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1、非线性规划（Nonlinear Programming）第一章第一章 一般的非线性规划问题一般的非线性规划问题 1.1 1.1 问题概论问题概论问题概论问题概论（模型）（模型）min f(x)s.t 1 1（两类问题）无约束极值问题与约束极值问题（两类问题）无约束极值问题与约束极值问题（一些基本定义）（一些基本定义）（一些基本定义）（一些基本定义）梯度梯度梯度梯度 HesseHesse矩阵矩阵矩阵矩阵 JaccobiJaccobi矩阵矩阵矩阵矩阵 2 2 1.2 1.2 最优解分类最优解分类 （注：不一定存在）（注：不一定存在）定义定义定义定义1.2.1 1.2.1 整体（全局）最优解整体（全
2、局）最优解整体（全局）最优解整体（全局）最优解 定义定义定义定义1.2.2 1.2.2 局部最优解局部最优解局部最优解局部最优解 （已有算法基本都是求局部（已有算法基本都是求局部（已有算法基本都是求局部（已有算法基本都是求局部最优解的）最优解的）最优解的）最优解的）1.3 1.3 凸集与凸函数凸集与凸函数凸集与凸函数凸集与凸函数定义定义定义定义1.3.1 1.3.1 凸集凸集凸集凸集定义定义定义定义1.3.2 1.3.2（严格）凸函数（严格）凸函数（严格）凸函数（严格）凸函数 称定义在凸集称定义在凸集称定义在凸集称定义在凸集K K上的实值上的实值上的实值上的实值函数函数函数函数f(x)f(x)
3、为凸函数，若为凸函数，若为凸函数，若为凸函数，若 定义定义定义定义1.3.3 1.3.3 凹函数凹函数凹函数凹函数 3 3定义定义定义定义1.3.4 1.3.4 凸规划凸规划凸规划凸规划（图集上凸函数的极小化问题）（图集上凸函数的极小化问题）定理定理定理定理 设设 、均为凸集，均为凸集，则则则则 也是凸也是凸也是凸也是凸集集集集 ，对任意实数对任意实数，是凸集是凸集是凸集是凸集。（证明）（推广）（证明）（推广）定理定理定理定理 有限个凸集的交集必是凸集有限个凸集的交集必是凸集定理定理定理定理 （分离定理）（分离定理）K K为闭凸集，为闭凸集，则则 定理定理定理定理1.3.4 1.3.4（支撑超
4、平面定理）（支撑超平面定理）（支撑超平面定理）（支撑超平面定理）4 4 定理定理定理定理1.3.5 1.3.5 若若若若 均为凸集均为凸集均为凸集均为凸集K K上的凸函数，则上的凸函数，则上的凸函数，则上的凸函数，则 也是也是也是也是K K上的凸函数。上的凸函数。上的凸函数。上的凸函数。（请证明）（请证明）（请证明）（请证明）定理定理定理定理 设设设设f(x)f(x)是凸集是凸集是凸集是凸集K K上的凸函数，则上的凸函数，则上的凸函数，则上的凸函数，则 实数实数实数实数C C，水平集，水平集，水平集，水平集 必为凸集。必为凸集。必为凸集。必为凸集。（请证明）（请证明）（请证明）（请证明）定理定
5、理定理定理1.3.7 1.3.7 若若若若f(x)f(x)在开集在开集在开集在开集K K 中可微，则中可微，则中可微，则中可微，则f f 是是是是K K上的（严格）上的（严格）上的（严格）上的（严格）凸函数当且仅当凸函数当且仅当凸函数当且仅当凸函数当且仅当 5 5证明证明（充分性）充分性）任取任取 ，记，记由条件，由条件，（必要性）（必要性）6 6令令此即需证。此即需证。若若 f(x)f(x)两阶可微，则有以下的定理：两阶可微，则有以下的定理：定理定理1.3.8 1.3.8 设设f(x)f(x)在开凸集在开凸集K K中二阶连续可微，中二阶连续可微，f f 为凸函数的为凸函数的充要条件为：充要条
6、件为：证明证明：（：（充分性）充分性）7 7此处此处从而，从而，(必要性必要性)任取任取将将 在在 x x 处展开处展开 ：8 8令令 得得定理定理1.3.9 1.3.9 证明证明 9 9此即说明此即说明f f 是严格凸函数。是严格凸函数。定理定理证明证明 当当 充分小时充分小时 在在 的邻域中，从而导出矛的邻域中，从而导出矛盾，证毕盾，证毕 10101.4 1.4 最优性条件最优性条件最优性条件最优性条件无约束极小化问题无约束极小化问题 （模型）（模型）minmin s.t s.t （1.4.1)1.4.1)定理定理1.4.1 1.4.1 （一阶必要条件）若（一阶必要条件）若 是可微函数，是
7、可微函数，是问题（是问题（1.4.1)1.4.1)的一个局部最小点的必要条件为：的一个局部最小点的必要条件为：（无约束极小化问题求解）等价于（方程组求解）（无约束极小化问题求解）等价于（方程组求解）定理定理1.4.2 1.4.2 （二阶必要条件）设（二阶必要条件）设 为为 中的二阶连续可微函中的二阶连续可微函数，如果数，如果 是是 的一个局部极小点，则的一个局部极小点，则 1111证明：由定理，证明：由定理，。对任意的。对任意的由于由于 是局部极小点，故对于充分小的是局部极小点，故对于充分小的 必有必有此式成立必须有此式成立必须有 ，证毕。，证毕。1212定理定理1.4.3 1.4.3（二阶充
8、分条件）设（二阶充分条件）设 两阶可微，若两阶可微，若 满足满足则点则点 的一个严格局部极小点，这里的一个严格局部极小点，这里 是是 的两阶的两阶HesseHesse矩阵矩阵定理定理（两阶充分条件）设（两阶充分条件）设 两阶连续可微，若两阶连续可微，若 满足满足 证明：任取证明：任取显然，显然，由假设，由假设，由，由 的任意的任意性，性，是是 1313定理定理证毕证毕 1414具有等式与不等式约束的极小化问题具有等式与不等式约束的极小化问题 (NP)min (NP)min s.t s.t 定义定义 1.4.1 1.4.1 设设x x是满足是满足(NP)(NP)约束条件的点，记约束条件的点，记
9、称称I I 为为x x处不等式约束中的积极约束的下标集合处不等式约束中的积极约束的下标集合 定义定义1.4.2 1.4.2（积极约束）（积极约束）称约束称约束为为x x处的积极约束处的积极约束定义定义1.4.3 1.4.3（正则点）若向量组（正则点）若向量组线性无关，则称线性无关，则称x x为约束条件的一个正则点。为约束条件的一个正则点。1515定理定理1.4.5 1.4.5（Kuhn-TuckerKuhn-Tucker条件）设条件）设 是是(NP)(NP)的局部极小点且的局部极小点且 其中其中 1616例例 求下面问题的求下面问题的 K-T K-T 点点 min min s.t s.t 解：
10、本问题的解：本问题的 K-TK-T条件为条件为1717（1 1）若若 （舍去）（舍去）若若 （舍去）（舍去）（2 2）（舍去）（舍去）（3 3）1818故有故有 求得求得 19191.5 迭代算法及收敛速度迭代算法及收敛速度 迭代算法迭代算法 记满足要求的点集为记满足要求的点集为 （如（如 K-T K-T 点集，最优解集等）。算法一般点集，最优解集等）。算法一般采用迭代方法，即：任给一个初始点采用迭代方法，即：任给一个初始点步步1 1步步2 2 定义定义1.5.1 1.5.1（全局收敛性）设（全局收敛性）设A A是求解问题的一个算法，若对任意初始是求解问题的一个算法，若对任意初始点点 在用算法
11、在用算法A A进行迭代时，或能在有限步求得最优解，或求进行迭代时，或能在有限步求得最优解，或求得一无穷点列得一无穷点列 ，该点列的任意聚点均为需求的点。，该点列的任意聚点均为需求的点。2020例例1 1 求解问题求解问题 minmin s.t s.t 算法算法 迭代点列迭代点列例例2 2 求解求解 minmin 算法算法 2121迭代点列迭代点列 若若 若若定义定义定义定义 （闭映射）设（闭映射）设X X何何Y Y分别是两个非空闭集，分别是两个非空闭集，A A是从是从X X到到Y Y的一个点到集的的一个点到集的映射，即对任意映射，即对任意 有有 。设。设 ，且且 若若 （例（例1 1种的映射是
12、闭的，而例种的映射是闭的，而例2 2中的映射则是非闭的）中的映射则是非闭的）显然，例显然，例2 2的最优解为的最优解为 取取算法算法A A为为X X到到X X的一个映射：的一个映射：定理定理定理定理 若对任意取定的若对任意取定的 ：（1 1）（2 2）存在）存在 ，（3 3）算法）算法 A A 在在 外是闭的外是闭的则算法则算法 A A 必定是全局收敛的。（证明从略）必定是全局收敛的。（证明从略）2222收敛速度收敛速度定义定义1.5.2 1.5.2 设实数列设实数列 除有限个除有限个 外外 除有限个除有限个 外外 其他其他 被称为商收敛因子被称为商收敛因子定理定理1.5.2 1.5.2 仅有
13、以下三种情况之一发生：仅有以下三种情况之一发生：（1 1）（2 2）（3 3），2323定义定义1.5.3 1.5.3 设设 ，我们称，我们称 为为 收敛到收敛到 的阶。也的阶。也称称 阶收敛到阶收敛到 （对情况对情况1 1，令，令 ，对情况对情况2 2 ，令，令 ）显然，收敛的阶越大，收敛速度越快。当数列具有一阶收敛速度显然，收敛的阶越大，收敛速度越快。当数列具有一阶收敛速度时时 越小数列收敛得越快。越小数列收敛得越快。定义定义1.5.4 1.5.4 若若 则称数列则称数列 超线性收敛于超线性收敛于例例2 2 （1 1）（2 2）2424第二章第二章第二章第二章 一维极值问题的最优化方法一维
14、极值问题的最优化方法一维极值问题的最优化方法一维极值问题的最优化方法 在求解极值问题时我们经常会反复采用如下的一元函数求极值步骤：在求解极值问题时我们经常会反复采用如下的一元函数求极值步骤：先求出一个搜索方向先求出一个搜索方向 d d，然后沿方向，然后沿方向 d d 作一维搜索。为此，我们先来介作一维搜索。为此，我们先来介绍一下一维搜索的一些技巧和方法。绍一下一维搜索的一些技巧和方法。问题：问题：minmin s.ts.t本问题实际上是一个一元函数求极值的问题，为方便起见，以下我们讨论问本问题实际上是一个一元函数求极值的问题，为方便起见，以下我们讨论问题：题：minmin s.t s.t这里这
15、里 a a 可以是可以是 ，b b 可以是可以是 。25252.1 2.1 仅比较函数值的最优化方法仅比较函数值的最优化方法仅比较函数值的最优化方法仅比较函数值的最优化方法定义定义定义定义2.12.1 （下单峰函数）（下单峰函数）定义定义定义定义2.22.2 （不定区间）包含下单峰函数最小点的区间（不定区间）包含下单峰函数最小点的区间a,ba,b方法：按一定的方法在方法：按一定的方法在 a,b a,b 区间中取若干个点，比较这些点上的函数值，不断区间中取若干个点，比较这些点上的函数值，不断缩小不定区间。缩小不定区间。定义定义定义定义2.32.3 （最优搜索策略）总点数相同而能使不定区间缩得最小
16、的搜索方法。（最优搜索策略）总点数相同而能使不定区间缩得最小的搜索方法。（FibonacciFibonacci 方法）方法）FibonacciFibonacci数数 1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1313，2121，3434，2626方法：设目前的不定区间为方法：设目前的不定区间为 a,b a,b，尚有，尚有 r r 个试验点。个试验点。令令比较比较（1 1）若）若（2 2）若）若（3 3）若）若最后，当只剩下还有一个试验点时，不定区间的中点最后，当只剩下还有一个试验点时，不定区间的中点 为一试验点，最后一为一试验点，最后一个试验点可取个试验点可取2727定理定理定理定理2.
17、12.1 利用利用FibonacciFibonacci法作一维搜索，经过法作一维搜索，经过 n n 次试验后，最后的不定区次试验后，最后的不定区间长度不超过间长度不超过步骤：先根据步骤：先根据FibonacciFibonacci 法的近似方法法的近似方法0.6180.618法法 设初始不定区间为设初始不定区间为 a,b a,b，取，取2828例例（1 1）（2 2）（3 3）取取从头开始。从头开始。2.1 2.1 牛顿方法牛顿方法29292.2 2.2 牛顿方法牛顿方法牛顿方法牛顿方法迭代公式：迭代公式：步步1 1若若 3030定理定理定理定理2.22.2 设设 是是a,ba,b上的两阶连续可
18、导函数，且上的两阶连续可导函数，且则任取则任取 ，由迭代公式，由迭代公式产生的点列产生的点列产生的点列产生的点列 收敛到收敛到收敛到收敛到（证明从略）（证明从略）（证明从略）（证明从略）3131第三章第三章第三章第三章 无约束极值问题的最优化方法无约束极值问题的最优化方法无约束极值问题的最优化方法无约束极值问题的最优化方法问题问题 minmin s.t s.t3.1 3.1 最速下降法最速下降法 步骤步骤1 1 取初始点取初始点 ，令，令k=k=0 0 步骤步骤2 2 计算计算 步骤步骤3 3 若若 停，输出停，输出 否则进入下一步否则进入下一步 步骤步骤4 4 求求 使得使得 步骤步骤5 5
19、 令令 3232定理定理3.1 3.1 设设 一阶连续可导，集合一阶连续可导，集合有界，则由上述算法求得的点列有界，则由上述算法求得的点列 有如下的性有如下的性质质（1 1）严格单调下降严格单调下降 （2 2）的任一极的任一极限点限点 处必有处必有 令令 定理定理3.2 3.2 设设 是由最速下降法产生的点列，则对是由最速下降法产生的点列，则对每一步每一步 k k，成立：，成立：其中其中A A与与a a为为Q Q的的最大特征值与最小特征值最大特征值与最小特征值 3333据此可知据此可知（1 1）若）若A=aA=a，即目标函数的等值面为园，即目标函数的等值面为园，则用最速下降法一步就可求得最优解
20、。（则用最速下降法一步就可求得最优解。（2 2）A A与与a a的的差越小，则用最速下降法求得的点列收敛得越慢。差越小，则用最速下降法求得的点列收敛得越慢。3.2 3.2 牛顿法牛顿法先看二次严格凸函数先看二次严格凸函数 解得：解得：对一般的函数对一般的函数 有：有：3434牛顿法迭代步骤牛顿法迭代步骤定理定理3.3 3.3 35353.3 3.3 共轭方向法共轭方向法定理定理3.4 3.4 若若3636（设计具有二次有限终止性的共轭方向法）（设计具有二次有限终止性的共轭方向法）仍取仍取取初始点取初始点定理定理3.5 3.5 则迭代可在至多则迭代可在至多n n步内终止并求得步内终止并求得 的极
21、小点。的极小点。（共轭方向法的一种实现方法）（共轭方向法的一种实现方法）步步1 1 设已有设已有3737步步2 2 若若 作一维搜索：作一维搜索：定理定理3.4 3.4 用上面方法构造出来的向量组用上面方法构造出来的向量组为为 共轭的。共轭的。（用于一般函数的共轭方向法）令（用于一般函数的共轭方向法）令Step 1.Step 1.取初始点取初始点 ，允许误差，允许误差 2.2.检验是否满足检验是否满足 ，若满足，停；否则到，若满足，停；否则到下一步下一步 3.3.令令 3838 4.4.5.5.6.6.检验检验 ，若满足，停；否则检查，若满足，停；否则检查若是，令若是，令 7.7.（算法完）（
22、算法完）3939定理定理3.5 3.5 设设 是具有一阶连续偏导数的凸函数，是具有一阶连续偏导数的凸函数，是由上述算法产生的无穷点列，水平集是由上述算法产生的无穷点列，水平集 （1 1）为严格单调下降数列为严格单调下降数列 （2 2）的任意聚点均为问题的最优解的任意聚点均为问题的最优解3.4 3.4 变尺度法变尺度法 （略）（略）3.5 3.5 直接法直接法 （略）（略）4040第四章第四章第四章第四章 有约束极值问题有约束极值问题有约束极值问题有约束极值问题问题问题 minmin s.ts.t求解约束极值问题的主要途径：求解约束极值问题的主要途径：（1 1）可行下降法（无约束问题下降方向法的
23、推广）可行下降法（无约束问题下降方向法的推广）（2 2）罚函数法或障碍函数法（将约束加入目标）罚函数法或障碍函数法（将约束加入目标）（3 3）解一系列线性规划）解一系列线性规划（4 4）直接法）直接法41414.1 zoutendijk4.1 zoutendijk可行方向法可行方向法 问题问题 minmin s.t s.t 定义定义定义定义4.14.1（不等式约束中的积极约束的下标集合）（不等式约束中的积极约束的下标集合）设设 为问题的可行解，称为问题的可行解，称为不等式约束中的积极约束集合。为不等式约束中的积极约束集合。定义定义定义定义4.24.2（积极约束）（积极约束）此问题的积极约束有：
24、此问题的积极约束有：4242定义定义定义定义4.34.3（可行方向）（可行方向）设设 x x 是是 min min s.t s.t （4.14.1）的可行点，即的可行点，即 ，称方向，称方向 d d 为为 x x 处的可行方处的可行方向，若存在向，若存在定理定理定理定理4.14.1 设设 x x 是（是（4.14.1）的一个可行解，则）的一个可行解，则 d d 为为 x x 处处的一个可行方向的充要条件为：的一个可行方向的充要条件为：（证明）（证明）4343定义定义定义定义4.44.4 （下降方向）设（下降方向）设 x x 是（是（4.14.1）的可行解，称）的可行解，称非零向量非零向量 d
25、d 为为 x x 处的一个下降方向，若存在处的一个下降方向，若存在 定理定理定理定理4.24.2 设设 则则 d d 为为 x x 处的一个下处的一个下降方向的充要条件为：降方向的充要条件为：（证明）（证明）定义定义4.5 4.5（可行下降方向）既可行又下降的方向（可行下降方向）既可行又下降的方向 4444具体算法具体算法算法算法1 1 求解线性规划求解线性规划 minmin s.t s.t （4.2)4.2)算法算法2 2 求解求解 minmin s.t s.t （4.34.3）4545算法算法3 min3 min s.t s.t (4.4)(4.4)定理定理 4.3 4.3 设设 （证明）
26、（证明）4646(zoutendijk(zoutendijk算法）算法）任取初始点任取初始点（2 2）求解对应）求解对应若若（3 3）令）令（4 4）求解）求解 4747例例4.14.1用用ZoutendijkZoutendijk方法求解方法求解 minmin s.t s.t（取初始点（取初始点 迭代一次）迭代一次）s.ts.t48484949ZoutendijkZoutendijk方法不具有全局收敛性（例从略）方法不具有全局收敛性（例从略）4.2 4.2 带非线性约束的问题带非线性约束的问题（问题）（问题）minmin s.t s.t （4.54.5）定义定义4.4 4.4（积极约束的指标集
27、）（积极约束的指标集）定理定理4.4 4.4 设设 x x 是（是（4.54.5）的可行解，）的可行解，I I(x)(x)是是 x x 处的积极处的积极约束集合，约束集合，d d是一个非零向量，称是一个非零向量，称 d d 为为 x x 处的一个处的一个可行下降方向，如果：可行下降方向，如果：5050（ZoutendijkZoutendijk可行方向法）可行方向法）根据定理根据定理4.44.4，求，求 x x 处的可行下降方向可求解处的可行下降方向可求解 求解此式又等价于求解求解此式又等价于求解 minmin s.t s.t为此求解为此求解 minmin s.t s.t （4.6)4.6)51
28、51定理定理4.5 4.5 设设 x x 是问题（是问题（4.54.5）的可行解，）的可行解，I I(x)(x)是是x x处的积极约处的积极约束的下标集，束的下标集，注：当注：当算法综述：任取一初始可行解算法综述：任取一初始可行解步步1.1.记记 求解求解 minmin s.t s.t5252得最优解得最优解与线性情况一样，与线性情况一样，ZoutendijkZoutendijk算法不具有全局算法不具有全局收敛性收敛性5353Frank-WolfeFrank-Wolfe算法算法问题问题 minmin s.t s.t （4.74.7）（算法思想）求解（算法思想）求解 min min s.t (4
29、.8)s.t (4.8)设解为设解为 。因为可行域是凸集，因为可行域是凸集，是此凸集的一个极点，故是此凸集的一个极点，故又因为又因为 ，必有，必有 5454Frank-WolfeFrank-Wolfe算法算法任取一初始基本可行解任取一初始基本可行解步步1.1.求解线性规划求解线性规划 minmin s.t s.t 得得 ，若，若步步2 2 5555定理定理4.64.6 证明：证明：5656定理定理4.7 4.7 设对任意可行解设对任意可行解 线性规划线性规划 均有解，则用均有解，则用Frank-WolfeFrank-Wolfe算法或能在有限步内求算法或能在有限步内求得一个得一个K-TK-T点，
30、或求得一个无穷点列点，或求得一个无穷点列 ，它的任，它的任一聚点均为问题的一聚点均为问题的K-TK-T点。点。证明：证明：设设 有聚点有聚点 ，不妨就设，不妨就设 ，设，设 5757这与这与例例 用用Frank-WolfeFrank-Wolfe算法求解算法求解 minmin s.t s.t解：解：5858求解求解 minmin s.t s.t解得解得5959一般讲一般讲Frank-WolfeFrank-Wolfe方法的收敛速度是比较慢方法的收敛速度是比较慢的，其优点是求解的线性规划的可行域均相的，其优点是求解的线性规划的可行域均相同，若这些线性规划很以求节，则可用此方法同，若这些线性规划很以求
31、节，则可用此方法求解。求解。既约梯度法既约梯度法 问题问题 minmin s.t s.t （4.94.9）其中其中6060 是是n-mn-m维向量。维向量。6161定理定理4.8 4.8 注注（4.94.9）的）的 6262代入第代入第1 1式得式得定理定理4.94.9定理定理4.10 4.10 6363证明：证明：646465656666RosenRosen梯度投影法（梯度投影法（19601960）定义（投影矩阵）一个定义（投影矩阵）一个n n阶方阵阶方阵P P被称为投影矩阵，被称为投影矩阵，若若6767问题问题 minmin s.t s.t68686969算法算法7070例例 minmin
32、 s.t s.t71715.序列无约束极小化方法序列无约束极小化方法5.15.1惩罚函数法惩罚函数法（问题）（问题）minmin s,t s,t（此问题的（此问题的K-TK-T条件为条件为 ）引入引入LagrangeLagrange乘子，构造无约束极值问题乘子，构造无约束极值问题 min min（惩罚函数法）问题（惩罚函数法）问题 min min s.t s.t设法构造一个函数设法构造一个函数7272其中其中例如，可取例如，可取7373对给定的对给定的 定义函数定义函数7474引理引理5.1 5.1 75757676777778787979例例5.15.1用惩罚函数法求解用惩罚函数法求解 mi
33、nmin s.t s.t808081815.2 5.2 障碍函数法障碍函数法（问题）（问题）minmin s.t s.t8282838384848585例例2 min2 min s.t s.t 第六章第六章 附录附录 （一）优化模型实例（一）优化模型实例8686库存问题库存问题 库存管理在企业管理中占有很重要的地位。工厂库存管理在企业管理中占有很重要的地位。工厂定期购入原料，存入仓库以备生产之用；商店成定期购入原料，存入仓库以备生产之用；商店成批购入各种商品，放在货柜上以备零售；水库在批购入各种商品，放在货柜上以备零售；水库在雨季蓄水，以备旱季的灌溉和发电；但是，细心雨季蓄水，以备旱季的灌溉和
34、发电；但是，细心的读者会发现，这些情况下都有一个如何使库存的读者会发现，这些情况下都有一个如何使库存量最优的问题，即库存量应取多大才最为合适？量最优的问题，即库存量应取多大才最为合适？存储量过大，存储费太高；存储量过小，会导致存储量过大，存储费太高；存储量过小，会导致一次性订购的费用增加，或不能及时满足需求而一次性订购的费用增加，或不能及时满足需求而遭到损失。为了保证生产的连续性和均衡性，需遭到损失。为了保证生产的连续性和均衡性，需要确定一个合理、经济的库存量，并定期订货加要确定一个合理、经济的库存量，并定期订货加以补充，按需求发放，以达到压缩库存物资、加以补充，按需求发放，以达到压缩库存物资
35、、加速资金周转的目的。速资金周转的目的。8787n n瞬时送货的确定型库存问题（不允许缺瞬时送货的确定型库存问题（不允许缺货的情况）货的情况）首先考虑最简单的库存问题。假设某工厂生产需求速率稳定，库存下降到零时，再定购进货，一次采购量为，定购点的提前时间为零（即进货有保障、有规律，可根据需求提前订货），在保证不缺货的条件下，试确定最经济的采购量，使库存费用最小。此时库存费用为 8888在本模型中，平均库存量在本模型中，平均库存量 为常量，所以问题归结为求解如下的优化问题为常量，所以问题归结为求解如下的优化问题这是一个一元函数求极小值的问题，可用微积分方法求其最这是一个一元函数求极小值的问题，可
36、用微积分方法求其最优解，求得的解为优解，求得的解为 这就是所要求的经济采购量和最小费用的库存量，这就是所要求的经济采购量和最小费用的库存量，经济学上称这两个公式为平方根公式。经济学上称这两个公式为平方根公式。8989n n瞬时送货的确定型库存问题（允许缺货的情瞬时送货的确定型库存问题（允许缺货的情瞬时送货的确定型库存问题（允许缺货的情瞬时送货的确定型库存问题（允许缺货的情况）况）况）况）前一模型不允许缺货，若允许缺货，则需前一模型不允许缺货，若允许缺货，则需要支付一定的缺货损失费用要支付一定的缺货损失费用 。我们假设我们假设 为缺货量，单位缺货在单位时间为缺货量，单位缺货在单位时间内产生的缺货
37、损失费用为内产生的缺货损失费用为 （元），单位物（元），单位物资在单位时间内的保管费为资在单位时间内的保管费为 （元），（元），为为单位时间内物资的需求量，问每次采购量、单位时间内物资的需求量，问每次采购量、缺货量取为何值时，才能使库存费用和缺货缺货量取为何值时，才能使库存费用和缺货损失费用之和最小？损失费用之和最小？我们不妨设总费用为我们不妨设总费用为 则则9090 其中其中 为采购费，为采购费，为每次的采购费。为每次的采购费。为保管费，为保管费，为平均库存量，这里，为平均库存量，这里，为单位物资在计划期内的为单位物资在计划期内的 保管费，保管费，为一个采购周期内物资的存储时为一个采购周期内
38、物资的存储时间。所以保管费为间。所以保管费为9191注意到注意到 ，上式可改写为，上式可改写为注意到注意到 ，则上式可改写为，则上式可改写为因此上述库存问题归结为求解因此上述库存问题归结为求解9292 这是一个求二元函数这是一个求二元函数 的极小值的问的极小值的问题，仍可用微积分方法求解得到题，仍可用微积分方法求解得到 容易证明它们即为使总费用容易证明它们即为使总费用 取得最取得最小值的经济采购量小值的经济采购量 和最经济的缺货量和最经济的缺货量 ，而，而最小费用为最小费用为 。9393 最佳捕鱼方案最佳捕鱼方案 秘鲁是一个捕鱼业非常发达的国家，随着人们对鱼粉需求量秘鲁是一个捕鱼业非常发达的国
39、家，随着人们对鱼粉需求量的增长，秘鲁的捕鱼量不断增加。到的增长，秘鲁的捕鱼量不断增加。到19601960，秘鲁已成为世，秘鲁已成为世界上捕鱼量最大的国家，年捕鱼量达到界上捕鱼量最大的国家，年捕鱼量达到10001000万吨，约占全万吨，约占全球捕鱼总量的球捕鱼总量的15%15%。捕鱼量的稳定增长使海洋生物学家越。捕鱼量的稳定增长使海洋生物学家越来越感到不安，来越感到不安，19721972年，生物学家们认为，秘鲁捕鱼量已年，生物学家们认为，秘鲁捕鱼量已达到了能维持鱼群正常生长情况下的最大捕获量的两倍，达到了能维持鱼群正常生长情况下的最大捕获量的两倍，政府如再不加以控制，采取措施制止几近疯狂的捕捞，
40、秘政府如再不加以控制，采取措施制止几近疯狂的捕捞，秘鲁的渔业资源将趋于枯竭，渔业生产会陷入完全崩溃的境鲁的渔业资源将趋于枯竭，渔业生产会陷入完全崩溃的境地（地（Paulik,1971Paulik,1971）。秘鲁政府部门对生物学家的忠告未予）。秘鲁政府部门对生物学家的忠告未予理睬，对渔民们的过度捕捞听之任之。到理睬，对渔民们的过度捕捞听之任之。到19731973年，生物学年，生物学家们的担忧开始显现。当年，秘鲁沿海的鱼量猛减，渔民家们的担忧开始显现。当年，秘鲁沿海的鱼量猛减，渔民几乎无鱼可捕，出现了所谓几乎无鱼可捕，出现了所谓“鳀鱼危机鳀鱼危机”（IdyllIdyll，19731973年）年）
41、，并引起了全世界范围内粮食价格的上涨。下表是秘鲁海，并引起了全世界范围内粮食价格的上涨。下表是秘鲁海洋学院洋学院19741974年提供的秘鲁渔业的历史统计数据：年提供的秘鲁渔业的历史统计数据：9494 1959 1959 1960 1960 1961 1961 1962 1962 1963 1963 1964 1964 1965 1965 1966 1966 1967 1967 1968 1968 1969 1969 1970 1970 1971 1971 1972 1972 1973 1973 9595 如何制定最优捕鱼方案，在不破坏鱼类生态平如何制定最优捕鱼方案，在不破坏鱼类生态平衡的前提
42、下获得最大的捕鱼量呢？鱼类学家衡的前提下获得最大的捕鱼量呢？鱼类学家M.SchaeferM.Schaefer于于19751975年在年在LogisticLogistic模型的基础上建立模型的基础上建立了捕鱼问题的优化模型，提出了一个最优捕鱼了捕鱼问题的优化模型，提出了一个最优捕鱼方案的建议。以下，让我们来看看他所建立的方案的建议。以下，让我们来看看他所建立的模型。模型。用用 记记t t时刻海洋中鱼的数量，时刻海洋中鱼的数量，r r为鱼的净增为鱼的净增长率，长率，K K为环境所能供养的饱和鱼量。为环境所能供养的饱和鱼量。假设假设假设假设 在无捕捞情况下，鱼类按在无捕捞情况下，鱼类按Logisti
43、cLogistic模型增长，即模型增长，即鱼的数量满足鱼的数量满足LogisticLogistic模型：模型：9696 (1)(1)考虑捕鱼对鱼类生长的影响。令考虑捕鱼对鱼类生长的影响。令h h为捕捞率，为捕捞率，此时，鱼类增长满足的微分方程为：，此时，鱼类增长满足的微分方程为：(2)(2)正如第三章中正如第三章中LogisticLogistic模型所指出的，微分方程模型所指出的，微分方程(1)(1)有一个平衡解有一个平衡解 x=Kx=K，当时，随着，当时，随着t t趋于无穷，趋于无穷，将有将有 。对于微分方程（。对于微分方程（2 2），平衡点），平衡点的位置发生了改变，它被移到了方程的位置发
44、生了改变，它被移到了方程 的根的根 处处9797 满足满足 即即 易见，易见，为二次曲线为二次曲线 与直线与直线 交点交点 ，即，即 （3 3）令令捕鱼必须控制在捕鱼必须控制在 即即 现在我们将进一步分析，在此前提下，又应如何捕鱼，才能使每年现在我们将进一步分析，在此前提下，又应如何捕鱼，才能使每年的捕获总量最大。的捕获总量最大。9898将（将（3 3）代入捕鱼量公式）代入捕鱼量公式得到在平衡条件下的捕鱼量：得到在平衡条件下的捕鱼量：为求捕鱼量最大，令为求捕鱼量最大，令 ，求得，求得 ，代入上式可得：代入上式可得：最大捕获量为：最大捕获量为：此时此时9999 通常情况下，渔民考虑的主要还是经济
45、利益的最大化，通常情况下，渔民考虑的主要还是经济利益的最大化，此时，模型将变得复杂一些。设鱼的单价为此时，模型将变得复杂一些。设鱼的单价为p p，单位时间，单位时间的捕捞成本为的捕捞成本为CECE，则由时刻，则由时刻a a到时刻到时刻b b这段时间内渔民捕这段时间内渔民捕鱼的收益最大，约束条件为（鱼的收益最大，约束条件为（2 2）式成立，即此时要求解）式成立，即此时要求解的问题为的问题为 上式是一个泛函极值问题，可用欧拉方程求解，因本书上式是一个泛函极值问题，可用欧拉方程求解，因本书不准备介绍求解泛函极值的变分方法，我们只建立了此不准备介绍求解泛函极值的变分方法，我们只建立了此问题的数学模型，
46、而不讨论其求解，有兴趣的读者可参问题的数学模型，而不讨论其求解，有兴趣的读者可参考杨启帆、边馥萍编著的数学模型考杨启帆、边馥萍编著的数学模型 100100光学中的折射定理光学中的折射定理 光在由一种介质进入另一种介质时，在界面处会发生折光在由一种介质进入另一种介质时，在界面处会发生折射现象。人们发现，折射现象射现象。人们发现，折射现象 造成的结果是所谓造成的结果是所谓“最短时间最短时间”效应，即光线会走最快效应，即光线会走最快的路径。的路径。设光在介质设光在介质1 1中的传播速度为中的传播速度为 而在介质而在介质2 2中的中的传播速度为传播速度为 。在同一种介质中，光的传播速度是常。在同一种介
47、质中，光的传播速度是常数，因而，在同种介质中它将沿着直线方向传播。现取数，因而，在同种介质中它将沿着直线方向传播。现取两种介质的分界面上的一条直线为两种介质的分界面上的一条直线为x x轴，设一束光线由介轴，设一束光线由介质质1 1中的中的A A（0 0，a a）点经）点经x x轴上的轴上的P(x,0)P(x,0)点，进入介质点，进入介质2 2，并沿某直线方向行进到并沿某直线方向行进到B B（d d，b b）点。设直线段）点。设直线段APAP与与x x轴轴的法线的夹角为的法线的夹角为 ，直线段直线段PBPB与与x x轴的法线的夹角为轴的法线的夹角为 ，下面，我们将根据最短时间效应来推导出光学中的
48、折，下面，我们将根据最短时间效应来推导出光学中的折射定理。光线由射定理。光线由A A传到传到B B所需的时间为所需的时间为101101公式公式 故光线由故光线由A A传播到传播到B B的总时间为的总时间为最短时间效应对应的优化问题为最短时间效应对应的优化问题为 （00，dd）102102令令得得注意到注意到 和和（5.195.19）时又可写成）时又可写成此即光学中的折射定理。此即光学中的折射定理。103103身体结构的优化身体结构的优化身体结构的优化身体结构的优化 在长期的生物进化过程中，动物体内的结构已趋于某在长期的生物进化过程中，动物体内的结构已趋于某种程度的最优化状态，本节将举两个实例来
49、加以说明。本种程度的最优化状态，本节将举两个实例来加以说明。本节采用的方法不同于一般的优化问题的研究，在一般优化节采用的方法不同于一般的优化问题的研究，在一般优化问题中，我们研究的问题是为了达到某种意义下的最优化，问题中，我们研究的问题是为了达到某种意义下的最优化，人们应当如何去做。而本节要研究的却是：假设生物的结人们应当如何去做。而本节要研究的却是：假设生物的结构在进化过程中不断优化，适者生存，逐步达到了某种意构在进化过程中不断优化，适者生存，逐步达到了某种意义下的最优化，那么，生物的结构应当具有哪些特征？义下的最优化，那么，生物的结构应当具有哪些特征？例例例例1 1（血管的分支）（血管的分
50、支）假设假设假设假设 动物的血管系统经长期进化，几何形状已经达到了使动物的血管系统经长期进化，几何形状已经达到了使能量消耗大到最低的优化标准。能量消耗大到最低的优化标准。104104 血液在动物的血管中不停地循环流动着，在血液在动物的血管中不停地循环流动着，在此过程中消耗的总能量显然与血管系统的几何形此过程中消耗的总能量显然与血管系统的几何形状有关。我们不可能讨论整个血管系统的几何形状有关。我们不可能讨论整个血管系统的几何形状，那样的话会涉及到太多的生理知识，对此我状，那样的话会涉及到太多的生理知识，对此我们甚至尚未完全搞清楚。在本节中，我们只研究们甚至尚未完全搞清楚。在本节中，我们只研究血管