图所示，它以一个理想的低通数字滤波器的频率响应如图所示，它以2p p为周期，用傅氏反变换可求得此滤波器的
27、冲激响应。为周期，用傅氏反变换可求得此滤波器的冲激响应。-2p p|Hd(ej)|2p pp p-p p0 c- cp p p p p p p pp p nndedeeHnhcjnjnjddcc)sin(21)(21)(7/10/2022此冲激响应是无限长，但要求的是此冲激响应是无限长，但要求的是有限长冲激响应滤波器有限长冲激响应滤波器，要由要由hd(n)得到得到FIR滤波器的冲激响应滤波器的冲激响应h(n)，最直接的方法就，最直接的方法就是将是将hd(n)截短，即令（假设截短，即令（假设N为奇数）为奇数） p p nnnnhcd- )sin()( else 021-N|n| (n)(dhnh
28、n0hd(n)21-N21-N h(n)7/10/2022)()()(nwnhnhRd else 021-N|n| 1)(nwR这样便得到了这样便得到了FIR数字滤波器的冲激响应数字滤波器的冲激响应h(n)，但此滤波，但此滤波器的频率响应器的频率响应H(ej)肯定与理想滤波器的频率响应肯定与理想滤波器的频率响应Hd(ej)有有差异差异。（因为。（因为h(n)与与hd(n)的差异）的差异）二、二、理论分析理论分析 频率响应频率响应H(ej)是是冲激响应冲激响应h(n)的傅氏变换的傅氏变换)()()(nwnhnhRd 上式相当于将上式相当于将hd(n)与一矩形与一矩形窗函数窗函数wR(n)相乘，即
29、相乘，即)()(21)( p p jRjdjeWeHeH7/10/2022 2121 )()(NNnjnnjnRjReenweW else 021-N|n| 1)(nwR级数求和后利用欧拉公式，得到级数求和后利用欧拉公式，得到2sin2sin)( NeWjR02p p/N-2p p/NWR(ej)2p pp pWR(ej)在在2/N之之内为一个内为一个主瓣主瓣，两，两侧形成许多衰减振侧形成许多衰减振荡的旁瓣。（周期荡的旁瓣。（周期函数）函数）矩形窗函数矩形窗函数wR(n)的傅氏变换为的傅氏变换为WR(ej)7/10/2022)()(21)( p p jRjdjeWeHeH图中图中阴影所示面积，
30、即为积分的值阴影所示面积，即为积分的值，当，当 变化时，变化时，此曲线左右移动，此面积也就发生变化。此曲线左右移动，此面积也就发生变化。因而得到频率响应因而得到频率响应H(ej) p pp p p p p p ccdeWdeWeHjRjRjd21)(21)()(7/10/2022当当 逐渐增大，随着图中不同正负，不同大小的旁瓣逐渐增大，随着图中不同正负，不同大小的旁瓣移出和移入积分区间，使得移出和移入积分区间，使得H(ej )的大小产生波动。的大小产生波动。 p p p p ccccdeWdeWeHjRjRj)(21)(21)(0几个特殊的频率点几个特殊的频率点 当当 =0时时7/10/202
31、2 继续增大，主瓣开始移出积分区间，因此继续增大，主瓣开始移出积分区间，因此H(ej) 迅速下降，迅速下降，进入过渡带。进入过渡带。整个主瓣仍在区间内，而面积最大且为负值的旁瓣有一个已完整个主瓣仍在区间内，而面积最大且为负值的旁瓣有一个已完全移出区间，故此时全移出区间，故此时H(ej )取最大值约为取最大值约为1.0895 H(ej0) ，此处称，此处称为为上臂峰上臂峰或或正肩峰正肩峰。 当当 = c2p p/N 时时7/10/2022即主瓣的中心移到了即主瓣的中心移到了 c处，此时区间内曲线下的面积近似处，此时区间内曲线下的面积近似等于等于 =0时面积的一半，因此时面积的一半，因此H(ej
32、c) H(ej0)/2 当当 = c时时7/10/2022 继续增大到继续增大到p p，H(ej )随着区间内旁瓣的移动而在阻带内随着区间内旁瓣的移动而在阻带内 波动波动 整个主瓣完全移出了积分区间，而面积最大的一个负值旁整个主瓣完全移出了积分区间，而面积最大的一个负值旁瓣还全部在此积分区间内，因此使得瓣还全部在此积分区间内，因此使得H(ej )取最小值，约为取最小值，约为-0.0895 H(ej0) ，此处称为，此处称为下臂峰下臂峰或或负肩峰负肩峰。 当当 = c+2p p/N时时7/10/2022由图可知，加了矩形窗后所到的由图可知，加了矩形窗后所到的FIR数字滤波器的频率响应数字滤波器的
33、频率响应H(ej)与理想的频响与理想的频响Hd(ej)之间产生了差异，表现在之间产生了差异，表现在H(ej)出出现了肩峰、过渡带以及通带和阻带内的波动，这就是所谓的现了肩峰、过渡带以及通带和阻带内的波动，这就是所谓的吉布斯现象吉布斯现象。我们当然希望肩峰和波动尽可能小，过渡带尽。我们当然希望肩峰和波动尽可能小，过渡带尽可能窄，这样才能更接近理想特件。可能窄，这样才能更接近理想特件。下图表示了下图表示了H(ej)在在 由由-p pp p范围内变化的情况范围内变化的情况 -p p 0的情况与的情况与0p p对称；对称； H(ej)以以2p p 为周期为周期7/10/2022出现的这些差异与哪些出素
34、有关？出现的这些差异与哪些出素有关？过渡带过渡带：正负肩峰之间为过渡带，其宽度等于窗函数频谱的主瓣宽：正负肩峰之间为过渡带，其宽度等于窗函数频谱的主瓣宽度（此过渡带与滤波器真正的过渡带还有一些差别，滤波器真正的度（此过渡带与滤波器真正的过渡带还有一些差别，滤波器真正的过渡带要小一些）对于矩形窗频谱过渡带要小一些）对于矩形窗频谱WR(ej)，此宽度为，此宽度为4/N。因此，。因此，过渡带宽度与所选窗函数有关，而对于一定的窗函数，增大过渡带宽度与所选窗函数有关，而对于一定的窗函数，增大N可使可使过渡带变陡。过渡带变陡。肩峰及波动肩峰及波动：这是由窗函数频谱的旁瓣引起的。旁瓣越多，波动就：这是由窗函
35、数频谱的旁瓣引起的。旁瓣越多，波动就越快，旁瓣相对值越大，波动越厉害，肩峰也越强。不同窗函数的越快，旁瓣相对值越大，波动越厉害，肩峰也越强。不同窗函数的频谱旁瓣情况不向，因此肩峰及波动与所选窗函数有关。频谱旁瓣情况不向，因此肩峰及波动与所选窗函数有关。长度长度N的影响的影响：长度：长度N的改变只能改变的改变只能改变坐标的比例以及窗函数频谱坐标的比例以及窗函数频谱WR(ej) 的绝对大小，不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，因而也就的绝对大小，不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，因而也就不能改变肩峰和波动的相对大小，也就是说，增大不能改变肩峰和波动的相对大小，也就是说，增大N，只能使通、，只能使通、阻带内振
36、荡加快，振荡幅度却不减小。阻带内振荡加快，振荡幅度却不减小。7/10/2022因此，因此，窗口法窗口法设计设计FIR滤波器滤波器 h(n)长度长度N可以影响过渡带的宽度，而所选可以影响过渡带的宽度，而所选窗函数窗函数不仅可以不仅可以影响过渡带宽度，还能影响肩峰和波动的大小，因此选择窗影响过渡带宽度，还能影响肩峰和波动的大小，因此选择窗函数应使其频谱满足：函数应使其频谱满足：主瓣宽度尽可能小，以使过渡带尽可能陡；主瓣宽度尽可能小，以使过渡带尽可能陡；旁瓣相对于主瓣越小越好，这样可使肩峰和波动减小。旁瓣相对于主瓣越小越好，这样可使肩峰和波动减小。 但对窗函数的这两个要求总不能兼得，它们是相互制约的
37、。但对窗函数的这两个要求总不能兼得，它们是相互制约的。一般来说，若选择的窗函数频谱旁瓣较小，其主瓣就必定较一般来说，若选择的窗函数频谱旁瓣较小，其主瓣就必定较大，因此常常要根据实际需要进行折衷的选择。大，因此常常要根据实际需要进行折衷的选择。7/10/2022)()()( jjeWeW 21)(N因此，我们只需考察因此，我们只需考察w(n)和和W( )的表示式即可。的表示式即可。由于由于偶对称偶对称，所以相位函数都一样，所以相位函数都一样三、三、几种常用窗函数几种常用窗函数 这里介绍几种常见窗函数，它们的长度均设为这里介绍几种常见窗函数，它们的长度均设为N，N可以可以是奇数或偶数，但是奇数或偶
38、数，但w(n)都是都是偶对称偶对称的。的。 w(n)的频谱可以表示为：的频谱可以表示为：7/10/2022 else 021-N|n| 1)(nwR2sin2sin)( NeWjR以上为对称中心在以上为对称中心在n0处的处的非因果矩形窗非因果矩形窗其频谱为其频谱为02p p/N-2p p/NWR(ej)1wR(n)n0-(N-1)/2(N-1)/2矩形窗矩形窗前面讨论的矩形窗函数为前面讨论的矩形窗函数为7/10/20221wR(n)n0N-1(N-1)/2 else 01n0 1)(NnwR)()( nwnwNRwR(n)对称中心移到了对称中心移到了(N-1)/2，这，这相当于相当于wN(n)
39、有了有了 =(N-1)/2的延时的延时因此频谱变为因此频谱变为:)()( jNjjReWeeW2sin2sin21 NeNj02p p/N-2p p/NWR()2sin2sin)( NWR 21)(N将矩形窗右移将矩形窗右移主瓣宽度为主瓣宽度为4/N7/10/2022 1n21)-(N21)-(Nn0 1)-(Nn22 1)-(Nn2)(Nnw1w(n)n0N-1(N-1)/2 2122sin41sin12)(NjjeNNeW频谱为：频谱为：当当N1时时 2122sin4sin2)(NjjeNNeW主瓣宽度为主瓣宽度为8/N三角形窗三角形窗7/10/2022 p p else 01n0 12c
40、os121)(NNnnw1w(n)n0N-1(N-1)/2 p p p p 21)12(25. 0)12(25. 0)(5 . 0)(NjRRRjeNWNWWeW频谱为：频谱为：当当N 1时，幅度频谱近似为：时，幅度频谱近似为：)2(25. 0)2(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRRp p p p 升余弦窗升余弦窗汉宁汉宁(Hanning)窗窗7/10/2022频谱特性如图，由于这三部分频谱的相加，使总频谱的旁频谱特性如图，由于这三部分频谱的相加，使总频谱的旁瓣大大抵销，从而使能量有效地集中在主瓣内，但其代价瓣大大抵销，从而使能量有效地集中在主瓣内，但其代价是使是使主瓣主瓣与矩形窗
41、主瓣相比加宽了一倍，为与矩形窗主瓣相比加宽了一倍，为8p p/NW( )04p p/N4p p/N02p p/N-2p p/N-4p p/N4p p/N0.5WR()2(25. 0)2(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRRp p p p 0.25WR(-2p p/N)0.25WR(+2p p/N)W()7/10/2022 p p else 01n0 12cos46. 054. 0)(NNnnw)12(23. 0)12(23. 0)(54. 0)( p p p p NWNWWWRRR其幅度频谱为：其幅度频谱为：当当N1时时)2(23. 0)2(23. 0)(54. 0)(NWNWWWR
42、RRp p p p 可将可将99963%的能量集中在主瓣内，而主的能量集中在主瓣内，而主瓣宽度瓣宽度仍与汉宁窗仍与汉宁窗相同相同(8p p/N)，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%改进的升余弦窗改进的升余弦窗哈明哈明(Hamming)窗窗 对升余弦窗加以改进，可以得到旁瓣更小的效果，对升余弦窗加以改进，可以得到旁瓣更小的效果，窗函数为：窗函数为：7/10/2022 p p else 01n0 12cos)1()(NNnnw汉宁窗汉宁窗 0.5；对于哈明窗；对于哈明窗 0.54。二阶升余弦窗二阶升余弦窗一一布莱克曼布莱克曼(Blackman)窗窗为
43、了进一步抑制旁瓣，可以对升余弦窗再加一个二次谐波的为了进一步抑制旁瓣，可以对升余弦窗再加一个二次谐波的余弦分量，这样得到窗函数为：余弦分量，这样得到窗函数为： p p p p else 01n0 14cos 08. 012cos5 . 042. 0)(NNnNnnw显然，汉宁窗和哈明窗可以统一表示为显然，汉宁窗和哈明窗可以统一表示为7/10/2022布莱克曼布莱克曼)14(04. 0)14(04. 0)12(25. 0)12(25. 0)(42. 0)( p p p p p p p p NWNWNWNWWWRRRRR可得到更低的旁瓣，但可得到更低的旁瓣，但主瓣宽度主瓣宽度加宽到矩形窗的三倍加宽
44、到矩形窗的三倍(12p p/N)各种窗函数的比较：各种窗函数的比较：1w(n)n0N-1(N-1)/2矩形窗矩形窗三角形三角形哈明哈明汉宁汉宁其幅度频谱为：其幅度频谱为：7/10/2022矩形窗矩形窗函数的傅氏变换函数的傅氏变换（N=51） 旁瓣峰值衰减旁瓣峰值衰减 -13dB主瓣宽度主瓣宽度4p p/N（书表达不准）（书表达不准）理想低通滤波器加窗后理想低通滤波器加窗后的幅度响应，的幅度响应， c0.5p p过渡带过渡带1.8p p/N阻带最小衰减阻带最小衰减 -21dBa 矩形窗矩形窗参见书参见书P158表表7.17/10/2022三角形窗三角形窗函数的傅氏变换函数的傅氏变换（N=51）旁
45、瓣峰值衰减旁瓣峰值衰减 -25dB主瓣宽度主瓣宽度8p p/N理想低通滤波器加窗后理想低通滤波器加窗后的幅度响应，的幅度响应， c0.5p p 过渡带过渡带4.2p p/N阻带最小衰减阻带最小衰减 -25dBb 三角形三角形7/10/2022汉宁窗汉宁窗函数的傅氏变换函数的傅氏变换（N=51）旁瓣峰值衰减旁瓣峰值衰减 -31dB主瓣宽度主瓣宽度8p p/N理想低通滤波器加窗后理想低通滤波器加窗后的幅度响应，的幅度响应， c0.5p p 过渡带过渡带6.2p p/N阻带最小衰减阻带最小衰减 -44dBc 汉宁窗汉宁窗7/10/2022哈明窗哈明窗函数的傅氏变换函数的傅氏变换（N=51）旁瓣峰值衰
46、减旁瓣峰值衰减 -41dB主瓣宽度主瓣宽度8p p/N理想低通滤波器加窗后理想低通滤波器加窗后的幅度响应，的幅度响应， c0.5p p 过渡带过渡带6.6p p/N阻带最小衰减阻带最小衰减 -53dBd 哈明窗哈明窗7/10/2022布莱克曼窗布莱克曼窗函数的傅氏函数的傅氏变换变换(N=51)旁瓣峰值衰减旁瓣峰值衰减 -57dB主瓣宽度主瓣宽度12p p/N理想低通滤波器加窗后理想低通滤波器加窗后的幅度响应，的幅度响应， c0.5p p 过渡带过渡带11p p/N阻带最小衰减阻带最小衰减 -74dBe 布莱克曼窗布莱克曼窗7/10/2022以上几种窗函数都是以一定的以上几种窗函数都是以一定的主
47、瓣加宽为代价主瓣加宽为代价来来换取换取某种某种程度的程度的旁瓣抑制旁瓣抑制。凯塞窗凯塞窗(Kaiser) 凯塞窗本身就可以全面地反映主瓣宽度与旁瓣衰减之间的凯塞窗本身就可以全面地反映主瓣宽度与旁瓣衰减之间的交换关系，它可以通过某一参数的调整在二者之间自由地交换关系，它可以通过某一参数的调整在二者之间自由地选择它们的比重（略）选择它们的比重（略）7/10/2022四、四、设计方法设计方法首先首先给定给定所要求的频率响应函数所要求的频率响应函数Hd(ej)。其次其次求求其反变换，得到无限长序列其反变换，得到无限长序列hd(n) 。由由过渡带过渡带及及阻带最小衰减阻带最小衰减的要求，利用表的要求，利
48、用表7.1或表或表7.2，选定选定窗窗函数函数w(n)的形状及的形状及N的大小，一般的大小，一般N要通过几次试探而确定。要通过几次试探而确定。求得所设计的求得所设计的FIR滤波器的单位抽样响应。滤波器的单位抽样响应。h(n) = hd(n)w(n)求求H(ej)，检验是否满足设计要求。，检验是否满足设计要求。（如不满足需重新设计）（如不满足需重新设计）7/10/2022 p p nnnnhcd- )sin()(n0hd(n)根据根据h(n)=hd(n)w(n)，w(n)与与h(n)都为都为0N-1，且对称中心，且对称中心为为(N-1)/2，所以要求对，所以要求对hd(n)进进行移位，才能得到正
49、确的行移位，才能得到正确的h(n)前面介绍窗函数的理论时的分析，虽然是针对矩形窗，但其前面介绍窗函数的理论时的分析，虽然是针对矩形窗，但其基本原则基本原则和和所得结论所得结论对于采用其他窗时也完全适合。只是所对于采用其他窗时也完全适合。只是所涉及的序列都是以涉及的序列都是以n=0为对称中心的，即都是非因果的，但为对称中心的，即都是非因果的，但实际中，所要求的滤波器都应当是因果的，即要求实际中，所要求的滤波器都应当是因果的，即要求h(n)为因为因果序列果序列(0N-1)。7/10/2022 p p nnnnhcd- )()sin()( 阻带阻带通带通带 0 )(jjdeeHn0)21Nn(hd
50、(N-1)/2N-1这样将这样将hd(n)加窗后，加窗后，w(n)是偶对称因果序列，所以是偶对称因果序列，所以h(n)也是也是偶对称因果序列，对称中心在偶对称因果序列，对称中心在 =(N-1)/2。H(ej)=H( )ej () ，H( )与对称中心在与对称中心在n=0的的hd(n)的频谱一样，的频谱一样，但但 21)(N将将hd(n)对称中心移至对称中心移至 =(N-1)/2，相当于，相当于延时延时 （N为奇数）为奇数）7/10/2022例例7-2-1：设计一个线性相位：设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为低通滤波器，给定抽样频率为W Ws=2p p1.5104(rad/s)，通