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1、矩形的性质与判定矩形的性质与判定两组对边分别平行的四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形是平行四边形ABCD四边形四边形ABCD如果如果AB CD AD BCBDABCDAC平行四平行四边形的边形的性质：性质：边边平行四边形的对边平行四边形的对边平行平行；平行四边形的对边平行四边形的对边相等相等；角角平行四边形的对角平行四边形的对角相等相等；平行四边形的邻角平行四边形的邻角互补互补；对角线对角线平行四边形的对角线平行四边形的对角线互相平分互相平分；平行四平行四边形的边形的判定：判定：边边两组对边分别两组对边分别平行平行的四边形；的四边形；两组对边分别两组对边分别相等相等的四边形；的四边形；
2、角角两组对角分别两组对角分别相等相等的四边形；的四边形；对角线对角线对角线对角线互相平分互相平分的四边形；的四边形；一组对边一组对边平行平行且且相等相等的四边形；的四边形；平行四边形的判定定理：平行四边形的判定定理：一个角是一个角是直角直角两组对边两组对边分别平行分别平行平行平行四边形四边形矩形矩形情情景景创创设设我们已经知道平行四边形是特殊的我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，也就是这况即特殊的
3、平行四边形，也就是这堂课我们就来研究一种特殊的平行堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形四边形 矩形矩形四边形四边形有一个角是有一个角是直角直角的的平行四边形平行四边形是矩形是矩形矩形的定义：矩形的定义：平行四边形平行四边形矩形矩形有一个角有一个角 是直角是直角矩形是特殊的平行四边形矩形是特殊的平行四边形具具备备平行四平行四边边形所有的性形所有的性质质ABCDO角角边边对角线对角线对边平行且相等对边平行且相等对角相等对角相等对角线互相平分对角线互相平分矩形的一般性质矩形的一般性质：探索新知探索新知:矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外
4、，还有哪些特殊性质呢？四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？猜想猜想1：矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角猜想猜想2：矩形的对角线相等矩形的对角线相等ABCD求证：矩形的四个角都是直角求证：矩形的四个角都是直角已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD是矩形是矩形求证：求证：A=B=C=D=90ABCD证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形是矩形 A=90又又 矩形矩形ABCD是平行四边形是平行四边形 A=C B=D A+B=180 A=B=C=D=90即即矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角.已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD是矩形是矩形 求证：求证：AC=BDABC
5、D证明：在矩形证明：在矩形ABCD中中ABC=DCB=90又又AB=DC，BC=CBABCDCBAC=BD 即即矩形的对角线相等矩形的对角线相等求证求证:矩形的对角线相等矩形的对角线相等矩形特殊的性质矩形特殊的性质矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线相等从角上看：从角上看：从对角线上看：从对角线上看：矩形的矩形的 两条对角线互相平分两条对角线互相平分矩形的两组对边分别相等矩形的两组对边分别相等矩形的两组对边分别平行矩形的两组对边分别平行矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角矩形矩形 的的两条对角线相等两条对角线相等边边对角线对角线角角ABCDO观察并思
6、考下面这些物体是什么形状，它下面这些物体是什么形状，它们是轴对称图形吗？是中心对们是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？有几条对称轴？称图形吗？有几条对称轴？边边角角对角线对角线对称性对称性平行四平行四边形边形矩形矩形对边平行对边平行且相等且相等对角相等对角相等邻角互补邻角互补对角线互对角线互相平分相平分中心对中心对称图形称图形对边平行对边平行且相等且相等四个角四个角为直角为直角对角线对角线互相互相平分且平分且相等相等中心对称图形中心对称图形 轴对称图形轴对称图形O这是矩形所这是矩形所特有的性质特有的性质 如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，找出中，找出相等的线段与相等的角相等的线段与相等的角.A
7、DCB O小试牛刀小试牛刀ODCBA相等的线段：相等的线段：AB=CD AD=BC AC=BD OA=OC=OB=OD=AC=BD相等的角：相等的角：DAB=ABC=BCD=CDA=90 AOB=DOC AOD=BOCOAB=OBA=ODC=OCD OAD=ODA=OBC=OCB已知四边形已知四边形ABCD是矩形是矩形等腰三角形有：等腰三角形有：OAB OBC OCD OAD直角三角形有：直角三角形有：RtABC RtBCD RtCDA RtDAB全等三角形有：全等三角形有：RtABC RtBCD RtCDA RtDABOABOCD OADOCBODCBA在矩形在矩形ABCD中中AO=CO=B
8、O=DO=AC=BDODCBA在在Rt ABD中，中，AO是斜边是斜边BD的中线的中线直角三角形的性质直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.则有：则有：AO=BD 问题：矩形问题：矩形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O.(1)图中有哪图中有哪些相等的线段？些相等的线段？(2)图中有哪些特图中有哪些特殊形状的三角形？殊形状的三角形？试试：用文字叙述试试：用文字叙述直角三角形的性质直角三角形的性质已知：如图已知：如图BE、CF是是ABC的两条高，的两条高，M为为BC的中点，分别连的中点，分别连ME、MF求证：求证：(1)M
9、E=BC (2)ME=MFCMABFE操练场AC=BD（矩形的对角线相等），（矩形的对角线相等），AO=OC=AC，BO=OD=BD（矩形的对角线互相平分）（矩形的对角线互相平分）.OA=OD.AOD=120，ODA=OAD=(180-120)=30.又又DAB=90（矩形的四个角都是直角），（矩形的四个角都是直角），BD=2AB=22.5=5.解：解：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，DCBAo例例1 如图如图6-15，在矩形，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点中，两条对角线相交于点O，AOD=120，AB=2.5，求矩形对角线的长，求矩形对角线的长.矩形具有而一般平行四边形不矩形具有而
10、一般平行四边形不具有的性质是具有的性质是 ()()B.B.对边相等对边相等A.A.对角相等对角相等C.C.对角线相等对角线相等 D.D.对角线互相平分对角线互相平分C C营中热身营中热身已知已知:四边形四边形ABCD是矩形是矩形1.若已知若已知AB=8，AD=6，则则AC_ OB=_ 2.若已知若已知 DOC=120，AC8，则，则AD=_cm AB=_cmODCBA5104营中寻宝营中寻宝矩形的定义：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.你还有其它的判定方法吗？你还有其它的判定方法吗？ABCD A=900四边形四边形ABCD是矩形是矩形情境一情境一：工
11、人师傅为了检：工人师傅为了检验验两组对边相等两组对边相等的四边形窗的四边形窗框是否成矩形，一种方法是框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对量一量这个四边形的两条对角线长度，如果角线长度，如果对角线长相对角线长相等等，则窗框一定是矩形，你，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？知道为什么吗？猜想猜想：对角线相等的平行四边形是矩形：对角线相等的平行四边形是矩形.命题命题：对角线相等的平行四边形是矩形：对角线相等的平行四边形是矩形.已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD，AC=BD.求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形是矩形.ABCD证明证明:AB=CD，BC=BC，AC=BD ABC D
12、CB（SSS）AB/CD ABC+DCB=180 ABC=DCB=90 又又 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形四边形四边形ABCD是矩形是矩形 ABC=DCB对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.矩形的判定方法：矩形的判定方法：几何语言：几何语言：四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 AC=BD 四边形四边形ABCD是矩形是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）ABCDO（或（或OA=OC=OB=OD）情境二情境二：李芳同学由：李芳同学由“边边直角、边直角、边直角、边直角、边直角、边直角、边”这样四步，这样四步，画
13、出了一个四边形，她说这画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？吗？为什么？猜想猜想：有三个角是直角的四边形是矩形：有三个角是直角的四边形是矩形.你能证明上述结论吗？你能证明上述结论吗？矩形的判定方法：矩形的判定方法：有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.ABCD A=B=C=90 四边形四边形ABCD是矩形是矩形几何语言：几何语言：你能你能归纳矩形的几种判定方法吗？归纳矩形的几种判定方法吗？对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.（对角线相等且互相平分的四边形是矩形对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）有三个角是
14、直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.方法方法1：方法方法2：下列各句判定矩形的说法是否正确？下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（10）一组邻边垂直，一组对
15、边平行且相等的四边形是）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；矩形；（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；）一组对角互补的平行四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形；）有三个角都相等的四边形是矩形；XXXX例例2 如图如图6-18，在，在ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD相交于点相交于点O，ABO是等边三角形，是等边三角形，AB=1，求，求ABCD的面积的面积解：解：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，OA=OC，OB=OD.又又ABO是等边三角形，是等边三角形，OA=OB=A
16、B=1，BAC=60.OA=OB=OC=OD=1.AC=BD=2AB=21=2.ABCD是矩形（对角线相等的平行四是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）边形是矩形）.ABC=90（矩形的四个角都是直角）（矩形的四个角都是直角）在在RtABC中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得已知，如图，矩形已知，如图，矩形ABCD中，点中，点E、F、G、H分别分别是是OA、OB、OC、OD的中点的中点.求证：四边形求证：四边形EFGH是矩形是矩形 证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形是矩形AC=BD，且，且OA=OC，OB=OD.OA=OC=OB=OD.又又点点E，F，G，H分别为分别为OA，OB，OC，O
17、D的中点，的中点，OE=OG=OF=OH.四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形又又EG=OE+OG=OF+OH=HF，四边形四边形EFGH是矩形是矩形平行四边形平行四边形ABCD，E是是CD的中点，的中点，ABE是等边三角形是等边三角形.求证求证:四边形四边形ABCD是矩形是矩形.DABCE例例3 如图如图6-19，在矩形，在矩形ABCD中，中，AD=6，对角线，对角线AC与与BD相交于点相交于点O，AEBD，垂足为点，垂足为点E，ED=3BE求求AE的长的长解解四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，AO=BO=DO=BD（矩形的对角线相（矩形的对角线相等且互相平分）等且互相平分）BAD
18、=90（矩形的四个角都是直角）（矩形的四个角都是直角）.ED=3BE，BE=OE.又又AEBD，AB=AO.AB=AO=BO，即即ABO是等边三角形是等边三角形.ABO=60.ADB=90-ABO=30.在在RtAED中，中，ADE=30，AE=AD=6=3.例例4 已知：如图已知：如图6-20，在，在ABC中，中，AB=AC，AD为为BAC的平分线，的平分线，AN为为ABC的外角的外角CAM的平分线，的平分线，CEAN，垂足为点，垂足为点E.求证：四边形求证：四边形ADCE是矩形是矩形证明：证明：AD平分平分BAC，AN平分平分CAM，在在ABC中，中，AB=AC，AD为为BAC的平分线，的
19、平分线，ADBC.ADC=90.又又CEAN，CEA=90.四边形四边形ADCE是矩形（有三个角是直是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）角的四边形是矩形）.矩形的四个角都是矩形的四个角都是直角直角.矩形的性质定理矩形的性质定理1矩形的对角线相等矩形的对角线相等.矩形的性质定理矩形的性质定理2矩形定矩形定义：义：有有一个角一个角是直角是直角的平行的平行四边形四边形叫做矩叫做矩形形.有三个角是直角的有三个角是直角的四边形是矩形四边形是矩形.矩形的判定定理矩形的判定定理1对角线相等的平行对角线相等的平行四边形是矩形四边形是矩形.矩形的判定定理矩形的判定定理2矩形定矩形定义：义：有有一个角一个角是直角是直角的平行的平行四边形四边形叫做矩叫做矩形形.畅所欲言:谈谈你的收获谈谈你的收获!