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1、（1 1）函数关系：）函数关系：当自变量取值一定时，因变量取值由它唯一确定当自变量取值一定时，因变量取值由它唯一确定 正方形面积正方形面积S S与其边长与其边长x x之间的函数关系之间的函数关系S=xS=x2 2 ，两变量之间的关系两变量之间的关系 对自变量边长的每一个确定值，都有唯一确定的面积的值与之对自变量边长的每一个确定值，都有唯一确定的面积的值与之对应。对应。如：如：知识回顾：知识回顾：小明小明,你数学成绩不太好你数学成绩不太好,物理怎物理怎么样么样?也不太好啊也不太好啊.学不好数学学不好数学,物理也是物理也是学不好的学不好的?.你认为老师的说法对吗你认为老师的说法对吗?凭经验可知，物
2、理成绩与数学成绩确实有一定的关系，除此以外凭经验可知，物理成绩与数学成绩确实有一定的关系，除此以外,还有其他还有其他的因素：的因素：如果单纯从数学对物理的影响来考虑如果单纯从数学对物理的影响来考虑,就是考虑这两变量之间的关就是考虑这两变量之间的关系系物理成绩物理成绩数学成数学成绩绩学习兴学习兴趣趣花费时花费时间间其他因其他因素素2.3.1变量间的相关关系变量间的相关关系1.1.会作散点图，并利用散点图判断线性相关关系会作散点图，并利用散点图判断线性相关关系.2.2.了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程.3.3.会求会求回归直线方程回归
3、直线方程.4.通过实例加强回归直线方程含义的理解，能够对实际问题进行分析和预测通过实例加强回归直线方程含义的理解，能够对实际问题进行分析和预测.重点：回归直线方程，并能够对实际问题进行分析和预测重点：回归直线方程，并能够对实际问题进行分析和预测.难点：对实际问题进行分析和预测难点：对实际问题进行分析和预测.商品销售收入商品销售收入广告支出经费广告支出经费粮食产量粮食产量施肥量施肥量付出付出收入收入我们在生活中我们在生活中,碰到很多类似的问题碰到很多类似的问题:名师名师高徒高徒知识探究（一）：知识探究（一）：变量之间的相关关系变量之间的相关关系两变量之间的关系：两变量之间的关系：（2）相关关系：
4、）相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性（1 1）函数关系：）函数关系：当自变量取值一定时，因变量取值由它唯一确定当自变量取值一定时，因变量取值由它唯一确定 相同点：相同点：均是指两个变量的关系均是指两个变量的关系不同点：不同点：函数关系是一种函数关系是一种确定确定的关系；的关系；而相关关系是一种而相关关系是一种非确定非确定关系；关系；即，函数关系是一种即，函数关系是一种因果关系因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能，而相关关系不一定是因果关系，也可能是是随机关系随机关系.1.下列关系中下列关系中,是相关关系的是是相关关
5、系的是 .正方形的边长与面积的关系正方形的边长与面积的关系;水稻产量与施肥量之间的关系水稻产量与施肥量之间的关系;人的人的身高与年龄之间的关系身高与年龄之间的关系;降雪量与交通事故发生之间的关系降雪量与交通事故发生之间的关系.即学即练即学即练:2.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A角度和它的余弦值角度和它的余弦值B.正方形边长和面积正方形边长和面积C正边形的边数和它的内角和正边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高人的年龄和身高D 以上种种问题中的两个变量之间的相关关系以上种种问题中的两个变量之间的相关关系,我们都可以我们都可以根据自己的生
6、活根据自己的生活,学习经验作出相应的判断学习经验作出相应的判断,“规律是经验的总结规律是经验的总结”,不管你多有经验不管你多有经验,只凭经验办事只凭经验办事,还是很容易出错的还是很容易出错的,因此。在因此。在寻找变量间的相关关系时寻找变量间的相关关系时,我们需要一些更为科学的方法来说明我们需要一些更为科学的方法来说明问题问题.在寻找变量间的相关关系时在寻找变量间的相关关系时,统计同样发挥了非常重要的统计同样发挥了非常重要的作用作用,我们是我们是通过收集大量的数据通过收集大量的数据,对数据进行统计分析的基础对数据进行统计分析的基础上上,发现其中的规律发现其中的规律,才能对它们之间的关系作出判断才
7、能对它们之间的关系作出判断.知识探究（二）：散点图知识探究（二）：散点图 【问题问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：研究人员获得了一组样本数据：年龄年龄2323272739394141454549495050脂肪脂肪9.59.517.817.821.221.225.925.927.527.526.326.328.228.2年龄年龄5353545456565757585860606161脂肪脂肪29.629.630.230.231.431.430.830.833.533.535.235.234.634.6思考思考1 1
8、：对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性在一起，就可能表现出一定的规律性.观察上表中的观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？怎样变化？年龄年龄2323272739394141454549495050脂肪脂肪9.59.517.817.821.221.225.925.927.527.526.326.328.228.2年龄年龄535354545656575758586060
9、6161脂肪脂肪29.629.630.230.231.431.430.830.833.533.535.235.234.634.6思考思考2 2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象关系有一个直观的印象.以横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含以横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？年龄年龄232327273939414145454949505
10、0脂肪脂肪9.59.517.817.821.221.225.925.927.527.526.326.328.228.2年龄年龄5353545456565757585860606161脂肪脂肪29.629.630.230.231.431.430.830.833.533.535.235.234.634.6思考思考3 3：上图叫做上图叫做散点图散点图，你能描述一下散点图的含，你能描述一下散点图的含义吗？义吗？在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为组数据图形，称为散点图散点图.思考思考4 4：观察散点图的大致趋势，人的年龄与
11、人体脂观察散点图的大致趋势，人的年龄与人体脂肪含量具有什么相关关系？肪含量具有什么相关关系？在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正正相关相关.思考思考6 6：如果两个变量成如果两个变量成负相关负相关，从整体上看这两个变量的，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？变化趋势如何？其散点图有什么特点？一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域从左上角
12、到右下角的区域.思考思考7 7：你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗的实例吗?如：高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平如：高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平 面以上，海拔高度越高，含氧量越少。面以上，海拔高度越高，含氧量越少。如：汽车的载重和汽车每消耗如：汽车的载重和汽车每消耗1升汽油所行使升汽油所行使 的平均路程。的平均路程。请同学们观察这请同学们观察这4幅图，看有什么特点？幅图，看有什么特点？010203040506070809010040506070809011000.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60.811
13、.2从散点图从散点图1可以看出因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上可以看出因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域角的区域从散点图从散点图2可以看出因变量随自变量的增大而减小则称作负相关，负相关的散点图可以看出因变量随自变量的增大而减小则称作负相关，负相关的散点图中的点分布在左上角到右下角的区域中的点分布在左上角到右下角的区域.从散点图从散点图3可以看出因变量与自变量不具备相关性可以看出因变量与自变量不具备相关性从图从图4可以看出因变量与自变量具备函数关系可以看出因变量与自变量具备函数关系散点图散点图3).3).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点
14、都落在某一直线附近直线附近，变量之间就有变量之间就有线性相关关系线性相关关系 .1).1).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一函数曲线上函数曲线上,就用该函数来描就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系函数关系2).2).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近函数曲线附近,变量之间就有变量之间就有相关关系相关关系。说明说明：散点图散点图可以用来判断两个变量是否具有相关关系可以用来判断两个变量是否具有相关关系.下列关系属于负相关关系的是（下列关系属于负相关关系的是（）A.父母的身高与子女的身高父母的身高与子
15、女的身高B.农作物产量与施肥的关系农作物产量与施肥的关系C.吸烟与健康的关系吸烟与健康的关系D.数学成绩与物理成绩的关系数学成绩与物理成绩的关系C C练习：练习：思考思考1 1：当人的年龄增加时，体内脂肪含量也增加，那么它到底是以当人的年龄增加时，体内脂肪含量也增加，那么它到底是以什么方式增加的呢？我们观察年龄和人体脂肪含量的样本数据的散什么方式增加的呢？我们观察年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？点图中的点的分布有什么特点？这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，我们称这两个变量之间具这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，我们称这两个变量之间具有有线性相
16、关关系线性相关关系，这条直线叫做，这条直线叫做回归直线回归直线。知识探究（三）：回归直线知识探究（三）：回归直线 回归直线一定回归直线一定过过样本中心点样本中心点样本中心样本中心一定是样一定是样本数据点吗？本数据点吗？不一定！不一定！样本中心样本中心知识探究（四）：回归方程知识探究（四）：回归方程 在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为归直线的方程称为回归方程回归方程.对一组具有线性相关关对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了
17、解两个相关变量的内在们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计联系，并根据回归方程对总体进行估计.整体上最接近整体上最接近 方案一：方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。如何具体的求出这个回归方程呢？如何具体的求出这个回归方程呢？方案二方案二:在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个在图中选取两点画直线，使得
18、直线两侧的点的个数基本相同。数基本相同。方案三方案三:在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。率和截距。上述三上述三种种方案均有一定的道理，但可靠性不强方案均有一定的道理，但可靠性不强即：即：求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 “从整体上看，从整体上看，各点与直线的偏差最小各点与直线的偏差最小”。如果散点图中点的分布从如果散点图中点的分布从整体整体上看大致在上看
19、大致在一条直线附近一条直线附近，我们就称这，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线就叫做回归直线。两个变量之间具有线性相关关系，这条直线就叫做回归直线。回归直线定义：回归直线定义：02025303545505560 x年龄年龄510152025303540y脂脂肪肪含含量量4065AB思考思考6 6：对一组具有线性相关关系的样本数据：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x(x1 1，y y1 1)，(x(x2 2，y y2 2)，(x(xn n，y yn n)，设其，设其回归方程为回归方程为 ，可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？，可以用哪些数量关系来刻画各样本点与
20、回归直线的接近程度？距离之和：距离之和：取最小值取最小值取最小值取最小值当当a、b取什么值时取什么值时Q最小？最小？人们经过长期的实践与研究人们经过长期的实践与研究,已经找到了计算回归方程的较为科已经找到了计算回归方程的较为科学的方法学的方法:以上公式的推导较复杂，故不作推导，这一方法叫以上公式的推导较复杂，故不作推导，这一方法叫最小二乘法最小二乘法。回归方程为回归方程为 斜率斜率b的意义？的意义？x每增加一个单位，每增加一个单位，y平均增加平均增加b个单位个单位.全优课堂全优课堂45页页 4,47页页 3思考思考7 7：利用利用计算器或计算机计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的
21、回归方可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为程为 ，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的肪含量的百分比的回归值回归值.若某人若某人6565岁，则其体内脂肪含量的百分比岁，则其体内脂肪含量的百分比约约为多少为多少？（0.57765-0.448=37.1）故：若某人故：若某人65岁，可预测他体内脂肪含量在岁，可预测他体内脂肪含量在37.1附近的可能性比较大。附近的可能性比较大。思考思考8 8：能否说，能否说，6565岁时他体内脂肪含量一定是岁时他体内脂肪含量一定是 37.137.1？原因：原因：线性回归方程中的截距和斜率都是通过
22、样本线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计的估计的，存在随，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差，即使截距斜率没有误机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可能百分百地保证对应于差，也不可能百分百地保证对应于x x，预报值，预报值 能等于实际值能等于实际值y y不一定！不一定！例题剖析有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：对比表：摄氏摄氏温度温度/-5047121519232731
23、36热饮热饮杯数杯数15615013212813011610489937654（1 1）画出散点图；）画出散点图；（2 2）从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律；）从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律；（3 3）求回归方程；）求回归方程；（4 4）如果某天的气温是）如果某天的气温是22，预测这天卖出的热饮杯数，预测这天卖出的热饮杯数.解：解：(1)散点图如图所示：散点图如图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气
24、温越高，卖出去的热饮杯数越少去的热饮杯数越少(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近。从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近。由数据可得：由数据可得：(4)当当x2时时某天的气温为某天的气温为2时，这天大约可以卖出时，这天大约可以卖出143杯热饮杯热饮答：答：小卖部不一定能够卖出小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：杯左右热饮，原因如下：(1)回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在误差，这种误差可以导致预测结果的偏差在误差，这种误差可以导致预测结果的偏差(2)即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分
25、之百地保即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于证对应于x的预报值，能够与实际值的预报值，能够与实际值y很接近我们不能保证很接近我们不能保证点点(x，y)落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近回归直线的附近探究9小结：小结：1.1.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第一步，计算平均数第一步，计算平均数 ,第二步，求和第二步，求和 ,第三步，计算第三步，计算 第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程 1.如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一函数曲
26、线上函数曲线上，变量之间具有，变量之间具有函数关系函数关系2.如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近函数曲线附近，变量之间就有，变量之间就有相关关系相关关系3.如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一直线附近直线附近，变量之间就有，变量之间就有线性相关关系线性相关关系 只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的个变量之间具有线性关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系概念，
27、才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系注意：注意：线性回归方程线性回归方程1.线性回归方程表示的直线必定过线性回归方程表示的直线必定过（）A点点 B点点 C点点 D点点 2、为了考查两个变量、为了考查两个变量x、y之间的线性相关性，之间的线性相关性，A、B两位同学各自独立作两位同学各自独立作了了10次和次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别是次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别是l1、l2，已知两人所得的试验数据中，变量，已知两人所得的试验数据中，变量x、y的数据的平均值都相等，且分别的数据的平均值都相等，且分别都是都是s、t，那么下列说法正确的是（，那么下列说法正
28、确的是（）A.直线直线l1和和l2一定有公共点（一定有公共点（s、t）B.直线直线l1和和l2相交，但交点不一定是（相交，但交点不一定是（s、t）C.必有必有l1l2D.l1与与l2必定重合必定重合1.1.已知回归直线的斜率的估计值是已知回归直线的斜率的估计值是1.23,1.23,样本点的中心样本点的中心为为(4,5)(4,5)，则回归直线的方程是，则回归直线的方程是()()(A)=1.23x+4 (B)=1.23x+5(A)=1.23x+4 (B)=1.23x+5(C)=1.23x+0.08 (D)=0.08x+1.23(C)=1.23x+0.08 (D)=0.08x+1.23解：解：当当x
29、=4x=4时时,y=1.23,y=1.234+0.08=5,4+0.08=5,故选故选C.C.C C【思路点拨思路点拨】本题可先利用公式求出回归直线方程，再求广告费用为本题可先利用公式求出回归直线方程，再求广告费用为6 6万元时万元时的销售额的销售额.4.（2011广东理13）.某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm.185解析：因为儿子的身高与父亲的身高有关，所以设儿子的身高为y（单位：cm），父亲身高为x（单位：cm），根据数据列表：x173170176y1
30、70176182求得回归方程为y=x+3，x=182时，y=185总结总结基础知识框图表解基础知识框图表解变量间关系变量间关系函数关系函数关系相关关系相关关系 散点图散点图线性回归线性回归线性回归方程线性回归方程 （1 1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分布在一条直线的附近，）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。就称两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。（2 2）最小二乘法）最小二乘法(3)(3)利用回归直线对总体进行估计。利用回归直线对总体进行估计。小结：小结：对一组样本数据，应先作
31、散点图，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再在具有线性相关关系的前提下再求回归方程求回归方程作业：作业：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨吨)与相应的生产能耗与相应的生产能耗 y(吨标准煤吨标准煤)的几组对照数据。的几组对照数据。x3 456y2.5 344.5(1)(1)请画出上表数据的散点图；请画出上表数据的散点图；(3)已知该厂技改前已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为吨甲产品的生产能耗为90吨吨 标准煤标准煤.试根据试根据(2)求出的线性回归方程求出的线性回归方程,预测生产
32、预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(2)请根据上表提供的数据，求出请根据上表提供的数据，求出y关于关于x的线性的线性 回归方程回归方程解解:(1)散点图略散点图略 所求的回归方程为所求的回归方程为 (2)(3)预测生产预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90-70.35=19.65(吨吨)0707广东高考的一道出人意料的题广东高考的一道出人意料的题解：（解：（1）做出散点图如下：）做出散点图如下：（2）根据散点图可知变量）根据散点图可知变量x和和y成线性关成线性关系，根据表格数据可求得系，根据表格数据可求得故所求回归直线方程为故所求回归直线方程为（3）当）当x=100时，时，y=0.7100+0.35=70.35,故可降低故可降低9070.3519.65（吨）（吨）煤。煤。2.2.已知已知x,yx,y的取值如下表所示：的取值如下表所示：如果如果y y与与x x线性相关，且线性回归方程为线性相关，且线性回归方程为 ,则则 =()=()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)解：解：又又 ,B B练习：练习：实验测得四组（实验测得四组（x,y）的值如下表所示）的值如下表所示：x1234y2345则则y与与x之间的回归直线方程为（之间的回归直线方程为（）A