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1、1.4.2 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 问题提出问题提出问问题题1.1.根根据据正正弦弦函函数数和和余余弦弦函函数数的的图图象象，你你能能说说出出它们具有哪些性质？它们具有哪些性质？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=y=sinxsinxxyO1-1y=y=cosxcosx周期函数的概念周期函数的概念 思思考考1 1：观观察察上上图图,正正弦弦曲曲线线每每相相隔隔 个个单单位位重重复复出现出现.y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=y=sinxsinx2诱导公式诱导公式其理论依据是什么？其理论依据是什么？当自变量当自变量x x的值
2、增加的值增加22的整数倍时，函数值重复出的整数倍时，函数值重复出现现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始周而复始”的变化规律的变化规律思考2：设设f(xf(x)=)=sinxsinx，则，则 可以怎样表示？可以怎样表示？f(x+2k)=f(x)这就是说：当自变量这就是说：当自变量x x的值增加到的值增加到x+2kx+2k时，函数值重复出现时，函数值重复出现.为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2k为这个函数的周期 (其中其中kzkz且且k0)k0).思思考考3 3：把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么，
3、一般地，如何定义周期函数呢？【周周期期函函数数的的定定义义】对对于于函函数数f(xf(x)，如如果果存存在在一一个个非非零零常常数数T T，使使得得当当x x取取定定义义域内的每一个值时，都有域内的每一个值时，都有f(x+Tf(x+T)=)=f(xf(x)那那么么函函数数f(xf(x)就就叫叫做做周周期期函函数数，非非零零常常数数T T就叫做这个函数的周期就叫做这个函数的周期.思思考考4 4：周周期期函函数数的的周周期期是是否否唯唯一一？正正弦弦函数函数y=y=sinxsinx的周期有哪些？的周期有哪些？答答：周周期期函函数数的的周周期期不不止止一一个个.22，44，66，都都是是正正弦弦函函
4、数数的的 周周 期期，事事 实实 上上，任任 何何 一一 个个 常常 数数2k(kz2k(kz且且k0)k0)都是它的周期都是它的周期.【周周期期函函数数的的定定义义】对对于于函函数数f(xf(x)，如如果果存存在在一一个个非非零零常常数数T T，使得当，使得当x x取定义域内的每一个值时，都有取定义域内的每一个值时，都有f(x+Tf(x+T)=)=f(xf(x)那那么么函函数数f(xf(x)就就叫叫做做周周期期函函数数，非非零零常常数数T T就就叫叫做做这这个个函函数的周期数的周期.【最最小小正正周周期期】如如果果在在周周期期函函数数f(xf(x)的的所所有有周周期期中中存存在在一一个个最最
5、小小的的正正数数,则则这这个最小正数叫做个最小正数叫做f(xf(x)的的最小正周期最小正周期.今后本书中所涉及到的周期，如果不加特今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期别说明，一般都是指函数的最小正周期.【周周期期函函数数的的定定义义】对对于于函函数数f(xf(x)，如如果果存存在在一一个个非非零零常常数数T T，使得当使得当x x取定义域内的每一个值时，都有取定义域内的每一个值时，都有f(x+Tf(x+T)=)=f(xf(x)那那么么函函数数f(xf(x)就就叫叫做做周周期期函函数数，非非零零常常数数T T就就叫叫做做这这个个函函数数的的周周期期.【最最小小正
6、正周周期期】如如果果在在周周期期函函数数f(xf(x)的的所所有有周周期期中中存存在在一一个个最最小的正数小的正数,则这个最小正数叫做则这个最小正数叫做f(xf(x)的最小正周期的最小正周期.答：正弦函数答：正弦函数y=y=sinxsinx有最小正周期，有最小正周期，且且最小正周期最小正周期T=2T=2思考思考5 5：我们知道：我们知道 22，44，66，都是都是y=y=sinxsinx的周期的周期,那么函数那么函数y=y=sinxsinx有最小正有最小正周期吗？若有，那么最小正周期周期吗？若有，那么最小正周期T T等于多少？等于多少？正正弦弦函函数数y=y=sinxsinx是是周周期期函函数
7、数，2k2k（kZkZ且且 k0k0）都是它的周期，最小正周期）都是它的周期，最小正周期 T=2T=2 余余弦弦函函数数y=y=cosxcosx是是周周期期函函数数，2k2k（kZkZ且且 k0k0）都是周期，最小正周期）都是周期，最小正周期 T=2T=2思思考考6 6：就就周周期期性性而而言言，对对正正弦弦函函数数有有什么结论？对余弦函数呢？什么结论？对余弦函数呢？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=y=sinxsinxxyO1-1y=y=cosxcosx例例1 1 求下列函数的周期：求下列函数的周期：y=3cosx,xR;y=3cosx,xR;y=sin2x,xR;y=si
8、n2x,xR;y=2sin(-),y=2sin(-),xRxR;3cos(x+2)=3cos(x+2)=由周期函数的定义可知，原由周期函数的定义可知，原函数的周期为函数的周期为22【解解】3cosx3cosxy=sin2x,xR;y=sin2x,xR;sin2(x+)=sin2(x+)=由周期函数的定义可知，原由周期函数的定义可知，原函数的周期为函数的周期为sin2xsin2xsin(2x+2)sin(2x+2)=解：解：y=2sin(-),y=2sin(-),xRxR;由周期函数的定义可知，原函数由周期函数的定义可知，原函数的周期为的周期为44解：解：一一般般地地，函函数数y=y=Asin(
9、x+Asin(x+)(A(A0 0，0 0)的最小正周期是多少的最小正周期是多少?由上例知函数由上例知函数y=3cosxy=3cosx的周期的周期 T=2T=2；函数函数y=sin2xy=sin2x的周期的周期 T=T=；函数函数y=2sin(-)y=2sin(-)的周期的周期 T=4T=4想想一一想想：以以上上这这些些函函数数的的周周期期与与解解析析式式中哪些量有关吗？中哪些量有关吗？例例2 2 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(xf(x)满足满足f(xf(x2)2)f(xf(x)=0)=0，试试判判断断f(xf(x)是是否否为为周周期函数？期函数？分析分析由已知有：由已知有：f
10、(xf(x2)=-2)=-f(xf(x)f(x+4)=f(x+4)=即即 f(xf(x4)=4)=f(xf(x)由周期函数的定义知，由周期函数的定义知，f(x)是周期函数是周期函数.f(xf(x)=-=-f(xf(x)=)=-f(xf(x2)2)f(xf(x2)+2=2)+2=如果在周期函数如果在周期函数f(x)的所有周期中的所有周期中存在存在一个最小的一个最小的正数正数,则这个最小正数叫做则这个最小正数叫做f(xf(x)的最小正周期的最小正周期 对对于于函函数数f(xf(x)，如如果果存存在在一一个个非非零零常常数数T T，使使得得当当x x取取定定义义域域内内的的每每一一个个值值时时，都都
11、有有f(x+Tf(x+T)=)=f(xf(x)那那么么函函数数f(xf(x)就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T T就叫做这个函数的周期就叫做这个函数的周期.归归 纳纳 整整 理理 1.1.说说周期函数的定义说说周期函数的定义.3.3.什么叫周期函数的最小正周期？什么叫周期函数的最小正周期？2.2.函函数数的的周周期期性性是是函函数数的的一一个个基基本本性性质质，判判断断一一个个函函数数是是否否为为周周期期函函数数，一一般般以以定定义义为为依依据据，检检验验它它是是否否存存在在非非零常数零常数T T，对定义域内任一实数，对定义域内任一实数x x，f(xf(xT)=T)=f(xf(x)恒成立恒成立.4.4.函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)和和y=y=Acos(x+Acos(x+)(A)(A0)0)的最小的最小 正周期正周期 T=T=这个公式，解题时可以直接应用这个公式，解题时可以直接应用练习：练习：1 1，2 2，3.3.