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1、 高三数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 5 页）武昌区 2023 届高三年级质量检测 数学参考答案及评分细则 数学参考答案及评分细则 选择题 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C D D B C A D B ABC AB ACD ACD 三、填空题 三、填空题 1321 14(,2 10)(2 10,)1514或23 16146 三、解答题 三、解答题 17.解解：（1）由正弦定理得：ACBCCsinsinsinsin3cos，故CBCACAsinsinsinsin3cossin，由CAB，得：CACACACABsincoscossin)sin()
2、sin(sin，代入上式，于是CCACAsinsincossinsin3，由),0(C，得0sin C，从而上式消去Csin得1cossin3AA，于是1)6sin(2A，即21)6sin(A，故ZkkAkA,2656266或，结合),(0 A得3 A.（5 分）（2）由ABC的面积为3得：3sin21 Abc，代入3 A得：4 bc 由余弦定理得Abccbacos2222，代入3,4,2Abca得：822 cb 由解得2 cb.（10 分）18.解解：（1）证明：由21nnnaaa得 12343232121aaaaaaaaaaaannnnnnnnn 累加得214322nnnnnSaaaaaa
3、 高三数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 5 页）于是1222nnnSaSa（6 分）（2）解：由121 aa，12nnnaaa得：对任意*N n，012nnnaaa，进而021nnnaaa，故数列na单调递增，由（1）可知12 nnSa，故0111122kkkkaSSa，于是只需求使得100111ka最大的正整数k，从而只需求使得101 ka最大的正整数k，由121 aa，12nnnaaa列举得：12345671,1,2,3,5,8,13,aaaaaaa 8910111221,34,55,89,144aaaaa，结合数列na单调递增，于是使得101 ka最大的正整数k为11.（12 分）
4、19.解解：（1）用女性拍照的频率估计概率，每位女性拍照的概率434030p，因为女性是否拍照互相之间不影响，所以4名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照相互独立，于是拍照的女性人数为2名、3名、4名，当拍照的女性人数为2名时，概率为2565441432224C，当拍照的女性人数为3名时，概率为2561084143334C，当拍照的女性人数为4名时，概率为2568143444C，由加法原理，至少2名女性拍照的概率为2562432568125610825654（6 分）（2）列出列联表入如下：男性 女性 合计 拍照 20 30 50 不拍照 40 10 50 合计 60 40 100 零假设0H：游客在
5、“惟楚有材”牌坊下拍照与性别无关.828.10667.1635050504060)40301020(10022K 根据小概率值001.0 的独立性检验，游客在“惟楚有材”牌坊下拍照与性别有关.高三数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 5 页）（12 分）20.解解：（1）证明：在平面ABC内过点C作ACCD ，使得点D与点B在AC同侧，由PC 平面ABC，ABCACABCCD平面，平面，故,PCAC PCCD，结合ACCD ，故,PC AC CD两两垂直.以C为原点，分别以CPCDCA,为zyx,轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则)1,0,0(),0,0,1(),0,0(PAC.由22AB
6、ACBC得222ABACBC，故ABAC，ABC为等腰直角三角形.同理，APC为等腰直角三角形.于是B点坐标为)0,1,1(B.当22=x时，CBCNAPAM21,21，故NM,分别是CBAP,中点，)0,21,21(),21,0,21(NM，)0,0,1(),21,21,0(CAMN，002102110CAMN，故ACMN (4 分)（2）由（1）可得)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(BPA，APCABC,为等腰直角三角形 故)0,22,22(),221,0,22(xxNxxM，12220221222222222xxxxxxMN，当22 x时，MN最小，此时NM,分别是CBAP,
7、中点，于是)0,21,21(),21,0,21(NM，)0,21,21(),21,0,21(),0,21,21(),21,0,21(ANAMCNCM 设平面CMN的法向量为),(111zyx，平面AMN的法向量为),(222zyx，CNCM，故00CNCM，即02121021211111yxzx，整理得001111yxzx，取11 x可得平面CMN的一个法向量为)1,1,1(，高三数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 5 页）ANAM，故00CNCM，即02121021212222yxzx，整理得002222yxzx，取12 x可得平面AMN的一个法向量为)1,1,1(，设二面角AMNC的平
8、面角大小为，则3133111|cos，故二面角AMNC的余弦值为31.（12 分）21.解 解：（1）由直线MN的斜率为2，设直线myxMN21:，)(,(),(212211xxyxNyxM，直曲联立myxpxy2122，消去x得：022pmpyy，8,082pmpmp，由韦达定理得：pmyypyy22121，由直线,AM AN的倾斜角互补且,M N为不同两点，故直线,AM AN的斜率均存在，分别记为,AMANkk，则12121212111101122AMANyyyykkxaxaymayma，1212111122yyymayma，整理得：12121()()2202y yyymama，代入pmy
9、ypyy22121得：122202pmpmpapma，11(2)2022p mpa.由点(,1)A a 是抛物线2:2(0)C ypx p上一点，21ap，12ap，代入上式消去a得：111(2)022p mpp，整理得：1(2)()02pp mp，故12,4pa 故抛物线方程为xy42(6 分)（2）由（1）可得myyyy422121，高三数学参考答案及评分细则 第 5 页（共 5 页）故5)164)(411(4)(11()()(|212212221221myyyykyyxxMN，故0 m，满足0，于是)2,1(),0,0(NM，)3,43(),1,41(ANAM，1715916911613
10、163|cosANAMANAMMAN，故178sin1sin2MANMAN.(12 分)22.解解：（1）由题可知：0)1(g，axxln1)(g，故aln1)1(g 于是()g x在(1,(1)g处的切线方程为)1(ln1xay.(4 分)（2）()()()h xf xg x恰有两个零点，即方程logxaax恰有两正根，若1 a，则log1xaax，于是1 x，由lnloglnxaxaxa，得lnlnxaax，lnlnxaxaxx，于是lnlnxxaaxx.设)1(ln)(xxxxh，故01ln)(xxh，于是函数)(xh在),1(x上单调递增，由)()(xhahx 可得：xax，(8 分)即方程xax 有两根，等价于方程xxalnln 有两正根，设)1(ln)(xxxxl，2ln1)(xxxl，由0)(xl得：e1 x；由0)(xl得：e x，故)(xl在e,1(x上单调递增，在)e,x上单调递减，结合当1x时，0)(xl；当 x时，0)(xl；且),1(x时，0ln)(xxxl 由方程xxalnln 有两正根得e1ln0a，从而e1e1 a 故)e,1(e1 a.(12 分)