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1、非线性方程求根第1页，此课件共57页哦 则可用搜索法求有根区间.x 1 0 1 2f(x)的符号 +第2页，此课件共57页哦方程根的数值计算大致可分三个步骤进行:(1)判定根的存在性。(2)确定根的分布范围,即将每一个根用区间隔离开来。(3)根的精确化,即根据根的初始近似值按某种方法逐步精确化,直至满足预先要求的精度为止。第3页，此课件共57页哦 设f(x)为定义在某区间上的连续函数,方程(1.1)存在实根。虽然方程(1.1)的根的分布范围一般比较复杂,但我们不难将函数f(x)的定义域分成若干个只含一个实根的区间。例如考虑方程 x2-2x-1=0 由图7.1所示,该方程的一个负实根在-1和0之
2、间,另一个正实根在2和3之间。第4页，此课件共57页哦 图 7.1 第5页，此课件共57页哦 这样,我们总可以假设方程(1.1)在(a,b)内有且仅有一个单实根x*。由连续函数的介值定理知 f(a)f(b)0 若数值b-a较小,那么我们可在(a,b)上任取一点x0作为方程的初始近似根。例如,方程 f(x)=x3-x-1=0 由 于 f(1)0,f(1.5)0,又 f(x)在 区 间(1,1.5)上单调连续,故可知在(1,1.5)内有且仅有一个实根。于是可取某个端点或区间内某一个点的值作为根的初始近似值。第6页，此课件共57页哦 设函数f(x)在区间a,b上单调连续,且 f(a)f(b)0 则方
3、程(1.1)在区间(a,b)内有且仅有一个实根x。第7页，此课件共57页哦二、二分法二、二分法二分法简述.且有第8页，此课件共57页哦 (1.3)对于确定的精度,从式(1.3)易求得需要二等分的次数k。二分法具有简单和易操作的优点。其计算步骤如下,框图如图7.2所示。第9页，此课件共57页哦1.计算步骤 输入有根区间的端点a,b及预先给定的精度;(a+b)/2 x;若f(a)f(x)0,则x=b,转向;否则x=a,转向。若b-a,则输出方程满足精度的根x,结束;否则转向。第10页，此课件共57页哦 图 7.2 第11页，此课件共57页哦2.计算框图(见下页）例1 求方程 f(x)=x3-x-1
4、=0在区间(1,1.5)内的根。要求用四位小数计算,精确到小数点后两位。解 这里a=1,b=1.5，取区间(1,1.5)的中点由于f(1)0,f(1.25)0,则令 a1=1.25,b1=1.5得到新的有根区间(1.25,1.5)如此重复二分下去，二分法的计算结果如下表第12页，此课件共57页哦取x6=1.3242，误差限|x6-x*|0.5/(27)0.005,故x6即为所求近似根，实际上根x*=1.324717第13页，此课件共57页哦二分法优点：计算简单，收敛性有保证；二分法缺点：收敛不够快，特别是精度要求高时，工作量大，而且不能够求复根及双重根。第14页，此课件共57页哦2 2 迭代法
5、迭代法一、不动点迭代一、不动点迭代第15页，此课件共57页哦第16页，此课件共57页哦 如果点列Pk趋向于点P*，则相应的迭代值xk收敛到所求根x*.第17页，此课件共57页哦kxk012345671.51.357211.330861.325881.324941.324761.324731.32472第18页，此课件共57页哦虽然迭代法的基本思想很简单,但效果并不总是令人满意的。对于上例,若按方程写成另一种等价形式 x=x3-1建立迭代公式 xk+1=x3k-1,k=0,1,2,仍取初始值x0=1.5,则迭代结果为 x1=2.375 x2=12.3976这种不收敛的迭代过程称作是发散的。如下图
6、：第19页，此课件共57页哦第20页，此课件共57页哦二、不动点的存在性与迭代法的收敛性二、不动点的存在性与迭代法的收敛性证明 先证不动点存在性。若第21页，此课件共57页哦第22页，此课件共57页哦第23页，此课件共57页哦第24页，此课件共57页哦三、局部收敛性与收敛阶三、局部收敛性与收敛阶第25页，此课件共57页哦证明证明 由连续函数的性质，存在x*的某个邻域R：|x-x*|，使对于任意x R成立|(x)|L1.此外，对于任意xR，总有(x)R，这是因为|(x)-x*|=|(x)-(x*)|L|x-x*|x-x*|.于是依据定理2可以断定迭代过程xk+1=(xk)对于任意初值x0 R均收
7、敛.证毕.第26页，此课件共57页哦kxk迭代法(1)迭代法(2)迭代法(3)迭代法(4)0123 x0 x1 x2 x3 2398721.521.521.751.734751.73263121.751.7321431.732051第27页，此课件共57页哦第28页，此课件共57页哦第29页，此课件共57页哦3 3 迭代收敛的加速方法迭代收敛的加速方法一、埃特金加速收敛方法一、埃特金加速收敛方法第30页，此课件共57页哦第31页，此课件共57页哦二、斯蒂芬森迭代法二、斯蒂芬森迭代法第32页，此课件共57页哦kxkykzk0123451.51.416291.355651.329851.32480
8、1.324722.375001.840921.491401.347101.3251812.39655.238882.317281.444351.32714说明说明:(2.2)不收敛,(3.3)可能收敛;(2.2)线性收敛,(3.3)平方收敛!第33页，此课件共57页哦kxkykzk0123.53.734443.733073.604143.733813.662023.73347第34页，此课件共57页哦4 4 牛顿法牛顿法一、牛顿法及其收敛性一、牛顿法及其收敛性第35页，此课件共57页哦 牛顿法是非线性方程线性化的方法。其计算步骤为:给出初始近似根x0及精度。计算 若x1-x0,则转向;否则,转
9、向。输出满足精度的根x1,结束。牛顿法的计算框图见图7.4。第36页，此课件共57页哦图 7.4 第37页，此课件共57页哦 牛顿法有明显的几何解释，方程f(x)=0的根x*可解释为曲线y=f(x)与x轴的交点的横坐标.设xk是跟x*的某个近似值,过曲线y=f(x)上横坐标为xk的点Pk引切线,并将该切线与x轴的交点的横坐标xk+1作为x*的新的近似值.注意到切线方程为 y=f(xk)+f(xk)(x-xk).这样求得的值xk+1必满足（4.1）式，从而就是牛顿公式（4.2）的计算结果.由于这种几何背景,牛顿法亦称为切线法.oxyx*X k+1Pky=f(x)X k第38页，此课件共57页哦第
10、39页，此课件共57页哦二、牛顿法应用举例二、牛顿法应用举例kxk01230.50.571020.567160.56714kxk012341010.75000010.72383710.72380510.723805第40页，此课件共57页哦三、简化牛顿法与牛顿下山法三、简化牛顿法与牛顿下山法第41页，此课件共57页哦kxkxkxk f(xk)012341.51.347831.325201.324720.617.9发散0.6 -1.3841.140625 -0.6566431.36181 0.18661.32628 0.006671.32472 0.0000086第42页，此课件共57页哦四、重
11、根情形四、重根情形第43页，此课件共57页哦第44页，此课件共57页哦kxk(1)(2)(3)0123x0 x1x2x31.51.4583333331.4366071431.4254976191.51.4166666671.4142156861.4142135621.51.4117647061.4142114381.414213562第45页，此课件共57页哦5 5 弦截法弦截法第46页，此课件共57页哦第47页，此课件共57页哦第48页，此课件共57页哦第49页，此课件共57页哦kxk012340.50.60.565320.567090.56714解 设取x0=0.5,x1=0.6作为开始值，用弦截法求得的结果见表7-10，比较例题7牛顿法的计算结果可以看出，弦截法的收敛速度也使相当快得。第50页，此课件共57页哦第51页，此课件共57页哦例11 用抛物线法求解方程f(x)=xex-1=0.解 设用表7-10的前三个值x0=0.5，x1=0.6，x2=0.56532作为开始值计算得第52页，此课件共57页哦6 6 求根问题的敏感性与多项式的零点求根问题的敏感性与多项式的零点1.求根问题的敏感性与病态代数方程第53页，此课件共57页哦（a）良态（b）病态图（7-8）第54页，此课件共57页哦 第55页，此课件共57页哦第56页，此课件共57页哦第57页，此课件共57页哦