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1、12.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则基本初等函数的导数公式及导数的运算法则第一课时基本公式及四则运算法则第一课时基本公式及四则运算法则1.能利用给出的基本初等函数的导数公式求函数的导数2能利用初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.1.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)c，则f(x)_.(2)若f(x)xn，则f(x)_.(3)若f(x)sin x，则f(x)_.(4)若f(x)cos x，则f(x)_.(5)若f(x)ax，则f(x)_.(6)若f(x)ex，则f(x)_.(7)若f(x)logax则f(x)_.(8)若f(x)ln x，则f(x)_.A0B1C2
2、D3解析：yln2为常数，所以y0，错；均正确，直接利用公式即可验证答案：D2曲线yxn在x2处的导数为12，则n等于()A1 B2C3 D4解析：y|x2n2n112，解得n3.答案：C3若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为2xy10，则()Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在答案：B5已知f(x)x2axb，g(x)x2cxd，又f(2x1)4g(x)，且f(x)g(x)，f(5)30，求g(4)解：由f(2x1)4g(x)，得4x22(a2)x(ab1)4x24cx4d，由f(x)g(x)，得2xa2xc，ac.由f(5)30，得255ab30
3、.由可得ac2.1.对基本初等函数的导数公式的理解：(1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的形式，学会使用公式解题即可，对公式的推导不要求掌握(2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别，这是易错点2对导数的运算法则的理解：(1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设函数f(x)，g(x)是可导的，则f(x)g(x)f(x)g(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)(2)两个函数积的函数的求导法则 设函数f(x)，g(x)是可导的，则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个
4、函数的导数 推论：常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数 即cf(x)cf(x)(3)两个函数商的函数的求导法则例1求下列函数的导数(1)ytanx；(2)y3x2xcosx；分析求函数的导数主要有直接求导和先变形然后再求导两种方法，要注意正确区分点拨理解和掌握求导法则和公式的结构是灵活进行求导运算的前提条件，当函数解析式较为复杂时，应先变形，然后求导，当函数解析式不能直接用公式时，也要先变形，使其符合公式形式(3)y(3x42x35)12x36x2.(4)y(sinxtanx)例2 已知f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1对一切xR恒成立，求f(x)的解析式分析根据f(x
5、)为一次函数，可设f(x)的解析式为f(x)ax2bxc(a0)，然后利用对一切xR方程恒成立，转化为关于a，b，c的方程组，即可求出f(x)的解析式解由f(x)为一次函数可知f(x)为二次函数，设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb，把f(x)，f(x)代入方程得x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，即(ab)x2(b2c)xc10，点拨待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数练 2求满足下列条件的函数f(x)(1)f(x)是二次函数，且f(0)4，f(0)1
6、，f(1)7；(2)f(x)是二次函数，(x21)f(x)(3x1)f(x)5.解(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.由f(0)4，得c4.由f(0)1，得b1.由f(1)7，得2ab7，得a4，所以f(x)4x2x4.(2)由f(x)为二次函数可知f(x)为三次函数，设f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)3ax22bxc.把f(x)、f(x)代入方程得(x21)(3ax22bxc)(3x1)(ax3bx2cxd)5，即(ab)x3(3ab2c)x2(2bc3d)xcd50.例3已知曲线C：y3x42x39x24.(1)求曲线C在点(1，4)的切线方程；(2)对
7、于(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，说明理由分析(1)利用导数的几何意义和导数的运算法则，求出切线的斜率，由点斜式写出切线的方程(2)将切线方程与曲线C的方程联立，看是否还有其他解即可解(1)y12x36x218x，y|x112，所以曲线过点(1，4)的切线斜率为12，所以所求切线方程为y412(x1)，即y12x8.整理得3x42x39x212x40.x3(3x2)(3x2)20，(3x2)(x33x2)0，即(x2)(3x2)(x1)20.点拨(2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于对式子的恒等变形练
8、 3在曲线yx33x26x10的切线中，求斜率最小的切线方程解y3x26x63(x1)23，当x1时，切线的斜率最小，最小斜率为3，此时，y(1)33(1)26(1)1014，切点为(1，14)切线方程为y143(x1)，即3xy110.例4假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)p0(15%)t,其中p0为t0时的物价，假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01)解p01，p(t)(15%)t1.05t.根据基本初等函数的导数公式表，有p(t)(1.05t)1.05tln1
9、.05.p(10)1.0510ln1.050.08(元/年)因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨点拨在第10个年头，商品的价格上涨的速度，即是函数的导数在t10的函数值因此由基本初等函数的导数公式表，求出相应的导数即可练 4若上题中某种商品的p05，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？解当p05时，p(t)5(15%)t51.05t.由导数的公式表，有p(t)(51.05t)51.05tln1.05.p(10)51.0510ln1.050.40(元/年)因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.40元/年的速度上涨.基本初等函数的导数公式及导数
10、的运算法则在高考中是一个重要的考点，在高考中单独考查该知识点的题目不多，常与其他知识结合进行综合考查如以导数的四则运算、基本初等函数的导数公式、复合函数的求导法则、曲线的切线(切线方程、切线斜率、切点坐标等)、数列的求和、实际生活中的变化率、增长率问题等例5已知抛物线C1：yx22x和C2：yx2a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两切点之间的线段，称为公切线段(1)当a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C1和C2有两条公切线，求证相应的两条公切线段互相平分分析(1)分别设出切点，求出两抛物线C1，C2的切线方程，使其表示
11、同一条直线，即可找到解题的突破口(2)只需证明两线段的中点重合即可第二课时复合函数第二课时复合函数 1.要掌握复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于该函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即yxyuux.2.能综合运用函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，求一些初等函数的导数形如f(axb)型.1.由几个函数复合而成的函数，叫复合函数，函数yf(x)是由_和_复合而成的2设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在点x的对应点u处有导数yuf(u)，则复合函数yf(x)在点x处也有导数，且yx_，或写作fx(x)_.3复合函数yf(axb)的导数为：f(ax
12、b)_.自我校对：yf(u)u(x)yuuxf(u)(x)af(axb)1.函数y(3x4)2的导数是()A4(3x2)B6xC6x(3x4)D6(3x4)解析：y(3x4)22(3x4)36(3x4)答案：D2函数y2sin3x的导数是()A2cos3x B2cos3xC6sin3x D6cos3x解析：y(2sin3x)2cos3x(3x)6cos3x.答案：D答案：D一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可表示成x的函数，那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yfg(x)如函数y(2x3)2，是由yu2和u2x3复合而成的复合函数yfg(x)的导数
13、和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积特别注意以下几点：(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选择中间变量(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数如(sin2x)2cos2x，而(sin2x)cos2x.例1说出下列函数分别由哪几个函数复合而成 分析解决复合关系问题的关键是正确分析函数的复合层次点拨找复合函数的复合关系一般是从外向里分析，每层的主体为基本初等函数，一层一层的分析，最里层应为关于x的基本函数或基本函数的和与差解函数的复合关系分别是：(1)yum，u
14、abxn；例2求yln(2x3)的导数分析复合函数求导三步曲：第一步：分层(从外向内分解成基本函数用到中间变量)第二步：层层求导(将分解所得的基本函数进行求导)第三步：作积还原(将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的自变量)点拨 (1)复合函数求导三步曲形象直观，请同学们认真理解，在应用中首先应准确分层，然后能够正确地层层求导，最后作积还原时不要忘了将中间变量还原为原来的自变量分析正确选定中间变量是正确求导的关键，同时应注意不可机械地照搬某种固定的模式，这样容易导致复合关系不准确点拨对于复合函数的求导，应分析复合函数的结构，灵活恰当地选取中间变量，正确使用求导公式求导要遵循“分解求
15、导回代”的原则进行例4已知函数f(x)是偶函数，f(x)可导，求证f(x)为奇函数解证法一：由于f(x)是偶函数，故f(x)f(x)对f(x)f(x)两边取x的导数，设f(x)(x)f(x)，即f(x)f(x)因此f(x)为奇函数f(x)所以f(x)为奇函数点拨对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上，把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则，进行求导运算本例类似的结论是：若奇函数f(x)是可导函数，则f(x)是偶函数(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数yf(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值点拨本题考查导数的综合应用，其中导数的几何意义是基础，函数的有关知识是解题的关键