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1、第六章第六章非线性方程求根非线性方程求根在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1根的存在性。方程有没有根？如果有，有几个根？根的存在性。方程有没有根？如果有，有几个根？2根的搜索。根的搜索。这些根大致在哪里？如何把根隔离开？这些根大致在哪里？如何把根隔离开？3根的精确化。根的精确化。f(x)=0 （2.1）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.1.根的存在性根的存在性定理定理1：设函数设函数 f(x)在区间在区间a,b上连续上连续，如果如果f(a)f(b)0打
2、打 印印结结 束束否否是是继续扫描继续扫描在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例1 1：考察方程：考察方程x00.51.01.5f(x)的的符符号号在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么abx1x2ab或或不能保证不能保证 x 的精度的精度x*2xx*1 1 1 1 二二二二 分分分分 法法法法在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么执行步骤执行步骤1计算计算f(x)在有解区间在有解区间a,b端点
3、处的值端点处的值，f(a)，f(b)。2计算计算f(x)在区间中点处的值在区间中点处的值f(x1)。3判断若判断若f(x1)=0，则则x1即是根，否则检验即是根，否则检验：（1）若若f(x1)与与f(a)异号异号，则知解位于区间则知解位于区间a,x1，b1=x1,a1=a;（2）若若f(x1)与与f(a)同号同号，则知解位于区间则知解位于区间x1,b，a1=x1,b1=b。反复执行步骤反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间便可得到一系列有根区间：(a,b),(a1,b1),(ak,bk),在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什
4、么4、当当时时5、则、则即为根的近似即为根的近似简单简单;对对f(x)要求不高要求不高(只要连续即可只要连续即可).无法求复根及偶重根无法求复根及偶重根 收敛慢收敛慢 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么定义定义f(x)f(a)f(b)0f(a)f(b)=0f(a)=0打印打印b,k打印打印a,k结束结束是是是是是是否否否否否否m=(a+b)/2|a-b|0打印打印m,ka=mb=m结束结束k=K+1是是是是否否否否输入输入 k=0在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算
5、不了什么例例2：求方程求方程kakbkxkf(xk)的符的符号号011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么22 迭迭迭迭 代代代代 法法法法1 1简单迭代法简单迭代法x1=0.4771x2=0.3939x6=0.3758x7=0.37582迭代过程的收敛性迭代过程的收敛性f(x)=0 x=g(x)
6、等价变换等价变换例例3：求方程求方程的一个根的一个根迭代格式迭代格式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p1在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么定理定理2：如果如果 (x)满足下列条件满足下列条件（1 1）当）当x a,b时，时，(x)a,b（2 2）当任意）当任意x a,b，存在，存在
7、0 L 1，使，使 则方程则方程x=(x)在在a,b上有唯一的根上有唯一的根x*,且对任意初值且对任意初值 x0 a,b时，迭代序列时，迭代序列xk+1=(xk)(k=0,1,)收敛于收敛于x*。(2.2)注注 此处此处L L可以看成是可以看成是 在区间在区间a,ba,b内的上界内的上界。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3迭代法的结束条件迭代法的结束条件在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么求方程求方程在在内的根内的根例：例：。解：解：原方程可以等价变形为下
8、列三个迭代格式原方程可以等价变形为下列三个迭代格式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么由迭代格式由迭代格式（1）取初值取初值得得 结果是发散结果是发散的？！的？！在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么由迭代格式由迭代格式（2）取初值取初值得得 结果精确到四位有效数字，迭代到结果精确到四位有效数字，迭代到得到收敛结果。得到收敛结果。十步才能得到十步才能得到收敛的结果！收敛的结果！在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费
9、这一点点算不了什么 由迭代格式（由迭代格式（3）取初值取初值得得 结果精确到四位有效数字，迭代到结果精确到四位有效数字，迭代到得到收敛结果。得到收敛结果。四步就能得到四步就能得到收敛的结果了！收敛的结果了！在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么迭代格式（迭代格式（1 1）的迭代函数为）的迭代函数为 求导得求导得 当当时时故迭代格式（故迭代格式（1 1）是发散的。）是发散的。分析分析:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 迭代格式（迭代格式（2 2）的迭代函数为）
10、的迭代函数为 当当时时由由在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么知知当当时，时，所以迭代格式（所以迭代格式（2 2）是收敛的。）是收敛的。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么迭代格式（迭代格式（3 3）的迭代函数为）的迭代函数为当当时时 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么由由时，时，知知当当所以迭代格式（所以迭代格式（3 3）也是收敛的。）也是收敛的。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象
11、。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么结论结论:通过以上算例可以看出对迭代函数通过以上算例可以看出对迭代函数所得到的所得到的若小于若小于1 1，则收敛；且上界越小收敛速度越快。，则收敛；且上界越小收敛速度越快。求导，求导，的上界若是大于的上界若是大于1 1，则迭代格式发散；，则迭代格式发散；在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4 4迭代过程的收敛速度迭代过程的收敛速度 设由某方法确定的序列设由某方法确定的序列xk收敛于方程的根收敛于方程的根x*，如果存在正实数如果存在正实数p，使得，使得（C C为非零常
12、数）为非零常数）定义：定义：则称序列则称序列xk收敛于收敛于x*的收敛速度是的收敛速度是p阶的阶的，或称该方法，或称该方法具有具有p 阶阶收收敛速度敛速度。当。当p=1时，称该方法为时，称该方法为线性（一次）收敛线性（一次）收敛；当当p=2时，称方法为时，称方法为平方（二次）收敛平方（二次）收敛；当；当1 p 2或或C=0,p=1时，称方法为时，称方法为超线性收敛超线性收敛。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么5.5.迭代法收敛阶的判别迭代法收敛阶的判别定理定理3 3 如果如果 在在 附近的某个领域内有附近的某个领域内有p()
13、p()阶阶 连续导数，且连续导数，且则迭代格式则迭代格式 在在 附近是附近是p p阶局部收阶局部收敛的。敛的。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3 3 牛顿法牛顿法一、牛顿法的迭代公式一、牛顿法的迭代公式 考虑非线性方程考虑非线性方程 原理：原理：将非线性方程线性化将非线性方程线性化 Taylor 展开展开取取 x0 x*，将将 f(x)在在 x0 做一阶做一阶Taylor展开展开:，在在 x0 和和 x 之间。之间。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么将将
14、(x*x0)2 看成高阶小量，则有：看成高阶小量，则有：只要只要 f C1，且每步迭代都有，且每步迭代都有f(xk)0，而且而且则则 x*就是就是 f(x)的根。的根。公式（公式（2.32.3）称为）称为牛顿迭代公式。牛顿迭代公式。(2.3)构造迭代公式构造迭代公式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么x*x0 x1x2xyf(x)二、牛顿法的几何意义二、牛顿法的几何意义在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、牛顿法的收敛性三、牛顿法的收敛性定理定理4：设设f(
15、x)在在a,b上存在二阶连续导数且满足下列条件上存在二阶连续导数且满足下列条件：（1）f(a)f(b)0则由则由（2.3）确定的牛顿迭代序列确定的牛顿迭代序列xk二阶收敛于二阶收敛于f(x)在在a,b上上的唯一单根的唯一单根x*。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么注：注：注：注：Newton法的收敛性依赖于法的收敛性依赖于x0 的选取。的选取。x*x0 x0 x0在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到
16、自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么四、求四、求m m重根的牛顿法重根的牛顿法1 1、迭代格式、迭代格式(2.4)2 2、重数、重数m m的确定的确定3 3、迭代格式（、迭代格式（2.4)2.4)的收敛阶（至少的收敛阶（至少2 2阶收敛）阶收敛）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么五、五、牛顿法的变形牛顿法的变形-牛顿下山法牛顿下山法1、牛顿下山法的计算步骤：、牛顿下山法的计算步骤：（1 1）选取初始近似值）选取初始近似值x x0 0；（2）取下山因子取下山因子 =1=1；（3）计算计算（4）计算）计算f(xk+1)，
17、并比较，并比较 与与 的大小，分以下二种情况的大小，分以下二种情况1）若）若 ，则当，则当 时，取时，取x*xk+1，计算过程结束；，计算过程结束；当当 时，则把时，则把 xk+1 作为新的作为新的 近似值，并返回到（近似值，并返回到（3）。）。2）若）若 ，则当，则当 且且|f(xk+1)|，取，取x*xk，计算过程结束；，计算过程结束；否则若否则若 ，而，而 时，则把时，则把xk+1加上一个适当选定的小正数，加上一个适当选定的小正数，即取即取xk+1+作为新的作为新的xk值，并转向（值，并转向（3）重复计算；当）重复计算；当 ；且；且 时时，则将下山因子缩小一半，取，则将下山因子缩小一半，
18、取/2代入，并转向（代入，并转向（3）重复计算。）重复计算。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例5 5：求方程：求方程f f(x x)=)=x x3 3 x x 1=0 1=0 的根。的根。k xk010.611/251.14063211.36681311.32628411.32472牛顿下山法的计算结果：牛顿下山法的计算结果：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么牛顿法一步要计算牛顿法一步要计算 f 和和 f，相当于，相当于2个函数值。现用个函数值。现用 f 的值近似的值近似 f :x0 x1切线切线割线割线切线斜率切线斜率 割线斜率割线斜率x22、割线法、割线法：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3 3、双点弦截法双点弦截法 ：切线斜率切线斜率 割线斜率割线斜率初值初值 x0 和和 x1。x0 x1x2