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1、 高三数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 5 页）武昌区 2023 届高三年级质量检测 数学参考答案及评分细则数学参考答案及评分细则 选择题选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C D D B C A D B ABC AB ACD ACD 三三、填空题填空题 1321 14(,2 10)(2 10,)1514或23 16146 三三、解答题解答题 17.解解：（1）由正弦定理得：ACBCCsinsinsinsin3cos ，故CBCACAsinsinsinsin3cossin ，由CAB ，得：CACACACABsincoscossin)sin()sin
2、(sin ，代入上式，于是CCACAsinsincossinsin3 ，由),0(C，得0sin C，从而上式消去Csin得1cossin3 AA，于是1)6sin(2 A，即21)6sin(A，故Z kkAkA,2656266或，结合),(0 A得3 A.（5 分）（2）由ABC的面积为3得：3sin21 Abc，代入3 A得：4 bc 由余弦定理得Abccbacos2222 ，代入3,4,2 Abca得：822 cb 由解得2 cb.（10 分）18.解解：（1）证明：由21 nnnaaa得 12343232121aaaaaaaaaaaannnnnnnnn 累加得214322 nnnnnS
3、aaaaaa 高三数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 5 页）于是1222nnnSaSa（6 分）（2）解：由121 aa，12nnnaaa得：对任意*N n，012nnnaaa，进而021nnnaaa，故数列na单调递增，由（1）可知12 nnSa，故0111122kkkkaSSa，于是只需求使得100111ka最大的正整数k，从而只需求使得101 ka最大的正整数k，由121 aa，12nnnaaa列举得：12345671,1,2,3,5,8,13,aaaaaaa 8910111221,34,55,89,144aaaaa，结合数列na单调递增，于是使得101 ka最大的正整数k为11.
4、（12 分）19.解解：（1）用女性拍照的频率估计概率，每位女性拍照的概率434030p，因为女性是否拍照互相之间不影响，所以4名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照相互独立，于是拍照的女性人数为2名、3名、4名，当拍照的女性人数为2名时，概率为2565441432224C，当拍照的女性人数为3名时，概率为2561084143334C，当拍照的女性人数为4名时，概率为2568143444C，由加法原理，至少2名女性拍照的概率为2562432568125610825654（6 分）（2）列出列联表入如下：男性 女性 合计 拍照 20 30 50 不拍照 40 10 50 合计 60 40 100 零假设
5、0H：游客在“惟楚有材”牌坊下拍照与性别无关.828.10667.1635050504060)40301020(10022K 根据小概率值001.0 的独立性检验，游客在“惟楚有材”牌坊下拍照与性别有关.高三数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 5 页）（12 分）20.解解：（1）证明：在平面ABC内过点C作ACCD ，使得点D与点B在AC同侧，由PC 平面ABC，ABCACABCCD平面，平面，故,PCAC PCCD，结合ACCD ，故,PC AC CD两两垂直.以C为原点，分别以CPCDCA,为zyx,轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则)1,0,0(),0,0,1(),0,0(PAC
6、.由22ABACBC得222ABACBC，故ABAC，ABC为等腰直角三角形.同理，APC为等腰直角三角形.于是B点坐标为)0,1,1(B.当22=x时，CBCNAPAM21,21，故NM,分别是CBAP,中点，)0,21,21(),21,0,21(NM，)0,0,1(),21,21,0(CAMN，002102110CAMN，故ACMN (4 分)（2）由（1）可得)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(BPA，APCABC,为等腰直角三角形 故)0,22,22(),221,0,22(xxNxxM，12220221222222222xxxxxxMN，当22 x时，MN最小，此时NM,分别
7、是CBAP,中点，于是)0,21,21(),21,0,21(NM，)0,21,21(),21,0,21(),0,21,21(),21,0,21(ANAMCNCM 设平面CMN的法向量为),(111zyx，平面AMN的法向量为),(222zyx，CNCM，故00CNCM，即02121021211111yxzx，整理得001111yxzx，取11 x可得平面CMN的一个法向量为)1,1,1(，高三数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 5 页）ANAM，故00CNCM，即02121021212222yxzx，整理得002222yxzx，取12 x可得平面AMN的一个法向量为)1,1,1(，设二面角
8、AMNC的平面角大小为，则3133111|cos，故二面角AMNC的余弦值为31.（12 分）21.解 解：（1）由直线MN的斜率为2，设直线myxMN21:，)(,(),(212211xxyxNyxM，直曲联立myxpxy2122，消去x得：022pmpyy，8,082pmpmp，由韦达定理得：pmyypyy22121，由直线,AM AN的倾斜角互补且,M N为不同两点，故直线,AM AN的斜率均存在，分别记为,AMANkk，则12121212111101122AMANyyyykkxaxaymayma，1212111122yyymayma，整理得：12121()()2202y yyymama
9、，代入pmyypyy22121得：122202pmpmpapma，11(2)2022p mpa.由点(,1)A a 是抛物线2:2(0)C ypx p上一点，21ap，12ap，代入上式消去a得：111(2)022p mpp，整理得：1(2)()02pp mp，故12,4pa 故抛物线方程为xy42(6 分)（2）由（1）可得myyyy422121，高三数学参考答案及评分细则 第 5 页（共 5 页）故5)164)(411(4)(11()()(|212212221221myyyykyyxxMN，故0 m，满足0，于是)2,1(),0,0(NM，)3,43(),1,41(ANAM，1715916
10、911613163|cosANAMANAMMAN，故178sin1sin2MANMAN.(12 分)22.解解：（1）由题可知：0)1(g，axxln1)(g，故aln1)1(g 于是()g x在(1,(1)g处的切线方程为)1(ln1xay.(4 分)（2）()()()h xf xg x恰有两个零点，即方程logxaax恰有两正根，若1 a，则log1xaax，于是1 x，由lnloglnxaxaxa，得lnlnxaax，lnlnxaxaxx，于是lnlnxxaaxx.设)1(ln)(xxxxh，故01ln)(xxh，于是函数)(xh在),1(x上单调递增，由)()(xhahx 可得：xax，(8 分)即方程xax 有两根，等价于方程xxalnln 有两正根，设)1(ln)(xxxxl，2ln1)(xxxl，由0)(xl得：e1 x；由0)(xl得：e x，故)(xl在e,1(x上单调递增，在)e,x上单调递减，结合当1x时，0)(xl；当x时，0)(xl；且),1(x时，0ln)(xxxl 由方程xxalnln 有两正根得e1ln0a，从而e1e1 a 故)e,1(e1 a.(12 分)